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ariely

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suites géométrique

Bonjour à tous, voila un exercice ou je suis bloquée, merci d'avance à ceux qui v'ont m'aider.

On considère la suite (Un) définie par Uo = 2 et $ U_{n+1} $ = \frac{1}{3} $ U_{n} $ + n -1

1. Montrer que la suite Vn définie par $ V_{n} $ = $ 4U_{n} $ - $ 6_{n} $ + 15 est géométrique.

Pour cette question, j'ai trouvé que (Vn) est une suite géométrique de raison \frac{1}{3}
(Par contre, je ne sais pas comment on détermine le premier terme)

Puis je bloque ici.
2. Déterminer l'expression de Vn puis Un en fonction de n, je ne vois pas comment on fait cela.

3. Exprimer en fonction de n la somme \sum_{k=0}^n Uk

Merci d'avance !!

ariely

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Re : suites géométrique

Bonjour à tous, voila un exercice ou je suis bloquée, merci d'avance à ceux qui v'ont m'aider.

On considère la suite (Un) définie par Uo = 2 et $ U_{n+1} = \frac{1}{3} U_{n}  + n -1$

1. Montrer que la suite Vn définie par $ V_{n}  = 4U_{n} - 6n  + 15 $ est géométrique.

Pour cette question, j'ai trouvé que (Vn) est une suite géométrique de raison $\frac{1}{3}$
(Par contre, je ne sais pas comment on détermine le premier terme)

Puis je bloque ici.
2. Déterminer l'expression de Vn puis Un en fonction de n, je ne vois pas comment on fait cela.

3. Exprimer en fonction de n la somme $\sum\limits_{k=0}^n U_k$

Merci d'avance !!

Pardon je reprend, on considère la suite (Un) définie par $U_0 = 2$ et $U_{n+1}= \frac{1}{3} U_{n} + n -1$

Et je n'arrive pas a mettre le symbole somme en code latex.

Dernière modification par yoshi (20-03-2019 16:27:49)

freddy

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Re : suites géométrique

Salut,

tu mets un dollar au début et un autre à la fin de la formule !
Genre \sum_{k=0}^n Uk devient $\sum_{k=0}^n Uk$

---

De la considération des obstacles vient l’échec, des moyens, la réussite.

ariely

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Re : suites géométrique

Salut,

tu mets un dollar au début et un autre à la fin de la formule !
Genre \sum_{k=0}^n Uk devient $\sum_{k=0}^n Uk$

Merci beaucoup, je pensais avoir déjà fait comme cela !

yoshi

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Re : suites géométrique

RE,

Et si comme moi, in trouve pas ça beau, on triche comme ça :
\sum\limits_{k=0}^n U_k   : $ \sum\limits_{k=0}^n U_k$  plus conforme à l'écriture manuelle...

@ariely : veux-tu bien vérifier les corrections apportées à tes formules et nous sire si elles sont bonnes ? Merci.

@+

---

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ariely

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Re : suites géométrique

RE,

Et si comme moi, in trouve pas ça beau, on triche comme ça :
\sum\limits_{k=0}^n U_k   : $ \sum\limits_{k=0}^n U_k$  plus conforme à l'écriture manuelle...

@ariely : veux-tu bien vérifier les corrections apportées à tes formules et nous sire si elles sont bonnes ? Merci.

@+

Bonjour, vos corrections sont bonnes !

yoshi

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Re : suites géométrique

Re,

Tu as donc établi que [tex]Vn=\dfrac 1 3V_{n-1}[/tex].
Maintenant, il te faut descendre jusqu'à $V_0$ :
[tex]V_n =\dfrac{1}{3^2}V_{n-2}=\cdots=\dfrac{1}{3^{...}}V_0[/tex].
Quant à $V_0$, tu l'obtiens à partir de $U_0$ qui vaut 2 dit l'énoncé
[tex]V_n=4U_n-6n+15[/tex].
Donc [tex]V_0=4U_0-6\times 0 +15=\cdots[/tex]

Il faut déjà commencer par là...

@+

---

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ariely

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Re : suites géométrique

Re,

Tu as donc établi que [tex]Vn=\dfrac 1 3V_{n-1}[/tex].
Maintenant, il te faut descendre jusqu'à $V_0$ :
[tex]V_n =\dfrac{1}{3^2}V_{n-2}=\cdots=\dfrac{1}{3^{...}}V_0[/tex].
Quant à $V_0$, tu l'obtiens à partir de $U_0$ qui vaut 2 dit l'énoncé
[tex]V_n=4U_n-6n+15[/tex].
Donc [tex]V_0=4U_0-6\times 0 +15=\cdots[/tex]

Il faut déjà commencer par là...

@+

Bonjour, j'ai trouvé que Vo = 4Uo + 15
Donc Vn = 4Un + 15

Et Un = Vn x q^n-1

Si vous me dites que ce n'est pas cela, alors je ne vois pas du tout. Déjà l'année dernière j'avais du mal avec ces questions, et a vrai dire aujourd'hui je n'ai plus vraiment le temps de m'attarder dessus pendant des heures...

ariely

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Re : suites géométrique

Re,

Tu as donc établi que [tex]Vn=\dfrac 1 3V_{n-1}[/tex].
Maintenant, il te faut descendre jusqu'à $V_0$ :
[tex]V_n =\dfrac{1}{3^2}V_{n-2}=\cdots=\dfrac{1}{3^{...}}V_0[/tex].
Quant à $V_0$, tu l'obtiens à partir de $U_0$ qui vaut 2 dit l'énoncé
[tex]V_n=4U_n-6n+15[/tex].
Donc [tex]V_0=4U_0-6\times 0 +15=\cdots[/tex]

Il faut déjà commencer par là...

@+

Bonjour, j'ai trouvé que Vo = 4Uo + 15
Donc Vn = 4Un + 15

Et Un = Vn x q^n-1

Si vous me dites que ce n'est pas cela, alors je ne vois pas du tout. Déjà l'année dernière j'avais du mal avec ces questions, et a vrai dire aujourd'hui je n'ai plus vraiment le temps de m'attarder dessus pendant des heures...

Un = 2 x (1/3)^n

yoshi

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Re : suites géométrique

Salut,

La question 3 sera pénible à faire...

$\begin{cases}V_0=4U_0+15\\U_0=2\end{cases}$
T'attends quoi pour calculer $V_0$ ?

J'attendais [tex]V_n=\dfrac{1}{3^n}V_0[/tex]
A toi de remplacer partour $V_0$ par sa valeur...

Donc Vn = 4Un + 15

Et pourquoi donc ?

On sait plutôt, si on veut bien se reporter à l'énoncé, que
[tex]V_n=4U_n-6n+15[/tex]
D'où on tire :
[tex]U_n =\dfrac 1 4(V_n+6n-15)[/tex]
et
[tex]U_n =\dfrac 1 4\left(\dfrac{V_0}{3^n}+6n-15\right)=\dfrac{V_0}{4}\times \dfrac{1}{3^n}+\dfrac 3 2 n-\dfrac{15}{4}[/tex]

Question 3

[tex]S =\sum\limits_{k=0}^n \left(\dfrac{V_0}{4}\times \dfrac{1}{3^k}+\dfrac 3 2 k-\dfrac{15}{4}\right)[/tex]
que l'on décompose :
[tex]S =\sum\limits_{k=0}^n \dfrac{V_0}{4}\times \dfrac{1}{3^k}+\sum\limits_{k=0}^n \dfrac 3 2 k -\sum\limits_{k=0}^n \dfrac{15}{4}[/tex]
Ou encore :
[tex]S =\dfrac{V_0}{4}\sum\limits_{k=0}^n \dfrac{1}{3^k}+\dfrac 3 2\sum\limits_{k=0}^n  k -\dfrac{15}{4}\sum\limits_{k=0}^n 1 [/tex]

$\sum\limits_{k=0}^n \dfrac{1}{3^k}$ : c'est la somme des termes d'une suite géométrique de premier terme  1 et de raison 1/3. C'est du cours.

$\sum\limits_{k=0}^n  k$ : c'est la somme des n premiers nombres entiers. C'est un résultat de cours connu - en principe - par cœur...

$\sum\limits_{k=0}^n 1$ : c'est la somme de (n+1) fois le nombre 1.

Maintenant, il faut calculer tout ça et simplifier...

@+

[EDIT]
On peut aussi simplifier les calculs en utilisant la suite
[tex]W_n=\dfrac 3 2 n -\dfrac{15}{4}[/tex]
qui est une suite arithmétique de premier terme $W_0=-\dfrac{15}{4}$ et de raison $\dfrac 3 2$
La dernière question devient :

[tex]S =\sum\limits_{k=0}^n \left(\dfrac{V_0}{4}\times \dfrac{1}{3^k}+W_k\right)[/tex]
que l'on décompose :

[tex]S =\dfrac{23}{4}\sum\limits_{k=0}^n \dfrac{1}{3^k}+\sum\limits_{k=0}^n   W_k[/tex]

Tu as donc à trouver
- la somme des termes d'une suite géométrique
- la somme des termes d'une suite arithmétique

Dernière modification par yoshi (22-03-2019 12:40:59)

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