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Henane2019

Invité

Groupe de torsion, groupe sans torsion

Bonjour,

Soient [tex]G_1[/tex] un groupe de torsion et [tex]G_2[/tex]  un groupe sans torsion.
Soit [tex]f : G_1 \to G_2[/tex] un morphisme de groupes.
Est ce qu'il est possible que [tex]\mathrm{im} f = \{ 0 \}[/tex] ?

Merci d'avance.

Fred

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Messages : 7 049

Re : Groupe de torsion, groupe sans torsion

Bonjour,

  J'imagine que tu veux dire $\textrm{im}(f)\neq\{e\}$ par que pour la question que tu poses, il suffit de choisir $f(x)=e$ pour tout $x\in G_1$.
Imagine que tu as un $x$ tel que $f(x)\neq e$. Puisque $x$ est de torsion, il existe un $n\geq 1$ tel que $x^n=0$. Maintenant, $(f(x))^n$ ne peut pas être égal à l'élément neutre puisque $G_2$ est sans torsion, alors que $f(x^n)=....$.

F.