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#1 19-02-2019 17:58:02

Nypriec
Invité

Fonction dilogarithme/de Spence

Bonjour,

Je dois déterminer la somme [tex]\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{x^n+(\frac{x}{x-1})^n}{n^2}[/tex]

J'ai démontré sans encombres que la somme existait pour x dans ]-1, 1/2].

Je dois désormais calculer la somme qui d'ailleurs vaut Li2(x) + Li2([tex]\frac{x}{x-1}[/tex]) avec Li2 la fonction dilogarithme fonction non explicitable et mon professeur exige un résultat ''classique''.

Je suis passé par la définition intégrale de Li2 (primitive de -ln(1-x)/x ) et sur indiquation de mon professeur j'ai rassemblé les deux membres sous la même intégrale mais rien n'y fait je n'arrive pas à avoir un résultat acceptable ...

Que puis-je faire ?

Merci d'avance

#2 19-02-2019 18:44:39

Roro
Membre expert
Inscription : 07-10-2007
Messages : 1 552

Re : Fonction dilogarithme/de Spence

Bonsoir,

Ecris le développement en série entière de ta fonction dilogarithme...

Roro.

Hors ligne

#3 19-02-2019 20:34:51

Nypriec
Membre
Inscription : 19-02-2019
Messages : 2

Re : Fonction dilogarithme/de Spence

Écrire le développement en série entière de ma fonction n'est pas un problème vu que c'est mon point de départ ...
En fait je ne comprends pas bien pourquoi tu me demandes ça !

J'ai du mal m'exprimer : 

1) L'énoncé me donne la somme [tex] \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{x^n+(\frac{x}{x-1})^n}{n^2} [/tex] à étudier

2) J'ai montré qu'elle existait sur ]-1,1/2] et que on a l'égalité suivante :
[tex] \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{x^n+(\frac{x}{x-1})^n}{n^2}  =  \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{x^n}{n^2}  +  \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{(\frac{x}{x-1})^n}{n^2} [/tex]

3) J'ai démontré à l'aide des méthodes usuelles sur les séries entières l'expression intégrale (non explicitable) de mes sommes

4) D'après l'indication de mon professeur je dois utiliser cette forme intégrale pour déterminer la valeur de ma somme


Et c'est à cette dernière étape que je suis bloqué ...
(J'ai notamment essayé de mettre les deux termes sous la même intégrale par changement de variable mais impossible d'en tirer un résultat)

J'espère que l'explication de mon problème est plus claire maintenant

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#4 19-02-2019 22:50:39

Roro
Membre expert
Inscription : 07-10-2007
Messages : 1 552

Re : Fonction dilogarithme/de Spence

Re-bonjour,

Effectivement je n'avais pas très bien compris ta demande. Je croyais que tu partais de la définition de $Li_2$ à l'aide de primitive et que tu voulais exprimer ta série en utilisant $Li_2$... oublions !

Tu peux effectivement écrire ta somme avec les primitives. Ça doit ressembler à ça :
$$Li_2(x)+Li_2\Big( \frac{x}{x-1} \Big) = \int_0^x -\frac{\ln(1-t)}{t}\, dt + \int_0^{\frac{x}{x-1}} -\frac{\ln(1-s)}{s}\, ds.$$

En faisant un changement de variable du style $t=\frac{s}{s-1}$ tu dois pouvoir ajouter "facilement" ces deux intégrales et "tomber" sur une intégrale dont tu connais une primitive (genre $\int \frac{\ln(x)}{x}$).

Je n'ai pas fait les calculs complets donc ça ne marche peut être pas...

Roro.

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#5 19-02-2019 23:27:31

Nypriec
Membre
Inscription : 19-02-2019
Messages : 2

Re : Fonction dilogarithme/de Spence

Je retombe exactement sur ce qui tu dis !
Quelle sottise de ne pas avoir vu ce changement de variable ...

Je te remercie pour ton aide et m'excuse de t'avoir dérangé.

Bonne soirée à toi !

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#6 19-02-2019 23:29:10

Roro
Membre expert
Inscription : 07-10-2007
Messages : 1 552

Re : Fonction dilogarithme/de Spence

Bonsoir,

Pas de problème, et pas de dérangement - c'est un peu le rôle d'un forum...

Roro.

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