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#1 04-02-2019 15:42:27

TOS
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Transformation affine

Bonjour,

Je suis en licence 2 de mathématiques et j'ai un devoir à faire en géométrie. Après être parvenue à répondre aux trois premières questions, je me retrouve bloquée pour résoudre la quatrième. En voici l'énoncé:
"On suppose que E est de dimension 3 et qu'il est rapporté à un repère cartésien (0,e1→,e2→,e3→). On considère l'application f de E dans E définie analytiquement par x'=x+6y+3z+12
                                       y'=-3x-8y-3z-15
                                       z'=6x+12y+4z+18

(d) Soit P un plan d'équation x+2y+z=0. Démontrer que tout plan parallèle à P est globalement invariant par f. Quelle est la restriction de f à un tel plan? Montrer que f est une affinité."

Je n'ai pas très bien saisi la notion de "globalement invariant", je ne sais donc comment le démontrer. Je ne vois pas non plus comment exprimer les plans parallèles à P. Merci de votre aide.

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#2 04-02-2019 16:09:04

Michel Coste
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Re : Transformation affine

Bonjour,

Une partie de $A$ de $E$ est globalement invariante par une application $f: E\to E$ quand $f(E)=E$.

Deux plans affines sont parallèles si et seulement s'ils ont même plan vectoriel associé. Si $ax+by+cz=d$ est l'équation d'un plan affine, peux-tu donner l'équation du plan vectoriel associé ?

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#3 04-02-2019 16:39:53

TOS
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Re : Transformation affine

Je viens de parcourir mon cours dans son intégralité je ne vois nul part la notion d'espace vectoriel associé. Pourriez-vous m'en dire plus?

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#4 04-02-2019 16:48:02

Michel Coste
Membre
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Re : Transformation affine

Difficile pour moi de savoir comment on t'a présenté la géométrie affine.
Le plan vectoriel associé à $P$ est le plan des vecteurs parallèles à $P$.
Ou alors, si ça ne te va toujours pas :
Disons qu'un plan vectoriel est un plan qui passe par l'origine. le $P$ de ton énoncé est un plan vectoriel. (Je fais un abus en écrivant ça, mais bon ...)
Le plan parallèle à $P$ passant par le point $M_0$ est l'ensemble des $M$ tels que le vecteur $\vec{M_0M}$ appartienne à $P$. Ça va mieux comme ça ? Ça te permet d'écrire l'équation du plan parallèle à $P$ passant par $M_0$ de coordonnées $(x_0,y_0,z_0)$ ?

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#5 04-02-2019 17:04:15

TOS
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Re : Transformation affine

Merci beaucoup pour toutes ces précisions. Si je comprends bien, l'équation du plan parallèle à P passant par M0 serait (x-x0)+2(y-y0)+(z-z0)=0.

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#6 04-02-2019 18:10:15

Michel Coste
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Re : Transformation affine

Oui.

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#7 04-02-2019 18:34:32

TOS
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Re : Transformation affine

Merci. Comment fais-je à présent pour montrer que c'est globalement invariant par f?

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#8 04-02-2019 23:05:20

Michel Coste
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Re : Transformation affine

Soit $Q$ un plan parallèle à $P$.
Commence par montrer que $f(Q) \subset Q$.  Tu as l'expression de $f$ en coordonnées, tu sais comment s'écrit l'équation d'un plan parallèle à $Q$;
Tu as donc tout ce qu'il faut pour faire le calcul : si les coordonnées d'un point satisfont l'équation de $Q$, les coordonnées de son image par $f$ aussi.

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