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hasnaemath

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exercice en analyse numérique (méthode de jacobi)

Bonjour tout le monde,
J’espère que vous allez très bien, en fait j'ai un exercice très très difficile en analyse numérique que je n’arrive pas à résoudre, prière de m'aider.
Voici l'énoncé de l'exercice :

https://image.noelshack.com/fichiers/20 … ercice.jpg

Merci d'avance :)

aviateur

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Re : exercice en analyse numérique (méthode de jacobi)

solution de la question 1.  Sans restreindre la généralité et pour simplifier l'écriture on peut supposer que  r=1  et par ailleurs que [tex]a_{11}=0[/tex]  (En effet cela revient à retirer [tex]a_{11}\times I[/tex] et cela ne fait que translater le spectre.
les disques de Gershogorin sont les disques  de  rayon (inf ou egaux)  [tex](n-1)\epsilon[/tex] et de centre
[tex]0  , a_{22},a_{33},.....[/tex]
Les hypothèses font que le premier disque est disjoint des autres:  Notons D ce disque. 
Considérons [tex]A_0=diag (A)[/tex] , [tex]B=A-A_0[/tex]    et pour tout [tex]t\in[0,1][/tex] [tex]A(t)=A0+tB[/tex]

Les valeurs propres de  A(t)  se déplacent continûment  en fonction de t sur des chemins complexes et en particulier la valeurs propres issues le la valeur propre 0 de [tex]A_0[/tex]  se déplace continûment tout en restant dans les disque de centre 0  et de rayon [tex]t(n-1)\epsilon.[/tex] ainsi pour t=1 (donc pour la matrice A
il y a une seule valeur propre dans le disque D. 
Mais ce n'est pas suffisant il faut montrer que cette valeur propre est dans un rayon + petitça c'est facile à faire.

question 1. deuxième partie
Considérons la matrice [tex]C=diag(a,1,.....1).[/tex]  a>0  que l'on choisira après.
La matrice [tex]E=CAC^{-1}[/tex]  correspond à la matrice A dont les termes de la première lignes sont multipliées par a  et ceux de la première colonne par 1/a; en particulier le coeff diagonal est inchangé.
ainsi la valeur propre qui  est dans le disque [tex]D (0, (n-1)\epsilon)[/tex]     et dans le disque
[tex]D (0, a (n-1)\epsilon)[/tex] pourvu que ce disque ne rencontre pas les autres.
la bonne valeur de a est [tex]a=\frac{2\epsilon }{\delta}[/tex]
C'est facile à vérifier