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#1 20-01-2019 22:30:16

TOS
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Barycentre et trapèze

Bonjour,

Je suis en licence 2 de mathématiques et j'ai un devoir à faire en géométrie. Seulement, je bloque un peu sur l'ensemble du devoir. Je ne dispose pas de suffisamment de connaissance sur les trapèzes, et j'ai trouvé tellement de propriété les concernant sur internet que je ne parviens pas à déterminer ce qui pourrait m'être utile. De plus, la professeure à rapidement fait le cours avec nous sur le barycentre vendredi, aussi je ne suis pas très à l'aise avec cette notion.
En voici l'intitulé:
"Soient A,B,C,D quatre points du plan avec A,B,C non alignés.
(a) Montrer que ABCD est un trapèze si et seulement si il existe un réel α > 0 tel que D = bar ( ( A , α ) , ( B , -α ) , ( C , 1 ) ).
On suppose dans la suite que ABCD est un trapèze avec D = bar ( ( A , α ) , ( B , -α ) , ( C , 1 ) ) , que les droites ( AD ) et ( BC ) sont sécantes en K et que les droites ( AC ) et ( BD ) sont sécantes en L.
(b-i) Montrer qu'il existe un réel x tel que K = bar ( ( A , x ) , ( D , 1-x ) ) et K = bar ( ( B , x ) , ( C , 1-x ) ).
(b-ii) Montrer que l'on a x+α ( 1-x ) = 0.
(b-iii) Montrer que K appartient à la droite ( IJ ).
(c) Montrer que les points I,J,K,L sont alignés."

Je vous remercie d'avance pour vos réponses.

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#2 21-01-2019 09:15:39

Michel Coste
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Re : Barycentre et trapèze

Bonjour,

Un trapèze est un quadrilatère convexe qui a deux côtés parallèles. Il y a une ambiguïté dans l'énoncé : s'agit-il des côtés $(AB)$ et $(CD)$, ou des côtés $(AC) $ et $(BD)$ ?
Bon, vu la suite de l'énoncé, il s'agit des côtés $(AB)$ et $(CD)$. Donc le quadrilatère $ABCD$ est un trapèze si et seulement s'il existe un réel $\lambda <0$ tel que $\vec{CD}=\lambda \vec{AB}$ ($\lambda$ négatif pour bien avoir un quadrilatère convexe, fais un dessin).
Il te reste à comparer cette condition nécessaire et suffisante avec celle formulée en terme de barycentre (reviens à la définition du barycentre).

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#3 21-01-2019 10:13:24

TOS
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Re : Barycentre et trapèze

Bonjour,
Merci pour votre réponse. Voici ce que j'ai fait:
=> L'implication "ABCD est un trapèze alors il existe α>0 D=bar((A,α) , (B,-α) , (C,1))"
ABCD est un trapèze donc il existe λ<0 tel que
CD=λAB
<=> CD=λ(AD+DB)
<=> CD=λAD+λDB
<=> -DC=-λDA+λDB
<=> 0=-λDA+λDB+DC
On pose α=-λ>0
Donc D=bar((A,α),(B,-α),(C,1))

<= L'implication "Il existe α>0 tel que D=bar((A,α),(B,α),(C,1) alors ABCD est un trapèze"
0=αDA-αDB+DC
<=> 0=α(DA-DB)+DC
<=> 0=α(BD+DA)+DC
<=> 0=αBA+DC
<=> -DC=αBA
<=> CD=-αAB
On pose λ=-α<0
Donc CD=λAB
Donc ABCD est un trapèze

Cela est-il correct?

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#4 21-01-2019 10:52:31

Michel Coste
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Re : Barycentre et trapèze

On peut faire une rédaction plus économe, mais je pense que tu as vu le truc. Maintenant, continue !

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#5 21-01-2019 12:53:07

TOS
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Re : Barycentre et trapèze

Pour la (b-i), j'ai déroulé ce que je devais démontrer, à savoir:
il existe x appartenant à R tel que K=bar((A,x),(D,1-x)) et K=bar((B,x),(C,1-x)) <=> xKA+(1-x)KD=0 et xKB+(1-x)KC=0
Par hypothèse, je sais que K appartient à (AD) et (BC), cependant je ne sais pas comment faire le lien avec le barycentre. Si j'interprète de façon correcte mon cours, je trouve αKA+δKD=0 et βKB+γKC=0, en supposant que K soit le barycentre, et là je suis bloquée.

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#6 21-01-2019 13:03:58

Michel Coste
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Re : Barycentre et trapèze

Thalès ?

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#7 21-01-2019 15:14:06

TOS
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Re : Barycentre et trapèze

Merci. Voici donc ce que j'ai obtenue:
K appartient à (AD) donc il existe α appartenant à R tel que AK=αAD
K appartient à (BC) donc il existe β appartenant à R tel que BK=βBC

donc α= AK/AD et β=BK/BC

On sait que:
(AD) et (BC) sont sécantes en K
(AB) et (DC) sont aprallèles car ABCD est un trapèze
D'après le théorème de Thalès:
AK/AD=BK/BC

donc α=β
On obtient AK=αAD
            et BK=βBC

AK=α(AK+KD)                     BK=α(BK+KC)
<=> AK=αAK+αKD              BK=αBK+αKC
<=>-KA=-αKA+αKD           -KB=-αKB+αKC
<=>   0=-αKA+KA+αKD         0=-αKB+KB+αKC
<=>   0=(1-α)KA+αKD           0=(1-α)KB+αKC
On pose x=1-α
On a donc 0=xKA+(1-x)KD et 0=xKB+(1-x)KC
Donc K=bar((A,x),(D,(1-x))) et K=bar((B,x),(C,(1-x)))

Cela est-il correct?

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#8 21-01-2019 15:18:54

Michel Coste
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Re : Barycentre et trapèze

Je n'ai pas le temps de tout lire. Il me semble que tu as saisi, mais je ne vais pas vérifier en détail (après tout, c'est ton job !).

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#9 21-01-2019 16:12:19

TOS
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Re : Barycentre et trapèze

D'accord. Par contre, je ne vois absolument pas comment trouver x+α(1-x)=0. J'ai essayé d'injecter K dans αDA-αDB+DC=0 mais je n'aboutit à rien.

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#10 21-01-2019 16:19:12

Michel Coste
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Re : Barycentre et trapèze

Encore Thalès !

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#11 21-01-2019 16:41:10

TOS
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Re : Barycentre et trapèze

Désolé, je ne vois pas dans quel cas appliquer Thalès pour trouver l'expression demandée. Je ne comprends d'ailleurs pas pourquoi il n'y a aucun vecteur dans cette égalité.

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#12 21-01-2019 17:08:55

Michel Coste
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Re : Barycentre et trapèze

Reviens à mon premier message. Tu as déjà appliqué Thalès une fois. Ne vois-tu pas comment les vecteurs $\vec {AB}$ et $\vec {DC}$ entrent aussi en jeu ? (fais un dessin).

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#13 21-01-2019 17:34:49

TOS
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Re : Barycentre et trapèze

J'ai fait:
xKA-xKB+(1-x)KD-(1-x)KC=0
<=>xKA+xKB+(1-x)KD+(1-x)CK=0
<=>xBA+(1-x)DC=0
<=>xBA+λ(1-x)AB=0
<=>xBA-λ(1-x)BA=0
On pose α=-λ
donc (x+α(1-x))BA=0
Or, d'après l'hypothèse, A et B sont non alignés
donc x+α(1-x)=0

Est-ce que c'est bon?

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#14 21-01-2019 17:37:19

Michel Coste
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Re : Barycentre et trapèze

Écoute, je t'ai mis sur la piste, à toi de prendre la responsabilité de ce que tu écris.

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#15 21-01-2019 17:52:14

TOS
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Re : Barycentre et trapèze

Très bien, je vais essayer de me faire confiance alors.
Pour la question suivant, j'ai oublié de préciser que I est le milieu de (A,B) et J est le milieu de (C,D).
Je dois donc montrer que K appartient à (IJ), c'est à dire qu'il existe a,b tel que aKI+bKJ=0
Je sais que:
I=mil(A,B) donc IA+IB=0 <=> AI=1/2 AB
I=bar((A,1),(B,1))

J=mil(C,D) donc JC+JD=0 <=> CJ=1/2 CD
J=bar((C,1),(D,1))

J'ai beaucoup de relations mais je ne sais pas laquelle peut me permettre d'arriver au résultat. J'ai essayé d'injecter K dans IA+IB=0 et dans JC+JD=0 mais je n'aboutit à rien.

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