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#1 06-05-2007 16:59:41

sakura
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test Khi-deux : ajustement par une loi exponentielle [Résolu]

Bonjour !
J'ai un exercice de math à faire sur le khi-deux avec un ajustement par une loi exponentielle seulement je n'arrive pas à calculer Pi (calcul des probabilité avec la loi exponentielle). J'ai fait des calculs mais je penses qu'ils sont faux vu que je trouve un indicateur d'écart de 41,45.
Le sujet est : On se propose d'étudier la loi du temps T consacré à une cliente par une vendeuse d'un grand magasin affectée au rayon parfumerie. Sur un échantillon de 200 clientes, on a relevé les résultats suivants :
Temps (en min)      Pourcentage
[0;2[                          34%
[2;4[                          22,5%
[4;6[                          14,5%
[6;8[                          7,5%
[8;10[                        7,5%
[10;12[                      3,5%
[12;14[                      4,5%
[14;16[                      3%
[16;18[                      1,5%
[18;20[                      1%
[20;22[                      0,5%
On lit par ex : pour 22,5% des clientes de l'échantillon, le temps qui leur a été consacré par la vendeuse a été compris entre 2 et 4 minutes.
Tester au seuil de risque 5% l'hypothèse selon laquelle T suivrait une loi exponentielle d'espérence 5 minutes.
Pourriez vous m'aider ? svp

Dernière modification par sakura (06-05-2007 17:15:00)

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#2 06-05-2007 19:25:20

john
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Re : test Khi-deux : ajustement par une loi exponentielle [Résolu]

Bonsoir,
Bien mal compris ton pb. en fait. On ne peut pas faire les calculs à ta place...

As-tu calculé les fréquences théoriques ?
Exemples :
[0, 2[---34%---32,97%
[2, 4[---22,5%---22,1%
...
[20, 22[---0,5%---0,6%

As-tu ajouté une 12ème classe ?
[22, +oo[---0%---1,23%

As-tu calculé les contributions de chaque écart ?
[0, 2[---34%---32,97%---(0,34-0,3297)²/0,3297=3,2E-4
[2, 4[---22,5%---22,1%---(0,225-0,221)²/0,221=0,73E-4
...

As-tu fait la somme des contributions ?

As-tu cherché dans la table du Khi 2 à 12 ddl au seuil 5% ?
etc.
Merci de nous tenir informé stp, car il n'y a pas de mystère dans cette cuisine.
A+

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#3 06-05-2007 19:41:17

john
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Re : test Khi-deux : ajustement par une loi exponentielle [Résolu]

Oups !
En relisant ton message, je vois que ce sont les % théoriques que tu ne sais pas calculer...

La densité de ta loi exponentielle s'écrit :
D(t) = 0,2.exp(-0,2.t) pour t>0

Sa fonction de répartition s'obtient par intégration :
Pr(t<T) = Somme de 0 à T de D(t).dt = 1 - exp(-0,2.T)

Exemple
[4, 6[ --> exp(-0,2*4) - exp(-0,2.6) = 0,1482 = 14,82%
A+

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#4 07-05-2007 12:19:47

sakura
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Re : test Khi-deux : ajustement par une loi exponentielle [Résolu]

merci
j'avais pas compris que ça se calculais comme ça
encore merci pour ton aide
A+

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#5 07-05-2007 12:36:17

sakura
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Re : test Khi-deux : ajustement par une loi exponentielle [Résolu]

Par rapport à ton premier message, j'ai calculé les fréquences théoriques je n'ai pas ajouté de 12ème classe et j'ai calculé les contributions de chaques écarts. Mais je n'ai pas la même formule que toi.
Par ex : [2;4[    Ni=22,5%    Pi=0,221    NPi=100*0,221=14,21 ((Ni-Npi)^2)/Npi=((22,5-14,21)^2)/14,21=3,99
Cela revient il à faire la même chose que toi ?
Après j'ai fait la somme des contributions et j'ai obtenu 12,85. (avec tes chiffres j'ai 0,08932 dans ce cas la, par rapport à la suite on accepte la loi exponentielle)
Après j'ai calculé V=(n-1)-r = (7-1)-0=6 r étant le nombre de paramètre esimée (échantillonnage)
Pour trouver : Khi-deux de 2, alpha = 11,07
12.85>11.07 on accepte pas l'hyphothèse selon laquelle, à seuil de risque 5%, X suit une loi exponentielle d'espérence 5.

Encore merci pour ton aide.

Dernière modification par sakura (07-05-2007 13:23:18)

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#6 07-05-2007 15:40:02

john
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Re : test Khi-deux : ajustement par une loi exponentielle [Résolu]

Effectivement, je me suis grossièrement planté, car ça ne revient pas au même de travailler avec les effectifs et les fréquences. Le X² a la dimension d'un effectif que diable !!!
En fait, (bouquin de stat. en main), il faut travailler avec les effectifs expérimentaux NE(i) et théoriques NT(i) des r classes i = 1..r.

Exemple avec la 2ème classe pour un échantillon de 200 clients
-------------------------------------------------------------------------
[2 ; 4[
NE(2) = 22,5%*200 = 45 clients (effectif observé expérimentalement)
NT(2) = 22,1%*200 = 44,2 clients (effectif théorique donné par la loi supposée)
Contribution de cette classe au X²
(NE - NT)²/NT = (45 - 44,2)²/44.2 = 0,014
Comment peux-tu trouver 3,99 ??????????

PS :
Et donc pour travailler directement avec les fréquences expérimentales FE(i) et théoriques FT(i) on a :
(NE - NT)²/NT = N.(FE - FT)²/FT avec N = taille de l'échantillon.
---------------------
Pour corriger ma ligne de calcul (message #2) :
[2, 4[---22,5%---22,1%---(0,225-0,221)²/0,221=0,73E-4
il suffit de multiplier par N = 200 soit 1,46E-2 au lieu de 0,73E-4
désolé !
---------------------
A+

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#7 07-05-2007 16:09:01

sakura
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Re : test Khi-deux : ajustement par une loi exponentielle [Résolu]

c'est pas grave.
j'ai trouvé les 3,99 en suivant l'exemple du cour. le proff a multiplié la probabilité trouvé par la loi normal par N (somme des effectifs obsevés), et si je me réfère à cet exercice, N est égale à 100 (34+22.5+14.5+7.5 ... +0.5).
Au début, j'avais pris l'effectif 200 et je trouvais un chiffre tellement improbable que j'ai aussitot pensé que mes calculs de loi exponentielle était complément faux vu que dans l'exemple c'est des petits chiffres
et avec 100 c'est plus proche du chiffre avec lequel je dois comparer tout à la fin (je ne connais pas son appellation, moi je trouve 11,07).
Je suis complètement perdu. T'es sur de tes formules ? et qu'il faut multiplier les 2 par 200 ?

A+

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#8 07-05-2007 19:27:47

john
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Re : test Khi-deux : ajustement par une loi exponentielle [Résolu]

Je suis rarement sûr dans cette matière comme dans les autres... car je travaille souvent de mémoire, ce qui devrait être interdit à partir d'un certain âge. Mais là, avec le Bass de proba. en main, je suis absolument certain du calcul du Khi2.
Si tu pouvais donner l'exemple que tu as vu en cours, peut-être y a t-il une explication.
A+
-----------
Ajouté...
En fait, il y a une explication bien simple du facteur 100.
Si tu travailles avec le nombre des %, (exemple de la classe i avec 34 pour 34%), cela revient à considérer un échantillon de taille N=100.
L'effectif théorique correspondant est bien 100*P_i où P_i est la proba de la classe i.
Mais il faut rester cohérent pour le calcul de contribution de la classe i :
(34 - 100*P_i)²/(100*P_i)
C'est ce que tu dois avoir dans l'exemple de ton cours.
A+
----------
re
autre remarque
tu as 11 classes et le paramètre de ta loi exponentielle est donné. Il y a donc 11-1 = 10 ddl et on lit dans la table qu'un Khi2 = 18,31 a seulement 5% de chances d'être dépassé. Combien trouves-tu finalement pour le Khi2 calculé ?
A+

Dernière modification par john (07-05-2007 21:24:50)

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#9 08-05-2007 19:18:14

sakura
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Re : test Khi-deux : ajustement par une loi exponentielle [Résolu]

Je penses que ton explication du facteur 100 est bonne, la formule que tu donnes c'est celle de l'exemple du cour pour le calcul de contribution de la classe i.

---------------------------

L'exemple est :  Une entreprise produit de la lessive conditionnée en boîte de 5 kg. Afin d'étudier les prix de vente de ces boîtes chez les détaillants, l'entreprise propose, pendant une période donnée, de rembourser 1€ (et les frais de timbre sur demande) à tout client qui enverra une preuve d'achat et le ticket de caisse. Sur un échantillon de 800 demandes de remboursement, on a relevé les prix suivants :
Prix € d'1 boite lessive   Nb de tickets
<  5                                   15
[5;7.5[                              107
[7.5 ;10 [                          270
[10 ;12.5 [                        290
[12.5 ;15 [                        99
>= 15                               19
A u seuil de risque 5% l'ajustement de cette distribution par une loi normale d'espérance 10€ et d'écart type 2.5€ est elle acceptable ?

Prix € d'1 boite lessive          Ni           Pi                  Npi                 (Ni-Npi)^2 / Npi
<  5                                   15           0.0228        18.24                   0.5755
[5;7.5[                              107          0.1359         108.72                0.0272
[7.5 ;10 [                          270          0.3413        273.04                  0.0338
[10 ;12.5 [                        290          0.3413         273.04                 1.0535
[12.5 ;15 [                        99            0.1359        108.72                  0.8690
>= 15                               19           0.0028           18.24                  0.0316
                                 N = 800                                                      Total = 2.5606

alpha = 0.05
V = (n-1)-r = (6-1) -0 = 5

Khi2 de 0.05 = 11.07

2.59 < 11.07 donc à seuil de risque 5%, on accepte l'hypothèse selon laquelle X suivent la loie normale de paramètre 10 et 2.5

-------------------------------
Exercice :

Pour le Khi2 de 0.05 = 11.07 (dans la table)
Pour le Khi2 calculé = 12.85

ddl ? ça veut dire quoi ?Pourquoi 11-1 ?

A +

Dernière modification par sakura (08-05-2007 19:18:43)

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#10 09-05-2007 21:06:29

john
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Re : test Khi-deux : ajustement par une loi exponentielle [Résolu]

Bonsoir,
OK pour l'exemple du test d'une loi normale et merci.
-------------
Pour ton exercice, avec le risque de 5%, je lis dans ma table un Khi2 à ne pas dépasser de 18,307. Il y a en effet 11 classes dans la distribution observée et donc 11 - 1 = 10 degrés de liberté (ddl**) car le paramètre de la loi exponentielle n'est pas calculé à partir des données (et donc il est supposé connu).
Conclusion
Si le Khi2 calculé est effectivement 12,85 (je n'ai pas vérifié) on ne peut pas rejeter l'hypothèse d'une distribution exponentielle de paramètre 5 min. L'inconvénient de cette situation, c'est qu'on ne connaît pas le risque pris en acceptant cette hypothèse. En pratique, il faut envisager de réaliser un autre type de test.
Si tu avais trouvé un Khi2 calculé de 15 par exemple, la situation aurait été beaucoup plus confortable. On aurait rejeté l'hypothèse avec un risque de se tromper de 5%.
------------------------------
** D'une manière générale, le nombre de ddl (qu'il est nécessaire de connaître pour lire le Khi2 dans la table) est égal au nombre de classes de la distribution observée moins une et moins le nombre de paramètres estimés à partir des données.
------------------------------
A+

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#11 10-05-2007 18:08:04

sakura
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Re : test Khi-deux : ajustement par une loi exponentielle [Résolu]

ok

Je te remercie infiniment pour ton aide

A +

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#12 05-06-2007 11:22:58

krugy34
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Re : test Khi-deux : ajustement par une loi exponentielle [Résolu]

Bonjour,

J'aimerais bien savoir comment fait on pour trouver les probabilités Pi dans l'exemple donné par le prof de sakura avec les boites de lessives.
Faut-il utiliser la formule de la loi normale de proba f(x)= 1/(g*racine(2*pi))*exp(-0,5(x-u)/g)^2 où g est la variance et u la moyenne?

Merci

@+

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#13 05-06-2007 12:12:36

john
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Re : test Khi-deux : ajustement par une loi exponentielle [Résolu]

Bienvenue krugy34,
En théorie il serait possible de calculer les proba. Pi par la méthode que tu proposes. Mais c'est plus simple de faire l'inverse :
on ramène la distribution observée à la loi normale centrée réduite N(0, 1) (moyenne = 0 et écart-type = 1) qui a l'avantage d'être tabulée.
Exemple
Le prix < 5 € d'une loi normale de moyenne = 10 et d'écart-type = 2,5 correspond à (5-10)/2,5 = -2 d'une loi normale N(0, 1).
Il reste à lire dans la table
http://www.bibmath.net/formulaire/tablenormale.php3
Pr(prix < 5 €) = Pr(X<-2) = 0,0228
A+

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#14 06-06-2007 16:46:19

krugy34
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Re : test Khi-deux : ajustement par une loi exponentielle [Résolu]

Bonjour,

Merci pour les infos précedentes.
En fait je dispose d'un échantillon de 14500 points (moyenne:1.6 et écart type 1.4).Je les ai regroupé selon leur fréquence et je voudrais ainsi savoir si une fois classés ces échantillons répondent bien a la loi normale. Quand je trace la courbe représentatif de ces points j'obtient pratiquement une gaussienne. Voici ce que j'obtient en classant les points:

Classe (valeur échantillon)                              nombre de points
<1                                                                       5911
[1;2[                                                                    4537
[2;3[                                                                    2402
[3;4[                                                                    853
[4;5[                                                                    339
[5;6[                                                                    157
[6;7[                                                                    106
[7;8[                                                                    74
[8;9[                                                                    51
[9;10[                                                                  37
[10;11[                                                                15
[11;12[                                                                14
>12                                                                     4

Comme je l'ai dis précédement mon but est de vérifier que ces points sont en adéquation avec la loi normale.
Comment dois-t on faire?
Je m'y suis pris de la façon suivante mais je ne sais pas si c'est correct:
j'ai calculé la moyenne des valeurs des échantillons:1115 et l'écart type:1958
Ensuite j'ai essayé de calculer les différents Pi:
<1 :                              ( 1-1958)/1115 = -1.76   et F(-1.76) = 0.0392
puis le Q:                      (5911- 0.0392*5911)^2 / 1115 =7868
Mais je trouve que cette valeur est très excessive.Est-ce la bonne méthode?

Merci

@+

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#15 06-06-2007 21:25:58

john
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Re : test Khi-deux : ajustement par une loi exponentielle [Résolu]

Bonsoir,
j'aimerais t'aider à résoudre ce pb. mais hélas, je ne capte pas...

Tu disposes d'un échantillon de 14500 valeurs que tu regroupes en 13 classes.
Tu as calculé la moyenne (1,6) des valeurs de cet échantillon.
Tu as calculé la racine carrée de la variance (1,4) des valeurs de cet échantillon.
(remarque au passage : selon ma mémoire, on appelle cela écart-type seulement si la distribution d'effectifs est normale).
Jusque là, ça va à peu près.
Ensuite, tu donnes un tableau d'effectifs par classe qui ressemble à tout sauf à une distribution normale !!!!
Trois lignes plus loin, tu recalcules une nouvelle moyenne (1115 ?????) et un nouvel "écart-type" (1958 ???????).
Bref, pour répondre à ta question, souviens-toi bien de ceci :
Quand on fait n'importe quoi... on obtient n'importe quoi !
et ça semble t'étonner.
A+

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#16 06-06-2007 23:36:27

krugy34
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Re : test Khi-deux : ajustement par une loi exponentielle [Résolu]

bonsoir,

En fait j'ai regroupé les 14500 échantillons en 13 classes. Si je trace le nombre d'échantillon en fonction des classes j'obtien a peu près une gaussienne. Mon but est de trouver un test permettant de determiner si les échantillons que j'ai regroupé en ces 13 classes répondent bien a la loi normale.Pour cela j'ai donc utilisé le test du Khi deux.
Si l'on calcule la moyenne de ces échantillons on obtient 1115 et l'écart type est de 1958.
J'essaye alors d'appliquer le test du khi deux avec ces valeurs mais hélas cela ne fonctionne pas...a moins que je n'ai rien compris du tout et c'est fort probable.
L'écart type de 1,4 et la moyenne de 1,6 correspondent a l'écart des valeurs avant de les regrouper par classe et donc a mon avis ne rentrent pas en compte ds le calcul du khi deux des échantillons classés.
Comment prouver que mes échantillons classés verifient bien la loi normale?
@+

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#17 07-06-2007 06:56:18

john
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Re : test Khi-deux : ajustement par une loi exponentielle [Résolu]

Hello,
Désolé, je dois être complètement 'compact' car je ne comprends rien à ce que cherche notre ami krugy... quelqu'un peut-il expliquer ? Vifs remerciements anticipés !

PS : Voici un exemple d'effectifs normaux où la traditionnelle courbe en cloche est visible sans faire le tracé :
Valeur                             Effectifs
<  5                                   15
[5;7.5[                              107
[7.5 ;10 [                          270
[10 ;12.5 [                        290
[12.5 ;15 [                        99
>= 15                               19
Stp, peux-tu nous donner le tableau correspondant à ton cas (celui où tu observes une gaussienne) ?
A+

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#18 07-06-2007 10:03:33

krugy34
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Re : test Khi-deux : ajustement par une loi exponentielle [Résolu]

bonjour,

le tableau est le suivant:

Valeur                                                               effectif
<1                                                                     5911
[1;2[                                                                  4537
[2;3[                                                                  2402
[3;4[                                                                  853
[4;5[                                                                  339
[5;6[                                                                  157
[6;7[                                                                  106
[7;8[                                                                  74
[8;9[                                                                  51
[9;10[                                                                37
[10;11[                                                              15
[11;12[                                                              14
>12                                                                   4

Si on trace la courbe effectifs=f(valeurs) on obtient une gaussienne. Je veux prouver que ces effectifs sont en adéquation avec la loi normale.
Pour cela j'ai donc calculé la moyenne et l'écart type des effectifs (1115 et 1958). Et j'ai essayer de calculer les PI et la somme des carrés comme dans l'exemple précedement cité.Or je trouve des valeurs farfelues.Pour la valeur <1 j'obtients (Ni-Ni*PI)^2/NiPi d'environ 7800 ce qui n'est pas bon!
Il me semble alors que les valeurs de moyenne et d'écart type que j'ai calculé sont inexactes.Si c'est le cas quelles valeurs de moyenne et d'écart type dois-je prendre pour prouver que j'ai affaire a une gaussienne?
A+

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#19 07-06-2007 12:57:11

john
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Re : test Khi-deux : ajustement par une loi exponentielle [Résolu]

Re,
Pour moi, des données d'allure gaussienne sont fournies au message #17. Peux-tu tracer la courbe correspondante et comparer avec l'allure de tes données. Si ces 2 courbes sont comparables alors change vite tes lunettes...
En parlant de lunettes, il me vient une idée... Veux-tu dire que tes données ont l'allure d'une demi-gaussienne ?
A+


Tu veux peut-être dire "loi exponentielle ?" ou "loi log-normale ?" ou ...
Jette un oeil ici :
http://www.bibmath.net/dico/index.php3? … rmale.html
http://www.bibmath.net/dico/index.php3? … rmale.html
http://www.bibmath.net/dico/index.php3? … iexpo.html
et reviens nous dire à quelle distribution tu souhaites raccorder tes données.
A+

Dernière modification par john (07-06-2007 13:15:22)

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#20 07-06-2007 18:48:44

krugy34
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Re : test Khi-deux : ajustement par une loi exponentielle [Résolu]

Bonsoir,

Et bien oui ce que je veux dire c'est que mes données ont l'allure d'une demi gaussienne.Je suppose qu'il est possible quand même d'utiliser le test du khi deux pour verifier que les effectifs répondent a la loi normale.

a+

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#21 07-06-2007 22:29:49

john
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Re : test Khi-deux : ajustement par une loi exponentielle [Résolu]

Re,
Ouf ! ça finit toujours par converger mais parfois c'est long.
Le raccordement à une demi-gaussienne me semble a priori possible mais il faut réfléchir un peu et ce sera pour demain.Tu peux déjà revoir le test du khi2 car ta manière de l'appliquer laisse carrément à désirer (et je suis gentil).
A+

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#22 08-06-2007 11:55:50

john
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Re : test Khi-deux : ajustement par une loi exponentielle [Résolu]

Bonjour krugy34,

Voilà du travail pour ce WE, à faire en pas-à-pas. Dis-toi que si tu ne le fais pas, personne ne le fera pour toi, mais je veux bien encore t'assister pour arriver à la conclusion.

1/ La loi normale de départ (avant repliement) est supposée CENTREE. Sa densité s'écrit :
f(x) = (1/V(2Pi).exp[(x/sigma)²/2] pour x € R.
(Il est très important de justifier cette hypothèse "centrée", par des considérations sur les données et la méthode pour les obtenir. En fait, si ce n'est pas le cas :
a/ les calculs de raccordement sont beaucoup plus compliqués ;
b/ les conclusions tirées du test du Khi² qui va suivre n'ont aucune valeur.).

2/ On replie cette loi normale centrée sur elle-même et sa densité devient simplement :
f(x) = (2/V(2Pi).exp[(x/sigma)²/2] pour x € R+.
(Attention, la moyenne n'est plus nulle et la variance est différente.).

3/ On calcule l'écart-type sigma de la loi de départ par la relation :
sigma² = m² + s²
où m et s² sont respectivement moyenne et variance des DONNEES (et non pas des effectifs !!!).

4/ En divisant les bornes des 13 tranches par sigma, on se ramène à une variable réduite (variance = 1).

5/ On va lire les probabilités de chaque tranche (définie par les bornes calculées en 4) dans la table de la loi normale.

6/ On double toutes les proba. données par la table N(0, 1) (car la densité de la demi-loi normale est double).

7/ On multiplie ces proba. doublées par l'effectif total de l'échantillon pour obtenir les effectifs théoriques de chaque tranche.

8/ On calcule le Khi² correspondant aux 13 classes de la distribution observée.

9/ On calcule le nombre de ddl à prendre en compte : 13 - 1 - 1 = 11, car on a estimé un seul paramètre (sigma) à partir des données (puisque µ = 0 par hypothèse).

10/ On va lire dans la table du Khi² au seuil de confiance de 5% par exemple...

11/ On tire les conclusions.

Pas de panique, tout ça reste simple. J'espère ne rien avoir oublié.

Bon courage et A+

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#23 16-06-2007 18:50:38

john
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Re : test Khi-deux : ajustement par une loi exponentielle [Résolu]

Hello krugy34,
Aurais-tu décroché ? Où en es-tu ?
A+

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