Géométrie : raccourci LOsange

yannD · 24-01-2019 19:48:48

Enfin , je sais pas trop comment dire, mais si BD est la médiatrice du segment [AC], la droite BD passe par le milieu du segment [AC].D'accord.
Maintenant je montre que AC est la médiatrice du segment [BD], donc la droite AC passe par le milieu du segment [BD]. D'accord.
Mais je vois pas le même milieu

Dernière modification par yannD (24-01-2019 20:57:20)

yoshi · 24-01-2019 19:54:07

Re,

Encore une fois, c'est très simple : est-ce que deux droites peuvent avoir plus d'un point d'intersection ?
Alors ?

@+

yannD · 24-01-2019 20:00:53

deux droites ont même direction et dans ce cas, ces droites sont parallèles… OK
si deux droites ne sont pas , euh, n'ont pas la même direction, oui, voilà, si deux droites n'ont pas la même direction
forcément, ces droites finissent par se couper, ainsi ces droites sont sécantes donc même milieu

Dernière modification par yannD (24-01-2019 20:27:58)

yoshi · 24-01-2019 20:46:06

Re,

Oui.
Maintenant c'est en amont que ça se passe :
Pourquoi A est-il sur la médiatrice de [BD] ?
Pourquoi C est-il sur la médiatrice de [BD] ?

Pourquoi B est-il sur la médiatrice de [AC] ?
Pourquoi D est-il sur la médiatrice de [AC] ?
Et c'est 4 fois le même type de justification...

@+

yannD · 24-01-2019 20:51:50

Pour la démonstration, je propose :

Pour montrer que ABCD est un parallélogramme
je dois montrer que BD et AC sont les médiatrices
Par définition , la médiatrice d'un segment lui est perpendiculaire et passe par le milieu de ce segment
Mais
L'énoncé ne me permet pas d'utiliser le milieu , je dois utiliser la réciproque : si un point est équidistant des extrémités d'un segment, alors, ce point appartient à cette médiatrice.

Comme je pars de l'hypothèse côtés de même longueur
ainsi AB = BC et CD = DA alors le point B est équidistant des points A et C donc B est un point de la médiatrice de [AC] et le point D est équidistant des extrémités du segment [AC] alors D est également sur la médiatrice

Par deux points passe une droite , B et D sont sur la médiatrice de [AC] donc BD est un nom de la médiatrice de
la médiatrice d'un segment lui est perpendiculaire

c'est peut-être un peu long , un peu maladroit ?

Dernière modification par yannD (24-01-2019 20:52:46)

yoshi · 24-01-2019 21:02:22

Re,

Oui, savoir que les diagonales sont perpendiculaires ça ne t'avance pas pour le parallélogramme, donc inutile d'évoquer ça...
Rappelle moi la définition d'une médiatrice et tu y verras le mot qui t'échappe... ^_^

@+

yannD · 24-01-2019 21:24:21

La médiatrice d'un segment lui est perpendiculaire et passe par le milieu de ce segment.

yoshi · 24-01-2019 21:54:12

Alors, ce mot ?

yannD · 24-01-2019 23:44:42

et bien c'est milieu

yannD · 25-01-2019 00:43:23

Bonsoir Yoshi, je recommence la démonstration :

1ere étape :
ABCD est un parallélogramme.
Je remonte le courant :
-- > j'ai besoin de prouver que les diagonales [AC] et [BD] ont le même milieu.
< - Un quadrilatère qui a 4 côtés de même longueur est-il toujours un Losange ?

J'ai déjà remarqué que ABCD a pour diagonales [AC] et [BD] mais l'énoncé ne me dit pas que les diagonales ont le même milieu
Donc pour prouver que M milieu de [BD] et de [AC] - > je montre que les diagonales sont aussi des médiatrices
et d'après la définition de la médiatrice, celle-ci passe par le milieu d'un segment donc de l'autre diagonale.

2e étape :

Je ne voulais pas me coucher sans avoir refait un essai ,Je fatigue un peu, à demain…

yoshi · 25-01-2019 16:28:18

Re,

Oui, c'est bon.
La définition de la médiatrice te sert à prouver que M est milieu de l'une diagonale, puis de l'autre...
Pour arriver à la médiatrice, tu te sers du théorème réciproque suivant :
Si un point est équidistant des extrémités d'un segment alors il appartient à la médiatrice de ce segment.
Et deux fois pour A et C (par exemple).
Ainsi tu sais que la médiatrice de [BD] est (AC).
Comme on a déjà dit que M est l'intersection de [BD] et (AC) et comme la médiatrice de [BD] passe par le milieu de [BD], alors c'est que ce milieu est M...
(AC) ne peut passer par deux points différents de [BD]...

A ce stade, tu sais que M est le milieu de [BD]
Reste à prouver que (BD) est la médiatrice de [AC]...
Alors, en Géométrie, il arrive que, dans la même question, il faudrait répéter les mêmes phases, à la virgule près, juste en changeant l'ordre des noms des points...
C'est le cas ici...
Alors, on ne le fait pas...
On se contente de dire : on monterait de même que... etc

Ici, cela donnerait :
On montrerait de même, en utilisant le fait que BA = BC et DA = DC, (BD) est la médiatrice de [AC].
Donc que M est le milieu de [AC]...
M étant le milieu des diagonales [AC] et [BD] du quadrilatère ABCD, celui-ci est donc un parallélogramme...

@+

yannD · 25-01-2019 19:05:50

Bonsoir Yoshi, Oui, il faut répéter certaines phrases et c'est exactement le problème qui s'est posé …
et pour être franc, j'ajouterais que, la seule chose que j'avais compris jusqu'à présent : j'ai besoin de montrer que le quadrilatère est un parallélogramme donc M milieu de la diagonale [AC] et de la diagonale [BD]. Étant donné qu'il s'agit de la seule façon, ici.

Dernière modification par yannD (25-01-2019 19:15:57)

yannD · 25-01-2019 21:15:38

Bonsoir Yoshi,

Pour montrer que le quadrilatère est un parallélogramme :
1 ere étape : Je trouve les noms des médiatrices
Par hypothèse : 4 côtés de même longueur
Puis en prenant les côtés [AD] et [AB] consécutivement
A est équidistant des extrémités du segment [BD] , et d'après la réciproque théorème, ce point A est sur la médiatrice de [BD]
et comme C est équidistant des extrémités du segment [BD], alors C également.
Alors La médiatrice passe par les points A et C : la médiatrice de [BD] s'appelle (AC)

Puis en prenant les côtés [AB] et [BC] je montre que B est équidistant des extrémités du segment [AC]
ainsi B est sur la médiatrice de [AC]
D est équidistant des extrémités du segment [AC],
alors D est aussi sur cette médiatrice

La médiatrice passe par les points B et D ; elle s'appelle (BD).

2e étape : j'utilise la définition de la médiatrice pour montrer que les diagonales ont meme milieu
Par définition, de la médiatrice, celle-ci passe par le milieu d'un segment, on a montré que (AC) est la médiatrice du segment [BD],
donc (AC) passe par le milieu de [BD] , appelons - le M.
(BD) est la médiatrice de [AC] , celle-ci passe par le milieu de [AC]

Dernière modification par yannD (25-01-2019 21:17:14)

yoshi · 29-01-2019 13:59:34

Re,

(BD) est la médiatrice de [AC] , celle-ci passe par le milieu de [AC]

Oui, reste à montrer que le milieu de [AC] est bien le point M...

@+

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