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#1 17-01-2019 18:21:16

yannD
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Géométrie : raccourci LOsange

Bonsoir Yoshi


J'ai ouvert une nouvelle discussion parce que j'ai un problème de compréhension sur les 2 raccourcis du # 80 




                               

                                                   ----Parallélogramme ----
                                                                                      \
                                                                                       \
                                                                                        \

                                                                                        +
                                                                          Diagonales perpendiculaires

                                                                                  Ou

                                                                        2 côtés consécutifs égaux

                                                                                           /
                                                                                          /


                                                                               Losange


Le Losange est un parallélogramme, il a donc les propriétés du parallélogramme

AD = BC et (AD) // (BC)
AB = CD et (AB) // (CD)
Et  Diagonales même milieu

et comme c'est un Losange, on a en plus deux propriétés supplémentaires : Deux côtés consécutifs égaux. D'accord.

Je résume la démonstration :
D'après les Propriétés du Parallélogramme : Je sais que  AD = BC , si j'ajoute ces deux côtés consécutifs égaux AD = AB alors j'ai déjà 3 côtés égaux, j'ai AD = AB = BC et pour démontrer que ce sont bien les 4 côtés qui sont égaux, j'ajoute AB = DC

Et là, on peut dire qu'un Losange possède Toutes les Propriétés du Parallélogramme +  Une Propriété supplémentaire

mais dans le # 80 de Géométrie Seconde , après la phase  Le losange a toutes les Propriétés du Parallélogramme il y a  le raccourci : Si un quadrilatère a 4 côtés de même longueur  alors c'est un Losange et là où je bloque parce que l'on part d'un quadrilatère dont on ne sait rien, oui … on ne sait pas que c'est un parallélogramme .

Merci de m'aider…

Dernière modification par yannD (17-01-2019 18:39:09)

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#2 17-01-2019 18:49:51

yannD
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Re : Géométrie : raccourci LOsange

Je cherche, je cherche et je ne vois pas pourquoi on peut dire qu'un quadrilatère qui a ses 4 côtés de même longueur est un parallélogramme est un Losange parce que si ce quadrilatère a 4 côtés égaux, ça peut-être aussi un carré…

Dernière modification par yannD (21-01-2019 18:44:16)

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#3 17-01-2019 20:26:24

yoshi
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Re : Géométrie : raccourci LOsange

Re,

1. D'abord le Carré est un losange (avec deux propriétés supplémentaires) donc pour avoir un carré il faut déjà avoir un losange...
2. Démonstration du théorème :
   Si un quadrilatère a 4 côtés égaux alors c'est un losange.
    Soit ABCD ce quadrilatère. Soit M l'intersection de ses diagonales.
    Par hypothèse AB = BC = CD = DA et donc en particulier :
   AB = AD, donc A est sur la médiatrice de la diagonale [BD]
   et :
   CB = CD, donc C est sur la médiatrice de la diagonale [BD]étant M,  M est donc le milieu de [BD]
   Mais je peux aussi écrire
   BA = BC,  B est sur la médiatrice de [AC]
   DA = DC , D est sur la médiatrice de [AC]
   Donc la médiatrice de [AC] est (BD).
   Par définition, (BD) coupe donc [AC] en son milieu.
   Ce point d'intersection étant M,  M est donc le milieu de [AC]
   Le quadrilatère ABCD  dont les diagonales [AC] et [BD] ont le même milieu est donc un parallélogramme.
   Et comme BA = BC (par ex), ce parallélogramme a deux côtés consécutifs égaux, c'est donc un losange.
   N-B : j'aurais pu tout aussi bien utiliser le fait que (BD) est la médiatrice de [AC] pour dire que [AC] et [BD] sont perpendiculaires.
            Et conclure que les diagonales [AC] et [BD]} du parallélogramme ABCD étant perpendiculaires, alors c'est un losange.

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#4 19-01-2019 19:56:31

yannD
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Re : Géométrie : raccourci LOsange

Bonsoir Yoshi

Tout d'abord merci pour l'aide apportée et aussi pour votre réponse rapide mais je n'ai pas pu la lire tout de suite, en fait j'ai essayé de refaire la démonstration cet après-midi mais rien à faire, je n'arrive pas à la refaire .
On part de l'hypothèse AB = BC = CD = DA.
Mais pourquoi pars t-on  de cet hypothèse ?

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#5 19-01-2019 20:11:35

yannD
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Re : Géométrie : raccourci LOsange

Pouvez vous m'aidez ? s'il vous plait

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#6 19-01-2019 21:26:15

Michel Coste
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Re : Géométrie : raccourci LOsange

Bonsoir,

On part de l'hypothèse AB = BC = CD = DA.
Mais pourquoi pars t-on  de cet hypothèse ?

Que veut dire "quatre côtés de même longueur", selon toi ?

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#7 20-01-2019 00:25:32

yannD
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Re : Géométrie : raccourci LOsange

Bonsoir Monsieur

et bien 4 côtés de même longueur, c'est [AB] = [BC] = [CD] = [DA]
d'accord.
Mais ma question est : pourquoi pars t-on de cet hypothèse ?

La démonstration est déjà toute faire, j'aimerais mieux essayer de la trouver par moi-même , et de plus, si j'ose dire ainsi : je vais certainement comprendre les explications que vous allez me donner mais d'ici 3 semaines et bien j'aurais tout oublié… mieux vaut me donner une méthode pour trouver , enfin comment dois-je travailler pour faire une démonsstration , c'est plutôt ce qui me fait souffrir

Dernière modification par yannD (20-01-2019 00:56:38)

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#8 20-01-2019 11:22:30

Michel Coste
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Re : Géométrie : raccourci LOsange

M'enfin, yannD ????

Tu te poses la question de démontrer l'affirmation

Si un quadrilatère a 4 côtés de même longueur  alors c'est un Losange

tu comprends

et bien 4 côtés de même longueur, c'est [AB] = [BC] = [CD] = [DA]
d'accord.

et tu demandes

Mais ma question est : pourquoi pars t-on de cet hypothèse ?

Alors là, je ne vois vraiment pas où tu veux en venir.  En gros, tu te demandes pourquoi, quand on veut démontrer que A entraîne B, on part de l'hypothèse A ?

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#9 20-01-2019 11:41:30

yannD
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Re : Géométrie : raccourci LOsange

Donc A c'est 4 côtés de même longueur et A entraine B alors B c'est Losange

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#10 20-01-2019 11:59:39

yoshi
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Re : Géométrie : raccourci LOsange

Bonjour,

Mais ma question est : pourquoi pars t-on de cet hypothèse ?

Depuis quand conteste-t-on l'énoncé d'un problème ? pourquoi chercher des complications là où il y en a pas ?
Je pars d"un quadrilatère quelconque...
(Là, tu pourrais aussi contester en disant : pourquoi 4 côtés et pas 3 ou 5 ?)
Donc je pars d'un quadrilatère quelconque et je me demande ce que jeux rajouter comme minimum d'information supplémentaire pour que ce soit un losange ?
La réponse est :
Si un quadrilatère possède 4 côtés de même longueur alors c'est un losange...

   

d'ici 3 semaines et bien j'aurais tout oublié…

Ça, ce n'est pas normal. Je ne connais que deux types de mémoire :
- la mémoire auditive : c'est celle de ceux (l'une de mes filles était comme ça) qui lisent et répètent x fois la même chose à haute voix pour le retenir,
- la mémoire photographique : c'est celle de ceux, qui par exemple en géométrie, ont besoin de faire des dessins, d'expérimenter pour retenir, ou ceux qui récrivent 10 fois leurs cours...

Pour faire un problème de géométrie :
- il faut savoir par cœur ses leçons (je n'ai pas dit : apprendre par cœur. Je n'ai jamais reproché à un élève de ne pas avoir appris sa leçon, mais de ne pas la savoir, oui)
- il faut avoir résolu pas mal d'exercices sur un thème donné pour s'être approprié les définitions, les théorèmes, ce qu'ils signifient, comment les utiliser,
- il faut faire preuve d'imagination et sens critique (ex de sens critique ; cette propriété est-elle toujours vraie ? N'y at-il pas un exemple qui ne marche pas ?)
- il faut vouloir se souvenir, mais vouloir vraiment...
Ici, tu pars de rien ou presque : 4 côtés de même longueur, tu dois arriver au losange...
Si tu ne peux pas mobiliser instantanément tout ce que tu sais du parallélogramme (le losange en est un) et du losange et comment passer du parallélogramme au losange, tu es sûr de faire du sur place...
En plus, le losange doit te faire penser aux médiatrices : lesdiagonales sont perpendiculaires et se coupent en leur milieu !

Donc qu'est-ce que tu sais de la notion de médiatrice (à part la définition) ?
Deux théorèmes dont l'un est la réciproque de l'autre :
Tout point appartenant à la médiatrice d'un segment est équidistant des extrémités de ce segment.
Sa réciproque :
Si un point est équidistant des extrémités d'un segment, alors, il appartient à la médiatrice de ce segment.

Alors pourquoi pas quadrilatère + diagonales perpendiculaires ?
Parce que ce n'es pas forcément (=toujours vrai) un losange...
Et comme un bon dessin vaut mieux qu'un long discours, la preuve en image :

190120121141937782.png

Donc je reviens à quadrilatère+4 côtés de même longueur...
La problématique est la suivante : un quadrilatère ABCD qui a 4 côtés de même longueur est-il toujours un Losange ?
On veut démonter cela... Rien d'autre.
Dans un premier temps, je veux montrer qu'il s'agit d'un parallélogramme en prouvant que ce quadrilatère a ses diagonales qui se coupent en leur milieu.

Ensuite on passera du parallélogramme au losange en ajoutant sur 2 côtés consécutifs de même longueur (tiré de l'énoncé= soit des diagonales perpendiculaires (qui aura été prouvé pour montrer que les diagonales se coupent leur milieu).

Et pense à coder ton dessin...

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#11 20-01-2019 12:42:01

yannD
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Re : Géométrie : raccourci LOsange

Bonjour Yoshi et merci également pour votre soutien



Une fois de plus, je me suis mal exprimer, enfin plutôt avec un manque de précision quand je dis que dans 3 semaines j'aurais tout oublié.

Bon, je vais être plus précis et vais prendre un exemple : pendant les vacances j'ai essayé de refaire la démonstration que vous m'avez faite sur le premier problème de géométrie : montrer que O est le milieu de [EF].
Et au passage, j'en profite pour vous remercier parce que j'ai bien aimé cette expo

résultat : je n'ai pas su la refaite et j'ai dü revoir la démonstration qui était déjà faite …


--------------------------------------------------

voilà (un peu ) comment je travaille lorsque j'ai une démonstration à re -  faire :

- quand je vais apprendre une démonstration vue en cours ou comme celles que vous m'avez faites sur le Forum : je vais photographier les lignes, les phrases de la démonstration

- puis, 3 semaines après et bien je vais avoir un autre exercice où la question sera  (par EX)  : démontrer que ………

  - et que se passe t-il ? et bien j' ai besoin de retrouver la démonstration que j'ai vu et je vais rechercher dans ma mémoire les phrases mais il n'y a que quelques passages qui vont me revenir en mémoire. Et en fait c'est la logique de la démonstration qui ne vient pas, et en collège je n'ai jamais su faire une démonstration

Dernière modification par yannD (20-01-2019 13:01:09)

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#12 20-01-2019 14:58:02

yoshi
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Re : Géométrie : raccourci LOsange

Re,

Alors, d'abord, tu commençais...
Ensuite, je te citerais Boileau (je crois) :
Ce qui se conçoit bien s'énonce clairement
et les mots pour le dire arrivent aisément.
Cela tendrait à prouver que tu croyais avoir compris alors que ce n'était pas vraiment le cas.

Les démonstrations en géométrie ont un squelette, que tu habilles après : je n'utilise pas systématiquement les mêmes phrases pour le même exercice : tout dépend du moment où je le fais.

Ici quadrilatère + 4 côtés de même longueur --> Losange.
impose que tu montres
1. que tu as un parallélogramme
2. que ce parallélogramme possède quelque chose de plus qui fait de lui un losange.

Donc tu dois connaître les propriétés du parallélogramme et ce que tu dois lui rajouter pour dire que, en, fait, c'est un losange.
Ça, c'est un premier prérequis.
Maintenant quelle propriété mettre en œuvre pour aller au parallélogramme ?
Même si j'ai des côtés de même longueur, encore faudrait-il monter qu'il y a des parallèles...
Et ça, vu la concision de l'énoncé, je pense que ça doit pouvoir se faire via la leçon droites parallèles coupées par une sécante --> les angles alterne-internes, correspondants, mais ça risque d'être moins simple pour toi (je regarderai plus tard)

4 côtés parallèles deux, c'est la même problématique que pour 2 // et de même longueur...

C'est tellement plus simple de prendre les côtés de même longueur consécutivement et de montrer que chaque diagonale est médiatrice de l'autre ---> Diagonales de même milieu
Pourquoi ? Dans médiatrice il y a média -- milieu.
Alors tu vas me dire : dans médiane aussi il y a milieu...
Oui, je ne peux pas y arriver comme ça ici,  la seule façon de monter qu'on a une médiane c'est de dire qu'on part du sommet jusqu'au milieu du côté opposé. Et justement je veux montrer que j'ai le milieu : c'est le chien qui cherche à se mordre la queue... Alors qu'avec une médiatrice, il me suffit de 2 points équidistants des extrémités du même segment...

@+


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#13 20-01-2019 19:28:40

yannD
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Re : Géométrie : raccourci LOsange

Bonsoir Yoshi

Quelle est la propriété qu'il faut mettre en oeuvre pour avoir un parallélogramme ?
- je pars d'un quadrilatère
- je pars de l'hypothèse  : 4 côtés de même longueur   
  - j'ai  bien qu'il y'a le théorème : Si un quadrilatère a deux côtés parallèles et de même longueur alors c'est un parallélogramme. Ici, je ne peux pas l'utiliser , j'ai juste pour infos : 4 côtés de même longueur
On ne me parle pas de droites parallèles dans l'énoncé
Donc je ne peux pas utiliser les côtes. Restent les diagonales …
Mais arrivé, là, je ne vois plus trop la différence entre la médiane et la médiatrice, ou bien c'est parce que, seule la médiatrice va être perpendiculaire et j'ai absolument besoin de montrer que les diagonales sont perpendiculaires pour démontrer que j'ai bien un Losange ?

Dernière modification par yannD (20-01-2019 19:51:57)

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#14 20-01-2019 19:51:58

yoshi
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Re : Géométrie : raccourci LOsange

Re,

D'abord concentre-toi sur ce parallélogramme.
Ensuite pour avoir une médiane, il te faut un milieu, ce que tu n'as pas et tu voudrais avoir. Elle joint un sommet d'un triangle au milieu du côté opposé.
Pense (c'est un truc mnémotechnique) que dans médiatrice il y a tri comme dans angle droit...
La médiatrice d'un segment est la perpendiculaire au milieu d'un segment.
Tu n'as ni milieu, ni angle droit... Alors, il ne te faut pas utiliser la définition...
Par deux points donnés, il passe une droite et une seule...
Si tu sais que tu as deux points A et C sur une médiatrice, cette médiatrice s'appelle (AC).
A toi de trouver des points sur une (ou plus) médiatrice...
Et donc le bon théorème...

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#15 20-01-2019 20:09:25

yannD
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Re : Géométrie : raccourci LOsange

je ne comprends plus trop parce que j'ai besoin d'utiliser la médiatrice et je n'ai pas le milieu des diagonales pour pouvoir la tracer

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#16 20-01-2019 21:02:33

yoshi
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Re : Géométrie : raccourci LOsange

Re,

Alors, c'est que tu as oublié le théorème que tu avais pourtant utilisé dans ton DM.
Là, tu es - en apparence - devant un problème insoluble...
Et pourtant ! C'est faisable simplement.

Reprends geogebra.
Place les points A(0,0)  et C(6,0).
Trace le cercle de centre A et le cercle de centre C, tous deux de rayon 7.
Choisis l'outil Polygone.
Puis, en tournant dans le sens des aiguilles d'une montre, et en partant de A trace ton quadrilatère, en passant par le 1er point d'intersection des deux cercles, puis tu vas à C, puis au 2e point d'intersection des deux cercles, et enfin , tu refermes en terminant par un clic sur A.

Voilà tu as construis un quadrilatère ABCD avec 4 côtés de même longueur AB = CB = CD = AD = 7 = rayon commun des cercles.
Aucun calcul à faire.
1ere étape :
ABCD est un parallélogramme.
Tu as dit : je veux montrer que les diagonales ont le même milieu M.
Les vois-tu ?
Non ?
Alors qu'attends-tu ?
Où places-tu M ?
Où sont les médiatrices que tu cherches ?
Pourquoi ?

@+

Dernière modification par yoshi (21-01-2019 10:41:06)


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#17 22-01-2019 19:23:20

yannD
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Re : Géométrie : raccourci LOsange

Bonsoir Yoshi

1 ere étape :
ABCD parallélogramme
mais comment je le prouve ?
Il n' y a que le théorème : si les diagonales d'un quadrilatère ont même milieu alors c'est un parallélogramme

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#18 22-01-2019 20:15:45

yoshi
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Re : Géométrie : raccourci LOsange

Re,

Tu as dit : je veux montrer que les diagonales ont le même milieu M.
Les vois-tu ?
Non ?
Alors qu'attends-tu ?
Où places-tu M ?
Où sont les médiatrices que tu cherches ?
Pourquoi ?

Alors ?

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#19 24-01-2019 15:24:02

yannD
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Re : Géométrie : raccourci LOsange

Bonjour Yoshi, je propose :

1 ere étape : Montrer que ABCD parallélogramme
Je place le point M au milieu de [AC] et de [BD]
Ainsi le quadrilatère a des diagonales de même milieu et ABCD est un parallélogramme.

étape 2 :
Comme AC est la médiatrice du segment [BD] et comme (BD)  est la médiatrice de l'autre segment
alors les diagonales sont perpendiculaires et le quadrilatère est bien un Losange

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#20 24-01-2019 17:28:37

yoshi
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Re : Géométrie : raccourci LOsange

Re,


1. Pourquoi réponds-tu à côté de ce que je te demande :

Reprends geogebra.
Place les points A(0,0)  et C(6,0).
Trace le cercle de centre A et le cercle de centre C, tous deux de rayon 7.
Choisis l'outil Polygone.
Puis, en tournant dans le sens des aiguilles d'une montre, et en partant de A trace ton quadrilatère, en passant par le 1er point d'intersection des deux cercles, puis tu vas à C, puis au 2e point d'intersection des deux cercles, et enfin , tu refermes en terminant par un clic sur A.

Voilà tu as construis un quadrilatère ABCD avec 4 côtés de même longueur AB = CB = CD = AD = 7 = rayon commun des cercles.
Aucun calcul à faire.
1ere étape :
ABCD est un parallélogramme.
Tu as dit : je veux montrer que les diagonales ont le même milieu M.
Les vois-tu ?
Non ?
Alors qu'attends-tu ?
Où places-tu M ?
Où sont les médiatrices que tu cherches ?
Pourquoi ?

2.

Je place le point M au milieu de [AC] et de [BD]

Affirmation gratuite dans le cas du dessin proposé...
T'es-tu demandé 30 s si le milieu de [AC] était aussi celui de [BD] ?
Je te rappelle le dessin du post #10

190120121141937782.png

[AC] est la diagonale horizontale, [BD] la verticale ( avec B en haut).
Tu vois que j'ai construit deux triangles isocèles de même base et les diagonales sont perpendiculaires...
Pourtant le milieu M de [AC] n'est pas le milieu de [AD]...
Tu vois que dans le point 1., c'est vrai et qu'avec le dessin ci-dessus, c'est faux parce qu'il n'a pas 4 côtés de même longueur
Donc tu fais le dessin demandé avec Geogebra
Tu traces les diagonales [AC] et [BD]
Et ne me dis pas : je place M au milieu de [AC] et [BD] : c'est ce qu'on veut montrer
Donc tu vas dire : je place M intersection des diagonales.
Voilà ce que je voulais te faire dire.
Maintenant, tout le boulot est de montrer que M est le milieu de [AC], puis que M est aussi le milieu de [BD].
C'est là qu'interviennent les médiatrices...
D'abord, donne-moi leurs noms...

Ensuite pour montrer qu'une droite est la médiatrice d'un segment, 2 solutions :
- soit tu sais qu'elle passe par le milieu et tu sais qu'elle est perpendiculaire : ici, tu ne sais ni l'un ni l'autre
- soit tu trouves deux points sur cette droite qui remplit la condition du théorème que tu voulais utiliser dans ton DM...

Alors la médiatrice passe par ces deux points Point1 et Point2 : elle s'appelle  (Point1Point2)...

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#21 24-01-2019 17:52:02

yannD
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Re : Géométrie : raccourci LOsange

Bonsoir Yoshi, je trace les diagonales du quadrilatère mais je ne les nomme pas encore ?
Oui, en fait, je ne peux pas dire que  M est le milieu de la diagonale [AC] et de la diagonale [BD] parce que ça n'est pas démontré

Dernière modification par yannD (24-01-2019 17:58:39)

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#22 24-01-2019 18:08:30

yoshi
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Re : Géométrie : raccourci LOsange

Re,

Bien sûr que si tu peux nommer des diagonales : ici elles s'appellent [AC] et [BD].
Et comme elles se coupent, tu peux nommer le point d'intersection : j'ai choisi M...
Vois-tu comment s'appellent les médiatrices ?

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#23 24-01-2019 18:20:29

yannD
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Re : Géométrie : raccourci LOsange

Oui, la médiatrice verticale c'est la diagonale [BD] et l'autre médiatrice s'appelle [AC], c'est l'autre diagonale

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#24 24-01-2019 18:26:08

yoshi
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Re : Géométrie : raccourci LOsange

Salut,

Bin voilà...
Il ne reste plus qu'à montrer
A)
1. Que A est sur le médiatrice de [BD]
2. Que C est sur le médiatrice de [BD]

B)
1. Que B est sur le médiatrice de [AC]
2. Que D est sur le médiatrice de [AC]

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#25 24-01-2019 18:44:57

yannD
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Re : Géométrie : raccourci LOsange

Là, ou je bloque c'est que si j'arrive à dire que AC est la médiatrice de BC et que BD est la médiatrice de AC, je vais prouver que AC et BD sont perpendiculaires  ce qui sera une condition de démontrée pour dire que ABCD est un losange mais ça ne peut pas prouver que BD et AC vont avoir le même milieu,

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