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#1 16-01-2019 21:11:37

Jean007
Invité

z=f(x,y)

Bonjour, j'ai un petit problème...
[tex]z=\frac{cos(x)}{sin(x)}sin(xy)[/tex].
Dans le sujet, on nous demande :
- Comment savoir si "la pente descend tout le temps".
- Comment trouver : les "plats", les "bosses", les "creux".
- Comment déterminer la pente en un point (x0, y0, z0) donné.

Honnêtement, on vient de commencer ce chapitre et je ne sais vraiment pas par quoi commencer...
Quelqu'un pourrait m'aiguiller s'il vous plaît?

Merci!

#2 16-01-2019 22:00:01

Roro
Membre expert
Inscription : 07-10-2007
Messages : 1 552

Re : z=f(x,y)

Bonsoir,

Peut être serait-il intéressant de te poser les mêmes questions avec une fonction d'une variable. Par exemple saurais-tu répondre aux questions suivantes :

$z=\cos(x)\sin(2x$)

- Comment savoir si "la pente descend tout le temps".
- Comment trouver : les "bosses", les "creux".
- Comment déterminer la pente en un point (x0, z0) donné ?

Roro.

Hors ligne

#3 17-01-2019 10:53:12

Zebulor
Membre expert
Inscription : 21-10-2018
Messages : 2 074

Re : z=f(x,y)

Bonjour,

Quelques premiers éléments..

En un point donné M(x,y,z) de la courbe de [tex]f[/tex] il y a une infinité de tangentes (des droites), mais on ne s'intéresse qu'à deux d'entre elles : l'une  est contenue dans un plan vertical parallèle à [tex]Ox[/tex], l'autre dans un plan vertical parallèle à l'axe [tex]Oy[/tex]. Ces deux tangentes définissent le plan tangent à la courbe de [tex]f[/tex] au point [tex](x,y,z)[/tex], dont l'étude de l'inclinaison par rapport au plan horizontal déterminé par [tex](O,\overrightarrow{i};\overrightarrow{j})[/tex] pourrait bien servir à trouver les "bosses" ou  les "creux".. Pour différencier "bosse" ou "creux", il faut probablement d'autres données..


1) Tangente dans le plan vertical parallèle à l'axe Ox:
Dériver [tex]z(x,y)[/tex] par rapport à [tex]x[/tex] revient à évaluer le  le taux d'accroissement de [tex]z(x,y)[/tex] par rapport à [tex]x[/tex], en te plaçant dans un plan vertical d'équation  [tex]y=constante[/tex]. Ce taux est aussi la pente de la tangente à courbe de [tex]f[/tex] au point [tex]M(x,y,z(x,y))[/tex]dans la direction de [tex]Ox[/tex] : c'est le nombre [tex]\frac{\partial z}{\partial x}(x,y)[/tex].
Au point [tex]M(x;y)[/tex] à la courbe de [tex]f[/tex], quand [tex]x[/tex] augmente de [tex]dx[/tex], [tex]z(x,y)[/tex] augmente de [tex]\frac{\partial z}{\partial x}(x,y)*dx[/tex]


Un vecteur directeur de cette tangente en ce point M est [tex](1;\frac{\partial z}{\partial x}(x,y))[/tex] dans le repère [tex](\overrightarrow{i};\overrightarrow{k})[/tex],

2)Tangente dans le plan vertical parallèle à l'axe Oy
Dériver  [tex]z(x,y)[/tex] par rapport à [tex]y[/tex] : même raisonnement mais dans la direction de [tex]Oy[/tex] (plan vertical d'équation [tex]x=constante[/tex]) où [tex]\frac{\partial z}{\partial y}(x,y)[/tex] est le coefficient directeur ou la pente de la 2eme tangente. 
Deuxième vecteur directeur en [tex]M(x,y,z)[/tex] : [tex](1;\frac{\partial z}{\partial y}(x,y))[/tex] dans le repère [tex](\overrightarrow{j};\overrightarrow{k})[/tex],


Au point M(x;y;z), la pente du plan tangent est fonction de ces 2 vecteurs directeurs…

Sur les bosses et dans les creux : ces dérivées partielles sont nulles..  Les 2 vecteurs directeurs sont alors [tex](1;0;\frac{\partial z}{\partial x}(x,y)=0[/tex]) et [tex](0;1;\frac{\partial z}{\partial x}(x,y)=0[/tex]) ou plus simplement [tex]\overrightarrow{i}[/tex] et [tex]\overrightarrow{j}[/tex]: le plan tangent en [tex]M(x;y)[/tex] à la courbe de [tex]f [/tex]est le plan horizontal


mais pour se familiariser avec ce genre de chose, il vaut peut être mieux commencer par un exemple simple : la demi sphère de rayon 3, centrée en O, d'équation [tex]z(x;y)=\sqrt {9-x^2-y^2}[/tex]

Ce n'est qu'un début de réponse..

Dernière modification par Zebulor (19-01-2019 12:40:12)


En matière d'intégrales impropres les intégrales les plus sales sont les plus instructives.

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