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#1 10-01-2019 20:35:09
- Ludilly
- Invité
dm: fonctions Trigonométriques
Bonsoir,
je suis une élève en terminale S actuellement et je n'arrive pas a comprendre mon dm de maths :/
Pouvez vous m'aider svp ?
Voici l'énoncé :
L'objectif de cet exercice est de démontrer que (sin)'= cos et (cos)'=-sin
On considère le plan muni d'un repère (O;I;J)
Dans cet exercice on considère un réel x de l'intervalle ]0, Pi/2[
1) On considère le cercle trigonométrique C et le point M associé a x.
Faire un dessin en présentant également les points P(cos (x);0), Q(0; sin(x)) et R le point d'intersection de (OM) et de la tangente au cercle C au point I.
2) On admet que l'aire d'un secteur circulaire d'arc mesurant x radians est x/2
a) Exprimer en fonction de x les aires des triangles OMI et OIR
b) Montrer que cos(x) _< sin x)/x _< 1
c) En déduire lim sin (x)/x quand x tends vers 0
d) En déduire lim tan(x)/x quand x tends vers 0
3) a) montrer que cos(x)-1/x= sin(x)/x * -sin(x)/cos(x)+1
b) En déduire Lim cos(x)-1/ x quand x tends vers 0
4) soient a un réel et h un réel non nul
a) Calculer Lim sin(a+h) -sin (a) / h quand h tends vers 0
b) Calculer lim cos (a+h)-cos(a) / h quand h tends vers 0
Mes calculs sont:
1) j ai réussis a faire le dessin :)
2)a) Pour OMI j 'ai trouvé (cos(x)*sin(x)/2 )+ ( 1-cos(x) * sin(x) /2
Pour OIR j 'ai trouvé [cos(x) +(cos(x) -1)]*[sin(x)+(sin(x)-1) /2
b) par contre après je comprends pas :/
pour l inéquation c 'est par rapport aux airs je sais mais je vois comment aboutir à ça.
Merci beaucoup pour toute contribution apportée.
Cordialement
#2 11-01-2019 11:31:43
- Black Jack
- Membre
- Inscription : 15-12-2017
- Messages : 470
Re : dm: fonctions Trigonométriques
Bonjour,
Tu te compliques la vie.
Aire du triangle OMI = (1/2)*OI*MP = (1/2) * 1 * sin(x) = sin(x)/2
Or (voir sur le dessin) : Aire du triangle OMI < Aire du secteur circulaire OMI
sin(x)/2 < x/2 (x positif)
sin(x)/x < 1 (1)
Aire du triangle OIR = (1/2) * OI * RI = (1/2) * 1 * tan(x) = sin(x)/(2.cos(x))
Or (voir sur le dessin) : Aire du triangle OIR > Aire du secteur circulaire OMI
sin(x)/(2.cos(x)) > x/2
sin(x)/cos(x) > x
sin(x)/x > cos(x) (cos(x) > 0 ici)
cos(x) < sin(x)/x (2)
(1) et (2) --> cos(x) < sin(x)/x < 1
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