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ccapucine

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Dérivée au sens de D'

Bonjour
on considère la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)= \chi_{]0,1]}+ (2-x) \chi_{]1,2]}$ c'est à dire que
$$
f(x)
=
\begin{cases}
0 &: x \in ]-\infty,0[ \cup ]2,+\infty[\\
1 &: x \in ]0,1]\\
2-x &x \in ]1,2[
\end{cases}
$$
On remarque que $f$ n'est pas de classe $C^1$ car elle admet un saut en $x_0=0$.
La question est de calculer $f'$ au sens des distributions. Pour ça on peut utiliser la formule des sauts qui dit que
$$
f'= T_{f'}+ \delta
$$
car $\lim_{x \to 0^+} f(x)- \lim_{x \to 0^-} f(x)= 1-0=1$.
où $f'$ est la dérivée de $f$ au sens classique. Ce que je ne saisi pas bien est que $f$ n'est pas dérivable alors que veut dire $f'$?

Plus exactement, ma question est la suivante: La formule des sauts dit que si $f$ est une fonction de classe $C^1$ par morceaux et discontinue aux points $a_1,...,a_n$. On pose $\sigma_i = \lim_{x \to a_i^+} f(x) - \lim_{x \to a_i^-} f(x)$. Alors  $(T_f)'= T_{f'}+ \sum_{i=1}^n \sigma_i \delta_{a_i}$, où $f'$ est la dérivée de $f$ au sens classique.
Mais on vient de dire que $f$ n'est pas continue sur $\mathbb{R}$! donc quel sens a $f'$?

Cordialement

Bien Cordialelement

Dernière modification par ccapucine (06-01-2019 20:49:33)

Fred

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Re : Dérivée au sens de D'

Bonjour,

  Tu peux définir $f'$ sauf en les sauts, c'est-à-dire sauf ici en 0. Quand tu définis $T_{f'}(\varphi)$, tu calcules l'intégrale $\int \varphi(x)f'(x)dx$. Cela ne pose pas de problèmes d'intégrer une fonction qui n'est pas définie en un point.

F.