DM math seconde ex3

Solleila · 04-01-2019 12:01:59

Bonjour, je n'arrive pas à résoudre ce problème, merci de votre aide :)

Un amateur de rallye automobile a réussi à convaincre un sponsor de mettre son logo sur son véhicule, pour faire les calculs on assimile la zone disponible à un trapèze et la zone du sponsor à un rectangle.
DCBO est le trapèze et KMHO est le rectangle
K est sur le segment OD et M est sur le segment DC et H est sur le segment OB
OB = OD=1,50 m et BC=0,50 m

1) Déterminer une équation pour la droite (DC)

2)OH est noté x

A) Dans quel intervalle peut varier x?
B) Déterminer l'aire de la zone du sponsor pour x=0,5
C) Déterminer l'aire de la zone du sponsor pour en fonction de x: A(x)
D) Mettre A(x) sous la forme canonique pour trouver la valeur de x telle que A(x) est maximum.

MPC.FORMATION · 04-01-2019 16:08:01

Bonjour Soleilla,

le problème d'optimisation est assez mal rédigé et formulé. Ce n'est pas très sérieux de la part du rédacteur.
Ce qui t'a peut-être bloqué c'est qu'il fallait réaliser que HOD formait obligatoirement un angle droit pour que OHMK soit un rectangle. par conséquent BOD est aussi un angle droit, et donc forme un triangle rectangle, qui est même isocèle puisque OD=OB=1,5=3/2

Le reste est l'application du cours sur les droites affines et la résolution d'un problème d'optimisation d'une aire qui est fonction quadratique (au carré) de la variable x=OH

De la question 2) qui demande de prendre x=OH, on devait choisir les axes, pour la question 1) de telle sorte que (O, OD, OB) forment un trièdre orthogonal direct, et donc que la droite (OD) constitue l'axe des abscisses et la droite (OB) l'axe des ordonnées.

Ce n'est que tout cela précisé que l'on pouvait commencer à résoudre le problème correctement et répondre au questions.

1) Dans ce repère orthogonal direct, les coordonnées des différents points du problème sont donc :
O(0;0) B(3/2;0) D(0;3/2) C(3/2;1/2) H(x;0) M(x;f(x)) et K(0;f(x)) où f(x) est justement l'ordonnée du point M d'abscisse x et se trouvant sur la droite (DC) à la même "altitude" (ordonnée) que le point K. Et l'équation y=f(x) est précisément l'équation affine de la droite (DC) cherchée. Comment la trouve t'on explicitement. Le plus simple c'est d'utiliser l'outil des vecteurs car il résume toutes les informations utiles. Ainsi le vecteurs DC a pour coordonnées (xC-xD;yC-yD)=(1,5-0;0,5-1,5)=(1,5;-1). Or le vecteur DC est évidemment un vecteur directeur de la droite (DC) et donc la pente p de la droite (DC) vaut le quotient de son ordonnée par son abscisse, soit p=-1/1,5=-1/(3/2)=-2/3. L'équation réduite de la droite (DC) s'écrit donc déjà y=f(x)=-2/3.x+b, où b est l'ordonnée à l'orignie que l'on détermine à son tour très facilement grâce au point D(0;3/2), d'où b=3/2=1,5. Ainsi l'équation réduite de la droite (DC) dans le repère choisit s'écrit :
y= f(x)=-2/3.x+3/2

2A) En t'appuyant sur l'évidence visuelle d'un graphique, le point H est prisonnier du segment [0;B] et donc son abscisse qui est la variable x appartient évidemment à l'intervalle [0;3/2].

2B) L'aire de la zone du sponsor pour x=0,5=1/2 est par construction un rectangle, et vaut donc A(1/2)=base.hauteur=1/2.f(1/2)=1/2.(3/2-2/3.1/2)=(3/2-1/3)/2=(9-2)/12=7/12

2C) (ici il y a un bug dans la phrase mais on comprend...) Plus généralement l'aire rectangulaire de la zone du sponsor s'écrit :
A(x)=base.hauteur=x.f(x)=x.(3/2-2/3.x)
Ceci est une forme totalement factorisée d'un polynôme quadratique (du second degré en x) dont la représentation graphique est une PARABOLE.
Pour savoir si cette parabole est en forme de vase, de verre (CONVEXE) ou de cloche, de grotte, de cave (CONCAVE), il suffit de regarder le coefficient du terme quadratique x^2 qui est -2/3. Ce coefficient étant négatif, la Parabole ici présente est donc CONCAVE, ses branches fuyant vers l'infini sont "tournées vers le bas". Et ce qui nous intéresse c'est donc que cette aire quadratique A(x) admet un MAXIMUM qui est exactement (par symétrie axiale) au milieu des deux racines du polynôme quadratique A(x)=x.(3/2-2/3.x). Or ces racines sont évidentes sous cette forme totalement factorisée : x=0 et la solution de 3/2-2/3.x=0, ce qui donne pour seconde racine x=9/4.
En pratique, comme il s'agit d'un logo publicitaire que l'on souhaite évidemment VISIBLE, ces deux solutions x=0 et x=9/4 ne nous intéressent évidemment pas, puisque l'aire alors disponible A(0)=A(9/4)=0 !
En revanche, par raison de symétrie, le MAXIMUM de A(x) est réalisé pour une abscisse x exactement au milieu de ces deux racines, donc pour leur valeur moyenne (arithmétique) m=(0+9/4)/2=9/8. Voilà l'abscisse du MAXIMUM. Pour en déduire son ordonnée il suffit de calculer A(9/8) qui en est la valeur. D'où A(9/8)=9/8.(3/2-2/3.9/8)=9/8.(3/2-3/4)=9/8.3/4=27/32
L'aire donc MAXIMALE pour le logo publicitaire inclus dans le trapèze initial est donc de 27/32 m2

On pouvait aussi trouver ce maximum autrement en mettant effectivement (comme le demande l’énoncé) A(x) sous FORME CANONIQUE. On part donc de la forme totalement factorisée trouvée (grâce à l'équation des aires d'un rectangle égale à base.hauteur), que l'on développe d'abord pour la refactoriser différemment de façon à faire apparaitre le début d'un carré parfait :
A(x)=x.(3/2-2/3.x)=3/2.x-2/3.x^2=-2/3.(x^2-9/4.x)=-2/3.[(x-9/8)^2-(9/8)^2]=-2/3.(x-9/8)^2 + 27/32
Voici la FORME CANONIQUE du polynôme quadratique A(x). Sous cette forme on s’aperçoit immédiatement que la seule quantité qui varie est -2/3.(x-9/8)^2 du fait de la variation de x, et que cette quantité est toujours négative puisque (x-9/8)^2 est un carré parfait et donc toujours (dans le monde "réel") positif. Ainsi il est clair que la valeur x=9/8 qui annule ce terme, rend A(x) la moins petite possible, i.e. MAXIMALE et que ce MAXIMUM ATTEINT pour x=9/8 vaut donc nécessairement 27/32.

Voilà Soleilla, j'espère que cela t'aidera à bien comprendre ce problème très classique d'optimisation qui était assez mal rédigé mais qui est intéressant. Bonne année

yoshi · 04-01-2019 16:18:30

Re,

Je ne demande pas mieux que de t'aider, mais je suis incapable de faire le dessin.
Tu devrais télécharger (il est léger) pour PC fixe ou portable : Photofiltre, ici http://photofiltre.free.fr/utils/pf-setup-fr-653.exe
Une fois installé, tu y charges ton image.
Clique bouton droit dessus,
Clic sur Taille de l'image.
Règle l'unité sur cm, la résolution sur 100 et la taille sur 10 cm maxi en hauteur...
Et dans la barre d'outils choisis niveaux de gris : ainsi (je viens de faire le test) tu passes d'une image de 45 Mo à 450 ko....
Enregistre ton image au format .png (ou .jpg).
Puis Vas sur Cjoint...

Là je ne sais pas qui est O. L'origine des coordonnées ?
Quel est le nom de la petite base ? de la grande base du trapèze (= côtés //)
Comment sont-elles orientées par rapport aux axes ?
Avec le nom DBCO, [BD] est-il une diagonale du trapèze ?

Impossible avec tes renseignements de répondre à la question 1. : la droite (CD) peut avoir une orientation de 0° à 180° par rapport à l'axe des abscisses...

@+

Solleila · 04-01-2019 16:22:22

Bonjour Yoshi, voici plus d'informations :Alors les côtes parallèles sont CB et DO, le rectangle KMHO est dans le trapèze, M sur le côté DC, H sur le côté OB, K sur le côté OD et le point O, forment l'angle 90° du trapèze, le rectangle en étant dans le trapèze forment un tout petit triangle rectangle en haut nommé KMD et forme un petit trapèze nommé HBCM

Solleila · 04-01-2019 16:28:40

Merci beaucoup MPC.FORMATION, j'ai déjà compris la question 1.

Solleila · 04-01-2019 16:39:51

J'ai aussi compris la 2) A et B

Solleila · 04-01-2019 16:41:59

Voila YOSHI
https://www.anglaisfacile.com/cgi2/myex … /94878.jpg

Solleila · 04-01-2019 16:47:38

Par contre je ne comprends pas vos explications pour les question 2) C et D

yoshi · 04-01-2019 18:21:35

Bonsoir,

Voilà, c'est plus clair maintenant.
Alors 2b) L'aire d'un rectangle, c'est Longueur x largeur, ici OH * HM
OH, tu la le connais, l'énoncé te dit [tex]OH = \dfrac 1 2[/tex]
Reste à trouver la longueur HM...
OHMK est un rectangle, il a notamment 4 angles droits dont $\hat M$ $\hat H$, des côtés parallèles et de même longueur : (HM)//(OK), Donc $x_M=x_H=\dfrac 1 2$, [tex]HM =y_M-y_H[/tex], et sachant que $y_H=0$, alors HM = $y_M$
Quelle est donc l'ordonnée du point M ?
Tu sais que [tex]M \in(CD)[/tex] donc (tu as déjà entendu cette chanson) ses coordonnées vérifient l'équation de (CD), autrement dit, si dans l'équation de (CD) tu remplaces x par $\dfrac 1 2$, tu auras ta réponse...

c) Avant tu avais [tex]x=\dfrac 1 2 = 0,5[/tex], c'était un cas particulier. Maintenant tu ne connaîtras pas la valeur de $x$, tout ce que tu saisest que $x\in [0\,;\,1,5]$, tu vas devoir garder $x$.
L'aire [tex]\mathcal{A}(x)[/tex] sera une fonction de $x$...
Tu vas partir de [tex]\mathcal{A}(x)=OH\times HM[/tex].
Tu sais que [tex]OH=x[/tex]
et que
[tex]HM=y_M[/tex]Et la question se repose : Quelle est donc l'ordonnée du point M, puisque je ne connais pas la valeur de $x$ ?
Ce sera une expression écrite en utilisant $x$...
Encore une fois M appartient à (CD), l'équation de (CD) est de la forme [tex]y=ax+b[/tex] et si tu décides que l'abscisse de M est $x$ son ordonnée sera y, soit [tex]ax+b[/tex] : [tex] M(x\,;\,ax+b)[/tex]
Où [tex]ax+b[/tex] est la forme trouvée au 1)...
Nantie de ces renseignements Tu n'as plus qu'à calculer [tex]\mathcal{A}(x)=OH\times HM=x(ax+b)[/tex]

d) Tu développes et tu ordonnes [tex]\mathcal{A}(x)[/tex] que tu vas mettre sous forme canonique...
Sais-tu mettre sous forme canonique un polynôme du 2nd degré ?

@+

Solleila · 04-01-2019 18:28:45

Et pour la question 2)B j'ai donc trouvé 7/12

Solleila · 04-01-2019 18:30:16

Et pour la question 2)c) je ne trouve pas les coordonnées de C

yoshi · 04-01-2019 18:54:18

Re,

Coordonnées de C : pour quoi faire ?
Ceci dit, sans ces coordonnées, comment as-tu trouvé l'équation de (CD)
Tu sais que (BC) et (OD) sont parallèles, que [tex](BC)\perp (OB)[/tex]
Donc [tex]x_C =x_B=1,5[/tex] et BC = 0,5 Donc [tex]C(1,5\,;\,0,5)[/tex]

D'après la Q1
équation de (CD) : [tex]y =-\dfrac 2 3 x +\dfrac 3 2[/tex]

Comment peux-tu trouver un dénominateur 12 ?
Ah....
Comme ça ? [tex]y_M=-\dfrac 2 3 \times \dfrac 1 2 +\dfrac 3 2=-\dfrac 2 6+\dfrac 3 2=-\dfrac{4}{12}+\dfrac{18}{12}[/tex]
$\dfrac{7}{12}$, c'est faux...

Alors, qu'est-ce qui ne va pas ?

@+

Solleila · 04-01-2019 19:14:55

J'ai trouvé 7/12 en faisant 0,5*7/6=7/12

0,5 car c'est x et 7/6 car c'est la longueur de KO que j'ai trouvé en trouvant la longueur de DK et après j'ai donc fait DO-DK= KO

Solleila · 04-01-2019 19:18:24

Et je voulais parler des coordonnées du point M

yoshi · 04-01-2019 19:27:28

Re,

Ah zut...
Il paraît que seules les femmes peuvent faire plusieurs choses à la fois : je viens encore de lé vérifier.
C'est juste : j'ai trouvé [tex]y_M=\dfrac 7 6[/tex] et j'ai oublié dans la bagarre de multiplier ensuite par [tex]\dfrac 1 2[/tex] pour trouver l'aire...

Les coordonnées du point M.
Son abscisse, c'est celle de H, soit $x$,
Son ordonnée s'obtient en utilisant l'équation de (CD) : il n'y a rien à faire, qu'à utiliser son 2e membre.
Relis le post #9 et dis-moi à partir de quel endroit tu ne comprends plus...

@+

Solleila · 04-01-2019 19:45:08

Je ne comprends plus a partir de HM= ym dans le post #9

Donc abscisses de M =x
mais ordonnée de M: je ne trouve pas

Solleila · 04-01-2019 19:46:49

Ah si donc les coordonnées de M(x;-2/3*x+3/2)

Solleila · 04-01-2019 19:51:44

Donc je pense avoir la bonne réponse pour la question 2)C) A(x)= x*-2/3*x+3/2

yoshi · 04-01-2019 20:19:36

Re,

Oui et non !
Tu as oublié les parenthèses et c'est grave :
[tex]\mathcal{A}(x)=x\left(-\dfrac 2 3 x+\dfrac 3 2\right)[/tex]

En outre, quand tu écris :
x*-2/3*x+3/2
tu t'assois royalement sur une convention d'écriture vue en 5e et 4e qui dit : 2 symboles opératoires ne doivent pas se suivre...

Si ta formule avait été exacte, ce qui n'est pas le cas tu aurais dû écrire : x*(-2/3)*x+3/2...

M'enfin, tu as eu l'idée et tu l'as mal réalisée...
Si tu ne mets pas de parenthèses, à cause de la priorité des opérations tu ne multiplies x que par (-2/3)x et dsonc la formulke de l'aire est fausse...

Comprends-tu ?
Et des points se seraient envolés "bêtement"...

@+

Solleila · 04-01-2019 20:24:36

d'accord j'ai compris donc: A(x)=x*y = x*(-2/3)*x+3/2 = (-2/3)*x^2+3/2*x ?

yoshi · 04-01-2019 21:00:31

Qu'est-ce que j'ai écrit ?

Si ta formule avait été exacte, ce qui n'est pas le cas tu aurais dû écrire : x*(-2/3)*x+3/2...

Donc, non... Ce que tu écris ne contient plus de fautes de règle de simplification d"écriture, mais ce n'est pas juste...
x * y oui, mais [tex]y =-\dfrac 2 3 x+\dfrac 3 2[/tex] tout entier...

Donc
[tex]\mathcal{A}(x)=x\left(-\dfrac 2 3 x+\dfrac 3 2\right)[/tex]
y, c'est la parenthèse complète, pas seulement $-\dfrac 2 3 x$ :

C'est la différence qui existe par exemple entre ces deux calculs : [tex]3 \times 4\times 2 +5[/tex] et [tex]3\times (4 \times 2+5)[/tex]
A cause des règles de priorité des opérations, le résultat est différent...

Ça y est, ça rentre ?

@+

Solleila · 04-01-2019 21:51:18

d'accord, mais au final le résultat de la question 2)C) est bien A(x)=-2/3x^2+3/2x ?

yoshi · 04-01-2019 22:13:19

Bonsoir,

Oui, on y est enfin.
Je te remets le résultat sous Latex :
[tex]\mathcal{A}(x)=-\dfrac 2 3 x^2+\dfrac 3 2 x[/tex]

Maintenant "y a plus qu'à" écrire ça sous la forme canonique pour en déduire la surface maximum dédiée au sponsor.
Avec toutes ces fractions, on va voir si tu maîtrises ce type de calculs ; sinon, tu risques de "tirer la langue".
Réponse demain.

Un conseil : ne pas relire MPC.Formation qui ne t'a pas rendu service en faisant tout le devoir sans te pousser à réfléchir...

@+

Solleila · 04-01-2019 22:51:47

Alors pour la forme canonique: A(x)=-2/3(x-9/8)^2+27/32

Par contre je ne sais pas comment faire pour trouver le maximum ..

Je n'ai pas regarder, je veux me pousser à réflechir.

yoshi · 05-01-2019 10:33:34

Bonjour,

Bravo pour les calculs...
Coup de pouce.
Une évidence pour commencer : s'il y a un maximum, c'est que les autre valeurs sont plus petites. Dans ce cas, c'est que cette valeur de l'aire disponible varie...
(Oui, j'aime bien enfoncer les portes ouvertes !)
Donc examine bien la fonction :
[tex]\mathcal{A}(x)=-\dfrac 2 3\left(x-\dfrac 9 8\right)^2+\dfrac{27}{32}[/tex]
Dans ce genre d'exercices, c'est toujours la même façon de raisonner qui est utilisée...
Allez, encore une évidence :
[tex]\mathcal{A}(x)[/tex] est composé de 2 parties...
Quelle partie varie et comment ?

@+

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DM math seconde ex3

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