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#1 03-01-2019 17:31:07

ccapucine
Membre
Inscription : 19-05-2018
Messages : 178

convergence dans D

Bonjour
j'essaye d'étudier la convergence dans $\mathcal{D}$ de la suite $\varphi_n(x)=n [\varphi(x+1/n)-\varphi(x)]$. Je suis au point 3 qui concerne la convergence uniforme de $D^\alpha \varphi_n$ pour tout $\alpha \in \mathbb{N}$. La limite simple de $\varphi_n$ et $\varphi'$.
Si on commence par exemple par le cas $\alpha =0$ on a
$$
\sup_{x \in K} |\varphi_n(x) - \varphi(x)| = \sup_x |n[\varphi(x+1/n)-\varphi(x)]-\varphi'(x)|.
$$
Comment on passe à la limite sur $n$? S'il vous plaît.

Cordialement

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#2 03-01-2019 21:28:10

Fred
Administrateur
Inscription : 26-09-2005
Messages : 7 035

Re : convergence dans D

Bonsoir,

   Il faut que tu utilises une formule de Taylor pour majorer le membre de droite.

F.

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#3 03-01-2019 23:11:27

ccapucine
Membre
Inscription : 19-05-2018
Messages : 178

Re : convergence dans D

Bonjour Fred merci beaucoup d'avoir pris le temps de me répondre.
Si on utilise la formule de Taylor-Young on a $|\varphi(x+1/n)-\varphi(x)|= |\dfrac{1}{n} \varphi'(x)|$. Ainsi, $|n [\varphi(x+1/n)-\varphi(x)]-\varphi'(x)| = 0$. C'est bien comme ça? S'il te plaît

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#4 04-01-2019 09:58:46

Fred
Administrateur
Inscription : 26-09-2005
Messages : 7 035

Re : convergence dans D

Où as tu lu que la formule de Taylor Young donner cela?

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#5 04-01-2019 17:45:12

ccapucine
Membre
Inscription : 19-05-2018
Messages : 178

Re : convergence dans D

ici https://fr.wikipedia.org/wiki/Théorème_de_Taylor
dans la partie autre formule.
C'est quoi la formule de Taylor exact alors est-ce qu'il y a un moyen méo pour la retenir? S'il vous plaît.

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#6 04-01-2019 18:29:56

Fred
Administrateur
Inscription : 26-09-2005
Messages : 7 035

Re : convergence dans D

Et le reste tu ne l’aurais pas oublié ?

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#7 04-01-2019 23:46:02

ccapucine
Membre
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Messages : 178

Re : convergence dans D

Oui pardon. Je reprends. On a par le développement de Taylor
$$
\varphi(x+1/n)= \varphi(x)+ \dfrac{1}{n} \varphi'(x) + \dfrac{1}{n^2} \dfrac{\varphi''(\xi)}{2!}, \ \xi \in (x,x+1/n).
$$
Donc $sup_{x} |n(\varphi(x+1/n)-\varphi(x))-\varphi'(x)|= \dfrac{M}{n}$ où $M= \sup_x|\dfrac{\varphi''(\xi)}{2!}$. Ainsi $\lim_{n \to +\infty} sup_{x} |n(\varphi(x+1/n)-\varphi(x))-\varphi'(x)|=0$.
C'est bon ainsi? Ca c'est pour le cas $\alpha =0$. Maintenant pour tout $\alpha \in \mathbb{N}$, peut-on écrire que:
$$
D^{\alpha} \varphi(x+1/n)= D^{\alpha}\varphi(x)+ \dfrac{1}{n} D^{\alpha+1}\varphi(x) + \dfrac{1}{n^2} \dfrac{D^{\alpha+2}\varphi(\xi)}{2!}, \ \xi \in (x,x+1/n).
$$
?
C'est correct? S'il vous plaît.

Dernière modification par ccapucine (04-01-2019 23:48:02)

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