Courbes convexes

Zebulor · 03-01-2019 07:11:49

Bonjour,

Alors laissons à Vanille l'occasion de méditer et de tenter de répondre à cette question judicieuse...

Vanille · 03-01-2019 08:23:54

freddy a écrit :

Maximiser son profit revient à chercher les valeurs K et L qui résolvent le programme ci-dessus, avec $p, r, w$ figés.
Les conditions du premier ordre (annulation des deux dérivées partielles premières) donnent :
$p\times F'_K=r$
$p\times F'_L=w$
La concavité du programme fait que ces conditions sont aussi suffisantes.
En combinant ces deux équations, tu obtiens le résultat selon lequel, à l'optimum, le quotient des deux dérivées partielles en K et L est égal au quotient r/w, et ce point est unique. Géométriquement, c'est le point de tangence entre la courbe d'isoproduction et la droite d'isocoût.
Conclusion : si tu trouves deux points d'intersection, cela signifie que tu n'es pas à l'optimum, il faut que tu te déplaces à droite du graphique pour chercher un niveau de production plus élevé avec les mêmes quantité de travail et de capital.

Oui effectivement je connais la méthode analytique, c'est à dire le programme de minimisation sous contrainte de Lagrange pour trouver la réponse. D'ailleurs c'est vrai qu'en faisant ce programme, je trombe sur des conditions du premier ordre, telles que si je les combine entre elles, on voit qu'à l'optimum le coefficient directeur de la droite d'isocoût est égal au coefficient directeur de la tangente à la courbe. A l'optimum le rapport des productivité marginale est égale au rapport des prix

Le producteur cherche à minimiser ses coût, c'est à dire il cherche les valeurs de L et de K pour minimiser sa fonction coût d'expression CT( K, L) = L. Pl + K. Pk sous la contrainte
Q (K, L) = q <=> Q (K, L) – q = 0
Min CT (K, L) = Min (L. Pl + K. Pk)

La fonction de Lagrange correspondant à ce programme est
L (K, L, λ ) = L. Pl + K. Pk - λ. [Q (K, L) – q ]

Les conditions du premier ordre, qui correspondent à l'annulation des dérivées premières sont données par
1) ∂L(K, L, λ)/∂K = 0
2) ∂L(K, L, λ)/∂L = 0
3) ∂L(K, L, λ)/∂λ = 0

<=>
1) Pk - λ . ∂ Q (K, L) / ∂K = 0
2) Pl - λ . ∂ Q (K, L) / ∂L = 0
3) Q (K, L) – q = 0

<=>
1) Pk = λ . ∂ Q (K, L) / ∂K
2) Pl = λ . ∂ Q (K, L) / ∂L
3) Q (K, L) – q = 0

<=>
1) Pk. ∂K /∂ Q (K, L) = λ
2) Pl. ∂L /∂ Q (K, L) = λ
3) Q (K, L) – q = 0

<=>
1) Pk. ∂K /∂ Q (K, L) = Pl. ∂L /∂ Q (K, L)
2) Q (K, L) – q = 0

<=>
1) Pk/Pl = [∂L /∂ Q (K, L)]/[∂K /∂ Q (K, L)]
2) Q (K, L) – q = 0

<=>
1) Pk/Pl = [∂L /∂ Q (K, L)].[∂ Q (K, L)/∂K]
2) Q (K, L) – q = 0

<=>
1) Pk/Pl = [∂ Q (K, L)/∂K]/[∂ Q (K, L)/∂L].
2) Q (K, L) – q = 0

<=>
1) Pk/Pl = PmK/Pml
2) Q (K, L) – q = 0

On peut donc effectivement déduire de ce programme de maximisation analytique les propriétés géométrique de l'optimum; mais c'est vrai que dans mon cours, et dans certains cours que j'ai trouvés sur internet, les choses n'étaient pas présentées comme ça.
C'était présenté comme deux méthodes bien distinctes; la méthode analytique et la méthode géométrique.

Dans la méthode géométrique ils déduisaient de la simple convexité de la courbe que l'optimum était le point de tangence, et non du programme de maximisation analytique (mais ils le prouvaient pas, d'où ma venue sur le forum pour tenter de comprendre plus en profondeur)

D'ailleurs à ce propos, pouvez-vous me dire quelle est, dans les conditions du premier ordre, la différence entre un programme de maximisation sous contrainte lagrangien et un programme de minimisation ? Parce que dans la théorie du consommateur je trouve plus pertinent de maximiser l'utilité sous la contrainte des coûts et je trouverais ça bizarre que les conditions soient exactement les mêmes c'est à dire annulation des dérivées partielles. Ou alors c'est le conditions du deuxième ordre qui jouent un rôle pour différencier un programme de maximisation et un programme de minimisation?

Dernière modification par Vanille (03-01-2019 09:24:58)

Vanille · 03-01-2019 08:30:32

Michel Coste a écrit :

Une partie $A$ du plan est dite convexe quand elle vérifie la propriété suivante : si $M$ et $N$ sont deux points de $A$, alors le segment $[MN]$ est tout entier contenu dans $A$. Une fonction définie sur un intervalle $I$ est convexe si la partie du plan située au-dessus de son graphe est convexe. Ceci se traduit par la définition suivante :
Définition. Soit $f$ une fonction réelle définie sur un intervalle $I$. On dit que $f$ est convexe quand pour tous $a$, $b$ de $I$, et pour tout $t$ de $[0,1]$, on a
$$f(ta+(1-t)b)\leq tf(a) + (1-t) f(b).$$

Oui tu as raison peut-être que je n'ai pas assez prêté attention à cette définition là; ça veut dire l'image d'un point par la fonction convexe situé entre a et b sera toujours situé plus bas qu'un point du segment qui relie l'image des point a et b par la fonction convexe.
Si de cette inégalité on déduit que la dérivée seconde est positive, on fait effectivement le lien entre la propriété géométrique et la propriété analytique de la fonction convexe comme je l'avais demandé.
Gros mea culpa

Michel Coste a écrit :

Moi a écrit :
Une partie $A$ du plan est dite convexe quand elle vérifie la propriété suivante : si $M$ et $N$ sont deux points de $A$, alors le segment $[MN]$ essoust tout entier contenu dans $A$.
De ceci on déduit immédiatement que l'intersection d'une droite avec un ensemble convexe dans le plan est un intervalle de cette droite (rappel : un intervalle $I$ d'une droite est un -ensemble de cette droite tel que, pour tout couple de points $(M,N)$ dans $I$, le segment $[MN]$ est contenu dans $I$ - autrement dit une partie convexe de cette droite).

Ce qui me dérange peut être avec ce message c'est que la première phrase admet d'office la condition "si M et N sont deux point de A", alors que moi ce que je veux démontrer c'est dans le sens inverse : "Si M appartient à l'ensemble A, toute droite passant par M, admet un segment appartenant à A" En gros je ne veux pas admettre l'existence du point N mais prouver qu'il existe.

Michel Coste a écrit :

Petite question : pourquoi la pente de la tangente à l'isoquante va devenir nécessairement plus grande que celle de la droite d'isocoût ?
Ce n'est pas difficile, mais il vaut mieux expliciter ce qui est utilisé ici !

La pente de la tangente à l'isoquante va croître, c'est à dire devenir de moins en moins négative, car on a vu que ce qui caractérisait la convexité d'une fonction, c'était que sa dérivée seconde était positive, ce qui signifie que sa dérivée première est croissante, or la dérivée première d'une fonction est égale au coefficient directeur de sa tangente.
D'autre part la droite d'isocoût a une pente constante, car c'est une droite, donc nécessairement il arrive un moment où la pente des tangentes à l'isoquante deviennent plus grande (moins négatives) que la pente de la droite d'isocoût

Dernière modification par Vanille (03-01-2019 09:15:44)

Vanille · 03-01-2019 10:13:51

Zebulor a écrit :

Vanille,
je tente une autre explication à partir de ton post #9 en regardant ce qui se passe entre les points B et C de la figure. Au point B supposons pour fixer les idées que la pente de l'isoquante (courbe convexe) soit -5, soit une dérivée première égale à -5.
En ce même point B la pente de la droite d'isocoût est moins forte, donc la dérivée première en B est supérieure à -5, disons -3.
Déplaçons le regard vers la droite. Comme la dérivée seconde relative à la courbe d'isoquante est positive, sa pente est "de moins en moins négative", passant progressivement de -5 à -4 … puis -3 au point A. En ce même point les pentes de deux c
ourbes sont égales. En nous déplaçant vers la droite, la pente de la courbe d'isoquante continue d'augmenter, les deux courbes se croisent donc nécessairement en C, où la pente de la courbe de l'isoquante vaut par exemple -1.

Oui c'est ce que je voulais montrer dans mon message #9 mais il me semblait important de montrer qu'à la première intersection c'est la droite qui avait la pente la moins négative et que le rapport s'inverse ensuite.
En effet, raisonnons par l'absurde, si à la première intersection entre deux courbes décroissantes, c'est la droite qui a la pente la plus négatives, alors la courbe convexe aura beau avoir des tangente de moins en moins négatives, ça ne permettra pas au deux courbes de se rencontrer de nouveau au contraire ça va les éloigner d'autant plus.
J'ai donc montré dans mon message #9 non seulement qu'il y a intersection entre deux courbes décroissantes, que l'une d'entre elle est de moins en moins décroissante, mais que c'est précisément elle qui, lors de la première intersection était plus décroissante.

Bon je crois que grâce à vous tous j'ai tous les éléments pour montrer que si une courbe est convexe, la combinaison de facteur qui maximise la production se situe au point de tangence entre une des droite d'isocoût et l'isoquante.
- Si une droite d'isocoût ne rencontre jamais l'isoquante, c'est qu'à ce niveau de coût il est impossible de réaliser le niveau de production souhaité.

- Si une droite d'isocoût intercepte l'isoquante elle le fera nécessairement une deuxième fois : car d'une part les deux courbes sont décroissantes, d'autres part à la première intersection la pente de la droite est nécessairement moins négative que celle de l'isoquante et d'autre part la pente de l'isoquante est de moins en moins négative. (message #9)

- Puisqu'on dit que $f$ est convexe quand pour tous $a$, $b$ de $I$, et pour tout $t$ de $[0,1]$, on a $$f(ta+(1-t)b)\leq tf(a) + (1-t) f(b).$$, et si on pose que I est le segment d'intersection de la droite d'isocoût avec l'isoquante, c'est qu'il existe sur l'isoquante des points situés en bas à droîte de l'isocoût c'est à dire qui représentent une combinaison de facteur capital et travail moindre, et donc qui représentent un coût moindre, et donc qui sont situés sur une courbe d'isocoût qui repésente un coût moindre.

- Il reste donc que seul le point de tangence permet de minimiser les coûts

Dernière modification par Vanille (03-01-2019 11:14:28)

freddy · 03-01-2019 11:29:32

Salut,

pour information, le programme de minimisation des coûts sous contrainte de la fonction de production (qu'on résout en utilisant la technique du multiplicateur de Lagrange) est le "dual" ou analogue sous un autre angle du programme de maximisation du profit.

Le raisonnement géométrique n'est que l'illustration graphique du programme d'optimisation. Tout est lié et si tes lectures te donnent à penser que les choses sont séparées, c'est qu'il doit y avoir un problème d'explications.

Un peu comme quand on étudie le graphe d'une fonction : le graphique illustre les propriétés de la fonction, les deux sont intimement liés.

Bonne continuation !

Vanille · 03-01-2019 11:33:37

freddy a écrit :

Salut,
pour information, le programme de minimisation des coûts sous contrainte de la fonction de production (qu'on résout en utilisant la technique du multiplicateur de Lagrange) est le "dual" ou analogue sous un autre angle du programme de maximisation du profit.
Le raisonnement géométrique n'est que l'illustration graphique du programme d'optimisation. Tout est lié et si tes lectures te donnent à penser que les choses sont séparées, c'est qu'il doit y avoir un problème d'explications.
Un peu comme quand on étudie le graphe d'une fonction : le graphique illustre les propriétés de la fonction, les deux sont intimement liés.
Bonne continuation !

Oui je sais que la maximisation de la production sous la contrainte du coût donne le même résultat que la minimisation du coût sous la contrainte d'un niveau de production, justement j'ai envie de savoir faire les deux. Pareil pour l'utilité, la maximisation de l'utilité sous la contrainte du budget, donne le même résultat que la minimisation du budget sous la contrainte d'un niveau d'utilité (satisfaction)
J'ai une préférence pour la maximisation de l'utilité sous la contrainte de budget pour le consommateur, parce que je trouve que ça correspond d'avantage à la réalité économique. Dans la vie de tout les jours en tant que consommatrice je vais plus souvent me demander comment dépenser au mieux mon budget (mon salaire mensuel) pour avoir le maximum de satisfaction, que "je veux avoir ce niveau de satisfaction quoiqu'il en soit, comment je vais faire pour minimiser mes coût". Mais je sais que les deux sont possibles, notamment si le consommateur s'endette pour consommer, et je n'ai jamais dit le contraire.
D'autant plus que dans la théorie de l'équilibre général de Walras, du peu que je sais, celui-ci ne fait pas trop référence à la possibilité d'endettement bancaire, ni de la part des consommateur, ni de la part des producteurs, qui ont tendance à se financer sur le marché des capitaux

Je n'ai pas dit que les deux méthodes n'était pas liées, j'ai dit qu'il s'agissait de deux façon différente d'aboutir à une même conclusion l'une géométrique, l'autre analytique, la méthode géométrique étant bien évidemment une représentation visuelle de la méthode analytique.
Ce que tu m'as proposé était un mixte entre la méthode analytique et la méthode géométrique.

Dernière modification par Vanille (03-01-2019 11:48:25)

freddy · 03-01-2019 12:03:54

Re,

non, il n'y a pas deux manières différentes de faire les choses : l'approche géométrique se veut illustrative, pédagogique, de la démarche mathématique plus rigoureuse mais plus sèche, qui demande beaucoup d'imagination pour bien "voir" les choses.

Et tu n'as pas le choix dans les programmes d'optimisation que tu dois résoudre, tu dois simplement t'adapter à la problématique donnée.
Si par exemple on t'impose un volume à produire et un prix de vente (cf. la production de pétrole par pays ou de voitures d'une même marque dans différents pays), tu n'as plus qu'à minimiser les coûts de fabrication. C'est un problème qu'on rencontre souvent dans le monde industriel.

Si tu as des prix imposés (prix de vente et rémunération des facteurs de production par exemple), ta démarche est d'optimiser le résultat économique obtenu.

Mais tu peux avoir d'autres objectifs, comme celui d'entrer de force dans un marché ou bien celui de maximiser ta part de marché ou bien celui de chercher à étouffer un concurrent : là, ta contrainte économique (éviter la faillite) est autre !...
Ces sujets sont par ailleurs du ressort de la Théorie des Jeux, domaine très intéressant en soi !

A chaque fois, ton problème suppose que tu formalises correctement la situation pour la résoudre, tes goûts et préférences personnelles sont très secondaires, voire accessoires.

Le seul point commun à tout cela est que ce qu'on appelle les mathématiques de la décision s'appuient très largement sur la convexité (au sens générique du terme) des objets mathématiques utilisés (pour que des solutions existent). Là aussi, le sujet est fascinant.

Salut !

Vanille · 03-01-2019 12:18:28

Oui mais si tu dis ça c'est parce que tu te places dans la situation où je veux résoudre un problème existant concret et où je dois m'adapter, sauf que là je suis pas dans cette situation car j'essaie de comprendre la théorie général de Walras, c'est à dire comprendre comment marche l'économie selon lui.
Or un consommateur ne va pas se dire : je veux ce niveau de satisfaction et je veux essayer de minimiser mes coût car par définition pour Walras d'une part les désirs des hommes sont infinis, il ne dira jamais je veux atteindre tel niveau de satisfaction dans l'absolu il en voudra toujours un plus élevé, d'autre part dans la théorie de Walras il n'y a pas d'endettement possible à la banque, donc obligation pour le consommateur de respecter son budget, d'autre part même si l'endettement est possible, le consommateur reste contraint par son budget car on ne prête à un consommateur que selon ses moyen donc même s'il n'est pas contraint pas son salaire, il reste contraint par un budget proportionnel à son salaire.
La minimisation du coût n'est donc vraiment pas trop pertinente pour modéliser le comportement du consommateur.

Oui je sais que la méthode analytique est totalement liée à la méthode géométrique, et même que la méthode géométrique découle de la méthode analytique, en est une traduction, mais quand on connaît les propriétés géométriques de différentes courbes, il devient sans doute possible de raisonner uniquement géométriquement, ce que mes cours et les documents que je trouve me poussent à faire en distinguant les deux méthodes.

La méthode purement géométrique est pertinente dans le cas où on ne connaît pas l'expression de la fonction de production et où l'on a dessiné les courbes à partir de données empiriques

Dernière modification par Vanille (03-01-2019 12:45:44)

freddy · 03-01-2019 15:26:40

Vanille a écrit :

La méthode purement géométrique est pertinente dans le cas où on ne connaît pas l'expression de la fonction de production et où l'on a dessiné les courbes à partir de données empiriques

Ce que tu dis est faux.
On impose à la fonction de production de vérifier certaines propriétés mathématiques dites "de bon sens" (comme par exemple la loi des rendements décroissants) et on en déduit la forme géométrique des courbes d'isoproduction sans avoir besoin de connaitre l'exacte forme analytique (d'ailleurs, il y en a beaucoup).
Comme déjà dit, ces propriétés mathématiques sont nécessaires à l'établissement de la preuve de l'existence d'un équilibre économique général.

Des travaux statistiques sont ensuite venus confirmer, ou infirmer dans certains cas, ces propriétés. Et non l'inverse.

Vanille · 03-01-2019 16:00:58

freddy a écrit :

Vanille a écrit :
La méthode purement géométrique est pertinente dans le cas où on ne connaît pas l'expression de la fonction de production et où l'on a dessiné les courbes à partir de données empiriques
Ce que tu dis est faux.
On impose à la fonction de production de vérifier certaines propriétés mathématiques dites "de bon sens" (comme par exemple la loi des rendements décroissants) et on en déduit la forme géométrique des courbes d'isoproduction sans avoir besoin de connaitre l'exacte forme analytique (d'ailleurs, il y en a beaucoup).
Comme déjà dit, ces propriétés mathématiques sont nécessaires à l'établissement de la preuve de l'existence d'un équilibre économique général.
Des travaux statistiques sont ensuite venus confirmer, ou infirmer dans certains cas, ces propriétés. Et non l'inverse.

D'un point de vue épistémologique, les deux méthodes sont possibles.
- On peut établir des observations, et construire des modèles qui permettent d'expliquer ces observations (donc dans ce cas précis, construire des courbes et modéliser le comportement des agents c'est à dire choisir une fonction de façon à ce que le modèle respecte ce qui est observé en général dans la réalité)
- On peut faire des conjectures sur les comportement des agents, établir des théories et les tester empiriquement, voir si les courbes empiriques se confondent avec les courbes théoriques.

Je pense moi aussi que la deuxième méthode est plus propice pour les sciences économiques, et je pense que c'est de cette façon qu'a raisonné Walras.
Par contre si on veut connaître les préférences d'un consommateur en particulier, il sera plus pertinent de lui demander de classer des paniers fictifs de biens selon ses préférences (ce que n'importe qui pourrait faire), tracer les courbes et déterminer l'optimum, que de lui demander quelle est l'expression de sa fonction d'utilité (ce que presque personne ne pourrait faire).
Dans tous les cas il s'agit de méthodes complémentaires quelque soit la chronologie dans laquelle elles sont effectuées.

Ensuite, si on utilise la méthode géométrique pour, comme tu dis, faciliter la compréhension comment se fait-il que pour comprendre que la minimisation des coûts se trouve au point de tangence, il faut utiliser la méthode analytique comme tu l'as fait.
Si la méthode géométrique est plus intuitive, on est sensé pouvoir comprendre, sans passer par les outils analytique pourquoi la combinaison optimale est là et pas ailleurs. Et dans ce cas là il faut connaître les propriétés géométrique de la convexité, et comprendre pourquoi ça modélise bien la situation économique

Dernière modification par Vanille (03-01-2019 16:14:54)

Michel Coste · 03-01-2019 18:39:34

Bonjour,

Je n'ai pas grand chose à dire sur la micro-économie, à part que je trouve la modélisation un peu sommaire et sujette à caution - mais ce n'est qu'un avis peu informé.

J'en reviens au raisonnement mathématique sur la situation géométrique.

Vanille a écrit :

Ce qui me dérange peut être avec ce message c'est que la première phrase admet d'office la condition "si M et N sont deux point de A", alors que moi ce que je veux démontrer c'est dans le sens inverse : "Si M appartient à l'ensemble A, toute droite passant par M, admet un segment appartenant à A" En gros je ne veux pas admettre l'existence du point N mais prouver qu'il existe.

Visiblement,je n'ai pas réussi à te faire comprendre le raisonnement. Il s'agit de montrer que si $A$ est convexe, alors n'importe quelle droite coupe $A$ suivant un intervalle (éventuellement vide, ou réduit à un point). Je dis que ceci est évident, si on admet pour définition d'un intervalle $I$ d'une droite la propriété que pour tous points $M$, $N$ de $I$, le segment $[MN]$ est contenu dans $I$. Je peux faire le lien, si tu le souhaites, avec la notion habituelle d'intervalle de $\mathbb R$.

Deuxième chose, Vanille : ton raisonnement avec la croissance de la pente de l'isoquante n'est pas suffisant. Ça ne suffit pas pour démontrer que cette pente finira par dépasser la pente négative de la droite d'isocoût, il faudrait démontrer que la limite en l'infini de la pente de l'isoquante est zéro.
Mon raisonnement sur les débordements me semble plus simple, mais là encore j'ai l'impression de ne pas avoir réussi à te le faire comprendre. Il s'agit de démontrer que quand la droite d'isocoût coupe la partie $A$ du plan qui est au-dessus de l'isoquante suivant un intervalle qui n'est ni vide ni réduit à un point, alors cet intervalle est borné et a donc deux extrémités, qui sont les deux intersections de la droite d'isocoût avec l'isoquante - sauf si cette dernière coïncide avec la droite d'isocoût sur tout l'intervalle (cf. mon dessin plus haut). L'hypothèse de stricte convexité (je t'ai posé une question là-dessus) est souvent faite pour éviter ce genre de situation.

Vanille · 03-01-2019 19:36:14

Michel Coste a écrit :

Visiblement,je n'ai pas réussi à te faire comprendre le raisonnement. Il s'agit de montrer que si $A$ est convexe, alors n'importe quelle droite coupe $A$ suivant un intervalle (éventuellement vide, ou réduit à un point).

Oui mais j'ai jamais eu de problème pour comprendre cette phrase, mais je voulais qu'on le démontre.

Michel Coste a écrit :

Moi a écrit :
Une partie $A$ du plan est dite convexe quand elle vérifie la propriété suivante : si $M$ et $N$ sont deux points de $A$, alors le segment $[MN]$ est tout entier contenu dans $A$.
De ceci on déduit immédiatement que l'intersection d'une droite avec un ensemble convexe dans le plan est un intervalle de cette droite (rappel : un intervalle $I$ d'une droite est un sous-ensemble de cette droite tel que, pour tout couple de points $(M,N)$ dans $I$, le segment $[MN]$ est contenu dans $I$ - autrement dit une partie convexe de cette droite).

Pour moi on ne peut pas déduire immédiatement de la propriété énoncée ce que tu en a déduit, parce qu'elle contenait en elle-même ce qu'on cherchait à démontrer c'est à dire que M et N appartenait à A.
Ou alors dans le "on déduit immédiatement" il y a quand même un étape intellectuelle qui n'est pas explicitée
Par exemple une droite horizontale ou verticale ne coupe pas deux fois la courbe convexe mais une seule fois, l'intersection entre une droite horizontale et un ensemble convexe est donc une demie droite

Michel Coste a écrit :

Deuxième chose, Vanille : ton raisonnement avec la croissance de la pente de l'isoquante n'est pas suffisant. Ça ne suffit pas pour démontrer que cette pente finira par dépasser la pente négative de la droite d'isocoût, il faudrait démontrer que la limite en l'infini de la pente de l'isoquante est zéro..

Ah bah oui je cherchais initialement à ce que mon raisonnement soit peaufiné et corrigé et effectivement le fait que la limite en +l'infini soit zéro pour l'isoquante est une condition nécessaire à mon raisonnement et puisque c'est effectivement le cas alors la boucle est bouclée, merci.

Michel Coste a écrit :

Bonjour,
Je n'ai pas grand chose à dire sur la micro-économie, à part que je trouve la modélisation un peu sommaire et sujette à caution - mais ce n'est qu'un avis peu informé.
J'en reviens au raisonnement mathématique sur la situation géométrique.

Oui c'est connu, les hypothèses de la théorie générale sont ultra simplificatrices, mais d'autres économistes se basent quand même sur ce modèle en modifiant certaines hypothèses et en voyant les conséquences que cela implique sur l'équilibre.
Si on admet que l'équilibre général en concurrence pure et parfaite est pareto optimal et donc socialement désirable, on peut, non pas considérer que la concurrence pure et parfaite est vérifiée mais faire en sorte qu'elle le soit le plus possible (tel serait l'objectif que devrait, selon les économistes de l'école néoclassique se fixer l'Etat)

Bref, j'ai un peu près compris ce que je cherchais à comprendre, et pour notre petit point de désaccord, si tu as vraiment l'impression que c'est moi qui n'arrive pas à comprendre quelque chose qui est pourtant bien expliqué, tu as sans doute raison et me l'expliquer encore une fois ne servirait à rien, puisque tu l'as déjà fait selon toi peut-être qu'un jour je reviendrais sur ce forum et ça me fera tilt, peut-être pas ^^.

Mais grâce à ta patience et tes précieux conseil ainsi que ceux Zebulor j'ai pu comprendre ce que je voulais, et pour Freddy j'ai bien aimé notre petit débat économique qu'on a eu ^^

Bonne soirée à tous :)

Dernière modification par Vanille (03-01-2019 21:11:29)

Michel Coste · 04-01-2019 10:35:30

Bonjour Vanille,

Par exemple une droite horizontale ou verticale ne coupe pas deux fois la courbe convexe mais une seule fois, l'intersection entre une droite horizontale et un ensemble convexe est donc une demie droite

Tu sembles penser qu'une demi-droite n'est pas un intervalle sur une droite. Pour toi, l'intervalle $[1,+\infty[$ n'est donc pas un intervalle de $\mathbb R$ ?

Ou alors, tu sembles penser que j'ai écrit que toute droite coupe l'isoquante en deux points ? Je n'ai bien évidemment jamais écrit ça, relis mieux mes messages.

$A$ est l'ensemble des points du plan au-dessus de l'isoquante (ce n'est pas l'isoquante, hein ?).
1°) $A$ est convexe (c'est la traduction du fait que l'isoquante est le graphe d'une fonction convexe). Donc toute droite coupe $A$ suivant un intervalle (borné ou pas, éventuellement vide ou réduit à un point.
2°) $A$ est contenu dans le quadrant positif. Donc toute droite de pente négative qui coupe $A$ en un intervalle ayant plus d'un point le coupe en un intervalle borné, qui a deux extrémiités. Ces extrémités sont sur l'isoquante. Si $A$ est strictement convexe, ces deux points sont les seuls points d'intersection de la droite avec l'isoquante.

Sur ce, je m'arrête : si tu as décidé de ne pas comprendre, il m'est impossible de te convaincre et à l'impossible nul n'est tenu.

Forum de mathématiques - Bibm@th.net

#26 03-01-2019 07:11:49

Re : Courbes convexes

#27 03-01-2019 08:23:54

Re : Courbes convexes

#28 03-01-2019 08:30:32

Re : Courbes convexes

#29 03-01-2019 10:13:51

Re : Courbes convexes

#30 03-01-2019 11:29:32

Re : Courbes convexes

#31 03-01-2019 11:33:37

Re : Courbes convexes

#32 03-01-2019 12:03:54

Re : Courbes convexes

#33 03-01-2019 12:18:28

Re : Courbes convexes

#34 03-01-2019 15:26:40

Re : Courbes convexes

#35 03-01-2019 16:00:58

Re : Courbes convexes

#36 03-01-2019 18:39:34

Re : Courbes convexes

#37 03-01-2019 19:36:14

Re : Courbes convexes

#38 04-01-2019 10:35:30

Re : Courbes convexes

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