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nipolo123

Invité

Diviseurs communs de deux polynômes • Algorithme d’Euclide

bonjour:
s'il vous plait je n'ai pas compris ce qui est en rouge:
Théorème 4
L’ensemble des diviseurs communs de deux polynômes A et B est l’ensemble
des diviseurs d’un unique polynôme. Ce polynôme, qui est nul si A = B = 0,
et que l’on peut choisir unitaire si A != 0 ou B != 0, est appelé P.G.C.D. de A
et B, et noté A ∧ B

Démonstration
On peut supposer, quitte à échanger A et B. que deg A  deg B. Notons D(A)
l’ensemble des diviseurs de A.
• Si B = 0, les diviseurs communs de A et B sont ceux de A :
D(A) ∩ D(0) = D(A).
• Si B != 0, effectuons la division euclidienne de A par B : A = BQ +R avec
deg R < deg B. Tout diviseur de A et B divise R. Tout diviseur de B et R
divise A. On a donc l’égalité :
D(A) ∩ D(B) = D(B) ∩ D(R)
On peut poursuivre l’algorithme tant que le reste obtenu est non nul.
D(A) ∩ D(B) = D(B) ∩ D(R) = D(R) ∩ D(R1) = D(R1) ∩ D(R2) = ···
= D(Rk−1) ∩ D(Rk)
On aboutit nécessairement à un reste nul en un nombre fini d’étapes, car sinon
la suite des restes successifs serait une suite infinie d’entiers naturels strictement
décroissante, ce qui est impossible
Supposons que Rk !=0 et Rk+1 = 0, on a alors :
D(A) ∩ D(B) = ··· = D(Rk−1) ∩ D(Rk) = D(Rk) ∩ D(0) = D(Rk)
Rk est un diviseur commun de A et B, et tout diviseur commun de A et B est un
diviseur de Rk. On appelle P.G.C.D. de A et B le polynôme unitaire associé à Rk.

merci:

Michel Coste

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Re : Diviseurs communs de deux polynômes • Algorithme d’Euclide

Bonjour :

Il faut lire :
"la suite des degrés des restes successifs serait une suite infinie d’entiers naturels strictement décroissante, ce qui est impossible".
En effet, $R_{k+1}$ est le reste de la division euclidienne de $R_{k-1}$ par $R_k$, donc $R_{k+1}$ est de degré strictement inférieur au degré de $R_k$ (ou est le polynôme nul).

Coquille du texte original ou erreur de recopie ?

nipolo123

Invité

Re : Diviseurs communs de deux polynômes • Algorithme d’Euclide

bonjour,
bon,pouvez vous m'expliquer pourquoi:
"la suite des degrés des restes successifs serait une suite infinie d’entiers naturels strictement décroissante, ce qui est impossible".
et merci;

Michel Coste

Membre

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Re : Diviseurs communs de deux polynômes • Algorithme d’Euclide

Une suite d'entiers naturels strictement décroissante qui commence avec l'entier $n$ ne peut pas avoir plus de $n+1$ termes.
10,9,8,7,6,5,4,3,2,1,0 - on ne peut pas faire plus en partant de 10 !
Ce n'est pas évident ?

nipolo123

Invité

Re : Diviseurs communs de deux polynômes • Algorithme d’Euclide

merci
mais ici on ne commence pas de n on va arriver à n on commence par R a  Rk+1
pardonnez moi mais vraiment cette phrase "la suite des degrés des restes successifs serait une suite infinie d’entiers naturels strictement décroissante, ce qui est impossible" me trouble ;
bon en toute facon merci beaucoup;

Michel Coste

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Re : Diviseurs communs de deux polynômes • Algorithme d’Euclide

On commence avec le degré de $B$, et on va en décroissant strictement :
$$\deg B >\deg R > \deg R_1>\ldots > \deg R_k>  \deg R_{k+1} >\ldots$$
Je ne comprends pas ce qui te trouble