Forum de mathématiques - Bibm@th.net

ccapucine

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fonction de $D(\mathbb{R})$

Bonjour
j'ai l'exercice suivant: soit $\varphi_0 \in \mathcal{D}(\mathbb{R})$ tel que $\displaystyle\int_{\mathbb{R}} \varphi_0(t) dt=1$. Montrer que pour tout $\varphi \in \mathcal{D}(\mathbb{R})$ il existe un couple $(c,\psi) \in \mathbb{R} \times \mathcal{D}(\mathbb{R})$ tel que $\varphi = \psi' + c \varphi_0$.
Je peine à avoir une idée pour commencer la solution.

Merci par avance pour l'aide.

Fred

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Re : fonction de $D(\mathbb{R})$

Bonjour,

  Un raisonnement par analyse/synthèse s'impose. Commence par déterminer $c$ en intégrant $\varphi=\psi'+c\varphi_0$ sur $\mathbb R$.

F.

ccapucine

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Re : fonction de $D(\mathbb{R})$

En intégrant $\varphi=\psi'+c \varphi_0$ sur $\mathbb{R}$, on obtient: $\displaystyle\int_{\mathbb{R}} \varphi(x) dx = \displaystyle\int_{\mathbb{R}} \psi'(x) dx + c \displaystyle\int_{\mathbb{R}} \varphi_0(x) dx$. Comme $\displaystyle\int_{\mathbb{R}} \psi'(x) dx = [\psi(x)]_{-\infty}^{+\infty}=0$ et $\displaystyle\int_{\mathbb{R}} \varphi_0(x) dx=1$, alors $c= \displaystyle\int_{\mathbb{R}} \varphi(x) dx$.
Si c'est ok, comment on détermine $\psi$? S'il te plaît

Fred

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Re : fonction de $D(\mathbb{R})$

Il me semble qu’aloes dans l’équation tu connais tout sauf $\psi’$. C’est alors facile de le retrouver...

ccapucine

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Re : fonction de $D(\mathbb{R})$

Oui c'est ce que j'ai fait. J'ai intégré entre $x_0$ et $x$ ce qui donne
$$
\psi(x)= \psi(x_0)+ \displaystyle\int_{x_0}^x \varphi(s) ds - c \displaystyle\int_{x_0}^x \varphi_0(s) ds
$$
mais qui est $x_0$ et $\psi(x_0)$?

Fred

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Re : fonction de $D(\mathbb{R})$

La valeur que tu veux par exemple moins l’infini. Tu dois ensuite faire la synthèse et vérifier que cela fonctionne.

ccapucine

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Re : fonction de $D(\mathbb{R})$

Bonjour
il y a une chose que je n'ai pas jamais comprise. Que veut dire exactement un raisonnement par analyse-synthèse? S'il te plaît.

Michel Coste

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Re : fonction de $D(\mathbb{R})$

Bonjour,

Je m'immisce dans la discussion pour répondre.

Le raisonnement par analyse et synthèse est souvent employé pour démontrer une proposition du genre :

Pour tout $x$, il existe une unique $y$ tel que $P(x,y)$.

La partie analyse consiste à supposer qu'il existe $y$ tel que $P(x,y)$ et à exploiter cette dernière propriété pour montrer que nécessairement $y$ est de la forme $f(x)$ pour une certaine fonction $f$.

La partie synthèse consiste à vérifier que, pour tout $x$, on a $P(x,f(x))$

Un exemple classique :

Pour toute fonction $u:\mathbb R\to \mathbb R$, il existe un unique couple $(p,i)$ tel que $p$ est une fonction paire, $i$ une fonction impaire et $u=p+i$.

Analyse : si $p$ est une fonction paire et $i$ une fonction impaire telle que $u=p+i$, alors
$$\forall x\in \mathbb R \quad \left(u(x)=p(x)+i(x) \text{ et } u(-x)= p(-x)+i(-x)=p(x)-i(x)\right)\;,$$
d'où
$$\forall x\in \mathbb R\quad \left(p(x)=\frac12(u(x)+u(-x)) \text{ et } i(x)=\frac12(u(x)-u(-x))\right)\;.\qquad(*)$$
Synthèse : pour toute fonction $u$, les fonctions $p$ et $i$ définies par la formule $(*)$ sont bien respectivement paire et impaire, et vérifient $u=p+i$.

Jawharovsk

Invité

Re : fonction de $D(\mathbb{R})$

Bonne idée