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Lilimop

Invité

DM fonctions exponentielles

Bonsoir,

Je suis une élève de terminale S et j ai des difficultés sur mon dm. :/  S il vous plait aidez moi à corriger mes erreurs.

Voici l 'énoncé:

Soit la fonction f définie sur R:
f(x)= xe^x/ (e^x)-1 si x  est différent de 0
                            si x=0

On note C la courbe représentative de f dans un repère orthonormal (O,I,J)
1) a) Déterminer la limite de f en -infini
     b) Etablir que, pour tout réel x non nul:
                            f(x)=x(1+ (1/(e^x)-1)

En déduire la limite de f en +infini

2) Calculer lim x/(e^x)-1 lorsque x tends vers 0.

3)a) démontrer que, pour tout x E R, (e^x) est supérieur et égale a x+1 et que l'égalité n'a lieu que pour x=0.
  b) Déterminer g(x) telle que, pour tout x E R*
          f'(x)=(e^x)*g(x) / ((e^x)-1)²

c) donner le tableau de variations de f.
4) Soit x un nombre réel non nul et les points M(x;f(x)) et M' (-x;f(-x)) de la courbe C.

a) Etablir que f(-x)= x/(e^x)-1 puis déterminer le coefficient directeur de la droite (MM')
b) on admet que la fonction f est dérivable en 0
Que suggère alors le résultat précédent  ?

Mes calculs:

1)a) Pour f(x)= (xe^x/(e^x)-1
Soit x différent de 0
On a lim de xe^x=0 et lim e^x= 0 lorsque x tend vers - infini
Donc lim f(x) est une Fi lorsque x tend - infini
On a xe^x/(e^x)-1=  apres factorisation a (x/e^x)/((-1/e^x)+1)
Donc on a Lim x/e^x=0 et lim (-1/e^x)+1=+infini lorsque x tend vers -infini
D'ou lim f(x)= +infini

b) Pour f(x)= x(1+(1/(e^x)-1) = en factorisant à xe^x/(e^x)-1
Soit x E R,
On a lim  xe^x=0 et lim e^x=+infini  lorsque x tend vers +infini
Donc lim f(x) est une FI lorsque x tend vers +infini
On a (xe^x/(e^x)-1= ((e^x)*(x/e^x))/ (e^x)*((-1/e^x)+1)
Donc lim x/e^x=0 et lim (-1/(e^x))+1=+infini lorsque x tend vers +infini
donc lim f(x) = +infini lorsque x tend vers +infini

2) soit x E R, on a :
Lim x/(e^x)-1=lim 0/(e^0)-1=0 lorsque x tend vers 0.

Ainsi f est continue sur R
Lim f(x)=0 et f(0)=0 donc Lim f(x)=f(0) lorsque x tend vers 0
Donc f(x) est continue en 0.

3) je ne comprends pas l 'énoncé en fait. faut t-il faire une récurrence ou le Théorème des valeurs intermédiaires suivit de la bijection?  s il vous plait. :)

Merci d'avance pour toutes aides et corrections.

freddy

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Re : DM fonctions exponentielles

Salut,

hors latex, c'est assez illisible, alors j'ai arrêté de chercher à déchiffrer et comprendre.
Je relève que, pour toi, $\frac{0}{-1}=0$ est une forme indéterminée en $-\infty$, curieux.
Pour le 3), étudie $h(x)=e^x-x-1$, ça devrait être assez simple.

PS : et que vaut $f$ en $0$ ?

---

De la considération des obstacles vient l’échec, des moyens, la réussite.

Black Jack

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Re : DM fonctions exponentielles

Bonjour,

Oui, difficilement lisible.

Il y a le Latex mais aussi (et cela est beaucoup plus inquiétant et largement généralisé actuellement) la non connaissance évidente de l'usage correct des parenthèses et des priorités des opérations mathématiques.

f(x)= xe^x/ (e^x)-1 tel quel veut dire : [tex]f(x) = x.\frac{e^x}{e^x} - 1[/tex]

Si on veut ceci : [tex]f(x) = x.\frac{e^x}{e^x-1}[/tex], alors, hors Latex, il FAUT par exemple écrire : f(x)= x.e^x/(e^x - 1)

Quant à : f(x)=x(1+ (1/(e^x)-1), il y a plus de parenthèses "ouvrantes" que "fermantes" ... et donc c'est forcément faux.

Pareil pour ceci :  f(x)= (xe^x/(e^x)-1 ???

...

OK, certains problèmes disparaissent (ou plus exactement sont cachés) par l'utilisation de Latex, mais cela n'exclut pas que la connaissance de  l'usage correct des parenthèses et des priorités des opérations mathématiques est indispensable.

Dernière modification par Black Jack (21-12-2018 10:56:52)

yoshi

Modo Ferox

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Re : DM fonctions exponentielles

Re,

Il y a le Latex mais aussi (et cela est beaucoup plus inquiétant et largement généralisé actuellement) la non connaissance évidente de l'usage correct des parenthèses et des priorités des opérations mathématiques.

Je suis bien d'accord, depuis le temps que je râle à cause de cela !
Mais je pense que se surajoute l'absence de réflexion concernant l'ambigüité ou non de ce que beaucoup écrivent : ils écrivent au fil du clavier sans se poser de question...

Et encore, cette jeune personne a eu le mérite de taper son texte : combien prennent une photo - immonde au demeurant -avec leur portable et la postent sans autre forme de procès, quand, cerise sur le gâteau, ils ne prennent pas le temps de vérifier si elle est visible ou non...

O tempora, o mores !

@+

---

Arx Tarpeia Capitoli proxima...

freddy

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Re : DM fonctions exponentielles

Bonsoir,

Je suis une élève de terminale S et j ai des difficultés sur mon dm. :/  S il vous plait aidez moi à corriger mes erreurs.

Voici l 'énoncé:

Soit la fonction $f$ définie sur $R$ :

$f(x)= \frac{xe^x}{ e^x-1}$ si $ x  \ne 0$ et $0$ sinon.

On note C la courbe représentative de f dans un repère orthonormal (O,I,J)

1) a) Déterminer la limite de $f$ en $-\infty$

     b) Etablir que, pour tout réel $x$ non nul:

                            $f(x)=x(1+ \frac{1}{e^x-1})$

En déduire la limite de f en $+\infty$

2) Calculer $\lim \frac{x}{e^x-1}$ quand $x$ tend vers $0$.

3)a) démontrer que, pour tout $x \in R$, $e^x$ est supérieur et égale a $x+1$ et que l'égalité n'a lieu que pour $x=0$.

  b) Déterminer $g(x)$ telle que, pour tout $x \in R^*$ :

          $f'(x)=\frac{e^x \times g(x)}{(e^x-1)^2}$

c) donner le tableau de variations de $f$.

4) Soit $x$ un nombre réel non nul et les points $M(x;f(x))$ et $M' (-x;f(-x))$ de la courbe $C$.

a) Etablir que $f(-x)= \frac{x}{e^x-1}$ puis déterminer le coefficient directeur de la droite $(MM')$

b) on admet que la fonction $f$ est dérivable en $0$

Que suggère alors le résultat précédent  ?

Re,

petite leçon de Latex. Avoue que ça a une autre tête ! Avec les balises $ c'est moins pénible qu'avant !

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De la considération des obstacles vient l’échec, des moyens, la réussite.

Zebulor

Membre expert

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Re : DM fonctions exponentielles

Bonjour Lilimop,

Je n'ai pas lu ce que tu as mis dans le 1) mais pour ta question 2) Lilimop, tu écris :

"soit x E R, on a :
Lim x/(e^x)-1=lim 0/(e^0)-1=0 lorsque x tend vers 0."

Quand x tend vers 0 la limite que tu cherches en x=0 est du type 0/0 donc tu ne peux rien conclure. L'idée est d'écrire f(x) de façon à faire apparaître un quotient de deux différences, qui fait penser à quelque chose de connu...

Tu peux partir de f(x)=(x-0) / (exp(x)-exp(0)) dont tu cherches la limite en 0, qui n'est autre que l'inverse du nombre dérivé de la fonction exponentielle au point x=0.. et cette limite n'est pas 0.

Quant au Latex, o tempora o mores, je ne m'y suis pas encore mis..

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En matière d'intégrales impropres les intégrales les plus sales sont les plus instructives.