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#1 15-12-2018 12:48:02
- ccapucine
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existence et continuité
Bonjour
j'ai la question suivante: calculer une solution continue pour le problème $$y'+y=g(x), y(0)=0$$ avec $g(x)=2$ sur $[0,1]$ et $g(x)=0$ sur $]0,+\infty[$.
Ma première question est que la condition nécessaire pour qu'une edo admette au moins une solution est la continuité des coefficients et du second membre. Comme ici $g$ n'est pas continue, comment on peut justifier l'existence?
Cordialement
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#2 15-12-2018 14:28:40
- D_john
- Invité
Re : existence et continuité
Bonjour,
A tout hasard : Es-tu certaine que la condition soit nécessaire pour le second membre ?
On se sert de cette équation à tour de bras en automatique sans se poser de questions pour calculer la réponse d'un système du 1er ordre... et la solution (qu'on appelle réponse à l'échelon) est bien continue (mais pas sa dérivée qui présente une discontinuité en 1).
PS Erreur d'énoncé sur l'intervalle => ]1, +oo[ ?
#3 15-12-2018 14:29:36
- Michel Coste
- Membre
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Re : existence et continuité
Bonjour,
Revois ton énoncé ! D'apès ce que tu écris, $g$ vaudrait à la fois $0$ et $2$ sur l'intervalle $]0,1]$.
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#4 15-12-2018 16:59:42
- ccapucine
- Membre
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Re : existence et continuité
Si on définit $g$ de la manière suivante:
$g(x)= 2$ sur $[0,1]$ et $g(x)=0$ sur $]-\infty,0[$. Il me semble que $g$ est ainsi bien défini sur $]-\infty,1]$. Donc on résout l'edo sur $]-\infty,1]$.
Est-ce que la continuité du second membre d'une edo de premier ordre est nécessaire ou suffisante pour l'existence d'au moins une solutions? Est-ce qu'il y a des conditions nécessaires à l'existence d'au moins une solutions?
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#5 15-12-2018 17:59:35
- D_john
- Invité
Re : existence et continuité
Désolé mais ton énoncé devient incompréhensible !
Et la condition initiale y(-oo) = 0 ?
Si oui, il ne se passe rien avant x=0...
Merci d'éclairer la lanterne !
#6 15-12-2018 18:02:45
- Fred
- Administrateur
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- Messages : 7 033
Re : existence et continuité
Bonsoir,
Effectivement, ton énoncé n'est pas clair et change un peu à chaque question. Sinon, la continuité de $g$ n'est pas une condition nécessaire à l'existence d'une solution à une edo... Il suffit de prendre le problème à l'envers. Considère $f$ une fonction dérivable dont la dérivée $f'$ n'est pas continue. Pose $g=f+f'$. Alors $g$ n'est pas continu. Pourtant, l'équation $y'+y=g$ admet une solution (la fonction $f$).
F.
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#7 15-12-2018 18:26:41
- ccapucine
- Membre
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Re : existence et continuité
Merci pour la réponse Fred.
Pour l'énoncé je l'ai écrite telle quelle (dans mon post 1). Comment arranger la définition de $g$ pour pouvoir avoir un problème bien posé? S"il vous plaît une suggéstion
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#8 15-12-2018 20:44:24
- ccapucine
- Membre
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- Messages : 178
Re : existence et continuité
D_Jhon pourquoi c'est faux de prendre $g(x)=0$ pour $x>0$? la condition initiale est $y(0)$. Je ne comprend pas pourquoi vous dites qu'il ne se passe rien avant 0.
Sinon dans l'énoncé c'était écris $x>0$. Comment arranger $g$ pour que le problème ait un sens?
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#9 15-12-2018 20:45:21
- D_john
- Invité
Re : existence et continuité
Il y a simplement une erreur de recopie dans ton 1er énoncé...
g vaut 2 sur l'intervalle [0, 1] et 0 sur ]1, +oo[. Où est le Pb ?
#10 15-12-2018 21:55:18
- ccapucine
- Membre
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- Messages : 178
Re : existence et continuité
et après pour avoir une solution continue on essaye de faire un recollement en $x=1$. C'est ca?
Et en fait pourquoi c'est faux si on prend $g(x)=0$ sur $]-\infty,0[$ ce n'est pas bon?
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#11 16-12-2018 00:58:03
- D_john
- Invité
Re : existence et continuité
et après pour avoir une solution continue on essaye de faire un recollement en $x=1$. C'est ca?
Oui, en prenant y(1) comme condition initiale de l'EDO sans second membre puisque g(x) = 0 pour x>1
Autre méthode avec le théorème de superposition en calculant :
solution 1, EDO avec g(x) = 2 pour x dans [0, +oo[ avec y(0) = 0
solution 2, EDO avec g(x) = 0 pour x dans [0, 1] avec y(0) = 0 et g(x) = -2 pour x dans ]1, +oo[ avec y(1) = 0
Finalement, y(x) = solution 1 + solution 2 (qui est bien continue pour x>0).
Et en fait pourquoi c'est faux si on prend g(x)=0 sur ]−∞, 0[ ce n'est pas bon?
C'est faux parce que ce n'est pas ce qu'on te demande de faire dans l'énoncé du problème.
Dans le supérieur (?) on sait depuis longtemps (?) que les hypothèses d'un problème ne doivent pas être modifiées. Sinon, c'est ZERO !
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