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#1 12-12-2018 06:18:13

francisarchamb
Invité

sous ensemble vect

bon matin a vous tous , j ai quelque difficultés avec un exercice je n arrive pas a montrer les 3 pts qu il faut , merci pour votre aide je vous presente l enonce que voici :
1) E un espace vectoriel
2) Soit f un endomorphisme de de V
3) Soit Lamba valeur propre de f
4) On a V = {v appartenat a E , tq f(v) = Lamba*v}

Question : Mq que V  est un sous espace vect de  E

Une petite aide détaillé serait la bienvenue merci a vous

#2 12-12-2018 08:29:55

Michel Coste
Membre
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Re : sous ensemble vect

Bonjour,

Commence par relire ton énoncé pour en chasser les coquilles.
Ceci fait, relis dans ton cours la définition de sous-espace vectoriel et recopie la ici. Un sous-espace vectoriel est un sous-ensemble d'un espace vectoriel vérifiant certaines propriétés.
Ces propriétés sont très faciles à vérifier dans l'exemple de ton exercice.

Bon courage !

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#3 12-12-2018 14:08:35

francisarchamb
Invité

Re : sous ensemble vect

Bonjour a toi Michel , oui j ai ecris les 3 definitns mais je n arrive pas , je sais qu il faut que : Je prenne deux vecteurs de E disons v1 et v2 et show que v1+v2 appartient a E , et que si je prends un sclaire disons alpha mq que alpha * v1 appartient a E , c'est ce que je n arrive pas a prouver :/ desole pour le derangement

#4 12-12-2018 14:38:48

freddy
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Messages : 7 457

Re : sous ensemble vect

francisarchamb a écrit :

bon matin a vous tous , j ai quelque difficultés avec un exercice je n arrive pas a montrer les 3 pts qu il faut , merci pour votre aide je vous presente l enonce que voici :
1) $E$ un espace vectoriel
2) Soit $f$ un endomorphisme de $E$
3) Soit $\lambda$ valeur propre de $f$
4) On a $V = \{v \in E, f(v) = \lambda\times v\}$

Question : Mq que $V$  est un sous espace vect de  $E$

Salut,

prends alors $v_1$ et $v_2$ de $V$. Que peux tu dire de $v_1 + v_2$ ? Il est dans $V$ ou pas ?

Même question pour $\alpha\times v_1$ !

Dernière modification par freddy (12-12-2018 15:20:23)


De la considération des obstacles vient l’échec, des moyens, la réussite.

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#5 12-12-2018 15:24:27

francisarchamb
Invité

Re : sous ensemble vect

Bonjour , freddy ! Dans mon message juste au dessus je dis la meme chose que toi cependant je n arrive pas a montrer l appartenance , oui il doit appartenir vu que c'est le but mais je ne sais pas comment le montrer , de plus ne dois je pas montrer que 0 appartient a V

#6 12-12-2018 15:27:24

francisarchamb
Invité

Re : sous ensemble vect

Ma derniere remarque était une question , ne dois je pas montrer que 0 appartient a V ??

#7 12-12-2018 15:35:43

freddy
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Re : sous ensemble vect

Re,

tout le "truc" est de revenir à la définition de $V$.
Le vecteur nul est dans $E$. Est - il dans $V$ ? En clair, que vaut $f(0)$ ?
Petite remarque : si tu montres que le vecteur $\alpha\times  v_1$ est dans $V$, puisque $\alpha$ est un réel quelconque, il peut donc être nul, et donc ...
En clair, la stabilité de $V$ pour l'addition et la multiplication par un scalaire suffit.


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#8 12-12-2018 16:14:11

francisarchamb
Invité

Re : sous ensemble vect

right en effet si j'arrive a demontre la propriété pour le scalaire ceci pourra me permettre de demontrer cette derniere , de plus voila ce que j a iessaye de faire trouves tu cela correct ?

[tex]v1 = \left\{v1 \in V \: tq \: f(v1) \: = \:\lambda \times v1 \: \right\} : \\ v2 = \left\{v2 \in V \: tq \: f(v2) \: = \:\lambda \times v2 \: \right\} : \\ v1 + v2 = \lambda v1+ \lambda v2 : \\ = \lambda ( v1 + v2 ) = \lambda(v') : \\ v1 + v2 \: appartient\: donc\: a\: V[/tex]

#9 12-12-2018 16:52:34

freddy
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Re : sous ensemble vect

Re,

tu vois les bêtises que tu écris ? tu dis que la somme est égale à un multiple de la somme ???

reprends toi et raisonne mieux !


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#10 12-12-2018 16:59:19

francisarchamb
Invité

Re : sous ensemble vect

[tex]v1 = \left\{v1 \in V \: tq \: f(v1) \: = \:\lambda \times v1' \: \right\} : \\ v2 = \left\{v2 \in V \: tq \: f(v2) \: = \:\lambda \times v2' \: \right\} : \\ v1 + v2 = \lambda v1'+ \lambda v2' : \\ = \lambda ( v1' + v2' ) = \lambda(v') : \\ v1 + v2 \: appartient\: donc\: a\: V[/tex]

J'ai oublié de mettre les primes sorry je ne maitrise pas le latex j'essaye d'apprendre  Est ce que cela est uniquement ma faute ou tout mon raisonnement est faux ??

#11 12-12-2018 17:04:52

freddy
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Re : sous ensemble vect

Re,

Il n'y a pas de prime, relis ton énoncé !!!

tu as $f(u)=\lambda u$ ! Donc ? ...

Tu es anglophone ?
Tu es en quelle année de quoi ?


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#12 12-12-2018 17:40:40

francisarchamb
Invité

Re : sous ensemble vect

oh ok je vois mieux je me sens bête pardon je comprenais pas voila tout simplement : un elt de V revient a être de la forme : Lamba x v
f(v1)+f(v2) = lambda * v1 + lambda * v2 = lambda * (v1 + v2) = lambda * (v') avec v' element de E
--> de plus grace a la commutativité on a
On a : alpha(f(v))= alpha * lambda * v = (alpha*lambda)*v, avec (alpha * lambda ) élément de E.

Oui freddy , canadien mais je parle francais , je viens de finir ma cegep je suis en premiere session de baccalaureat mathematique

#13 12-12-2018 17:42:20

francisarchamb
Invité

Re : sous ensemble vect

aw petite erreur je voulais ecrire :
avec v' Element de V *
avec ( alpha * lambda ) element de V

#14 12-12-2018 17:50:07

Michel Coste
Membre
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Re : sous ensemble vect

Bonjour,

freddy a écrit :

...
En clair, la stabilité de $V$ pour l'addition et la multiplication par un scalaire suffit.

Je sais que je risque d'ajouter à la confusion, mais je ne peux pas laisser écrire cela sans attirer l'attention sur le fait que l'ensemble vide est stable par addition et multiplication par un scalaire, mais n'est cependant pas un sous-espace vectoriel.
La vérification du fait que $0\in V$ n'est pas en option : elle est indispensable.

Par ailleurs, essayons de lire ceci en français :

$v1 = \left\{v1 \in V \: tq \: f(v1) \: = \:\lambda \times v1' \: \right\}$

Ça donne

$v1$ est égal à l'ensemble des v1 de $V$ tels que $f(v1) = \lambda v1'$

Ça n'a aucun sens.
Tu voulais peut-être dire :

Soit $v_1$ un élément de $V$. Par définition de $V$, on a $f(v_1)=\lambda v_1$.

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#15 12-12-2018 18:13:12

freddy
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Re : sous ensemble vect

Re,

oui, faut prouver que $V$ n'est pas vide, c'est le minimum requis !

Donc prends deux vecteurs de $V$. La somme $s=v_1+v_2$ est - elle un élément de V ?
Pour y répondre, calcule $f(s) = f(v_1+v_2) = f(v_1)+f(v_2) =\lambda v_1+\lambda v_2= \lambda(v_1+v_2)=\lambda s$
Donc ?


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#16 12-12-2018 18:24:00

francisarchamb
Invité

Re : sous ensemble vect

on a lambda une valeur stable de f, ce qui implique que f n'est pas le vecteur nul. Donc V n'est pas vide

est ce donc ca la ?

#17 12-12-2018 18:25:47

freddy
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Re : sous ensemble vect

francisarchamb a écrit :

on a lambda une valeur stable de f, ce qui implique que f n'est pas le vecteur nul. Donc V n'est pas vide

est ce donc ca la ?

???????
$\lambda$ est un scalaire et $f$ un endomorphisme de E tel que $f(u)=\lambda u$... Comprends - tu bien ce que tu fais et dis ?
Bon, je dois m'absenter pour un moment, je te laisse dans les mains de Michel.

Dernière modification par freddy (12-12-2018 18:31:42)


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#18 12-12-2018 18:33:58

francisarchamb
Invité

Re : sous ensemble vect

freddy a écrit :

Re,


Donc prends deux vecteurs de $V$. La somme $s=v_1+v_2$ est - elle un élément de V ?
Pour y répondre, calcule $f(s) = f(v_1+v_2) = f(v_1)+f(v_2) =\lambda v_1+\lambda v_2= \lambda(v_1+v_2)=\lambda s$
Donc ?

$s$ est un element de $E$ tel que $f(s) =  \lambda s $ donc $s$ appartient a $V$

#19 12-12-2018 18:36:36

freddy
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Re : sous ensemble vect

Oui !


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#20 12-12-2018 18:40:35

francisarchamb
Invité

Re : sous ensemble vect

pardon je me suis mal exprimé :
montrer que le vecteur nul de E est bien un élément de V
f(0_E)=0_E car f est linéaire et lambda.0_V=0_V

#21 12-12-2018 19:29:48

francisarchamb
Invité

Re : sous ensemble vect

On prend $v$ un vecteur de $E$ est soit $\alpha$ un réél .
$\alpha \times f(v) = \alpha \times \lambda \times v $
$ \alpha \times \lambda $ est un element de $V$ et $v$ element de e -> $ \alpha \times \lambda v \in V $

#22 12-12-2018 22:59:36

freddy
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Re : sous ensemble vect

Re,

On prend $v$ un vecteur de $V$ et soit $\alpha$ un réel.

$\ f(\alpha \times v) = \alpha \times f( v)=\alpha\times (\lambda\times v) = \lambda\times (\alpha \times v) $
Donc $\alpha\times v \in V$

Il faut que tu sois un peu plus rigoureux dans ce que tu écris.


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#23 13-12-2018 09:59:16

freddy
Membre chevronné
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Re : sous ensemble vect

francisarchamb a écrit :

pardon je me suis mal exprimé :
montrer que le vecteur nul $0$ de $E$ est bien un élément de $V$
$ f(0)=\lambda 0=0$

Conclusion : V n'est pas vide !
Attention : le vecteur nul est bien entendu commun à $E$ et à $V$ puisque $V$ est un sous ensemble de $E$.


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