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#1 07-12-2018 20:57:12

Lilou11
Invité

Frontière d'un fermé.

Bonsoir,

On considère [tex]E = \{ 0,1 \}[/tex] un espace topologique muni de la topologie discrète.
Soit [tex]F = E[/tex] un ouvert-fermé de [tex]E[/tex].
Comment calcule-t-on la frontière [tex]\partial F[/tex] de [tex]F[/tex] ?

Merci d'avance.

#2 07-12-2018 21:11:04

Michel Coste
Membre
Inscription : 05-10-2018
Messages : 1 095

Re : Frontière d'un fermé.

Dans un espace topologique discret, n'importe quelle partie est à la fois ouverte et fermée.
Je te laisse revoir la définition de frontière, pour comprendre ce qu'est la frontière d'une partie ouverte et fermée d'un espace topologique.

Hors ligne

#3 07-12-2018 21:49:54

Lilou11
Invité

Re : Frontière d'un fermé.

Voici ce que j'ai fait :

[tex]\partial F = \overline{F} \backslash \overset{\circ}{F} = \overline{F} \cap \overline{E \backslash F} = \overline{F} \cap \emptyset = \overline{F} = E[/tex]

Correct ?

#4 08-12-2018 09:56:49

Michel Coste
Membre
Inscription : 05-10-2018
Messages : 1 095

Re : Frontière d'un fermé.

Non, absolument pas correct.
Soit $X$ une partie de l'espace topologique $E$
Si $X$ est ouverte, quel est l'intérieur de $X$ ?
Si $X$ est fermée, quelle est l'adhérence de $X$ ?
Si $X$ est ouverte et fermée, quelle est la frontière de $E$ ?

Hors ligne

#5 08-12-2018 11:44:44

Lilou11
Invité

Re : Frontière d'un fermé.

Si [tex]X[/tex] est ouverte, alors, [tex]\overset{\circ}{X} = X[/tex].
Si [tex]X[/tex] est fermée, alors, [tex]\overline{X} = X[/tex].
Si [tex]X[/tex] est ouverte-fermée, alors, [tex]\partial{X} = \overline{X} \backslash \overset{\circ}{X} = X \backslash X = \emptyset[/tex].
Non ?

#6 08-12-2018 16:00:51

freddy
Membre chevronné
Lieu : Paris
Inscription : 27-03-2009
Messages : 7 457

Re : Frontière d'un fermé.

Salut,

oui, c'est d'ailleurs une des marques de fabrique des ouverts - fermés !


De la considération des obstacles vient l’échec, des moyens, la réussite.

Hors ligne

#7 08-12-2018 18:46:39

Michel Coste
Membre
Inscription : 05-10-2018
Messages : 1 095

Re : Frontière d'un fermé.

Bonsoir,
Maintenant que tu as corrigé tes erreurs en suivant mes questions, tu as la réponse à ton interrogation, n'est-ce pas ?
(J'apprécierais un petit merci ;))

Hors ligne

#8 10-12-2018 13:47:28

Lilou11
Invité

Re : Frontière d'un fermé.

Merci Michel.  :-)
Merci Freddy.

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