calcul différentiel

math@gmail.com · 30-11-2018 05:05:52

Bonjour s'il vous plait j'ai besoin d'aide sur cet exercice.
soit Mn(R) l’espace des matrices réelles n×n, A un élément de cet espace, I la matrice n×n unité et λ ∈ R. On pose F(λ,A)=Det(λI-A) le polynôme caractéristique de A. on définit ainsi une application de R×Mn (R) dans R.
1. Expliquez pourquoi F est de classe C∞
2. Donnez l’expression de la différentielle de F, F’(λ,A).
3. On rappelle que les valeurs propres réelles de A sont les réels λ tels que F(λ,A)=0. Une valeur propre réelle λ de A est simple si et seulement si (∂F(λ,A))/∂λ≠0.
Soit λ une valeur propre réelle simple de A. Montrez que il existe un voisinage ouvert V de A et une fonction ϕ : V→ R de classe C∞ tel que ϕ(A)= λ et que pour toute matrice B ∈V, ϕ(B) soit valeur propre réelle de B.
4. Soit U un sous ensemble de Mn(R) formé des matrices ayant n valeurs propres réelles deux à deux distinctes. Montrez que U est un ouvert de Mn(R).
5. Soient A ∈U, λ1(A), λ2(A), ….., λn(A) les n valeurs propres de A rangées par ordre croissant λ1(A)< λ2(A)< …..< λn(A). on définit ainsi n application λi de U dans R. Montrez que ces applications sont de classe C∞ sur U. Merci beaucoup d'avance

Michel Coste · 30-11-2018 10:38:01

Bonjour,

Merci pour l'énoncé très intéressant. En le survolant, j'ai remarqué une erreur dans l'énoncé, sans doute une erreur de recopie ? Dans la question 4, l'énoncé devrait être "Soit U le sous-ensemble ..." au lieu de "Soit U un sous-ensemble ..."
À part ça, tu as complètement oublié de nous dire ce que tu avais fait sur ce sujet. Tu ne t'attends sans doute pas qu'on fasse le travail à ta place ? Tu connais "aide-toi, le ciel t'aidera".

math@gmail.com · 02-12-2018 02:22:37

Bonsoir à vous, Merci pour la remarque. Ce sont les questions 4 et 5 que je n'arrive pas à traiter. Svp j'aimerais avoir des éclaircissements sur ces questions si possible le corrigé. Merci d'avance.

Michel Coste · 02-12-2018 09:05:34

Les questions 4 et 5 sont des conséquences assez directes de la question 3 (qui est elle-même une application directe du théorème des fonctions implicites). On se place en un A de U et applique la question 3 à chacune des valeurs propres de A.
Qu'est-ce qui te bloque pour ces questions ?

math@gmail.com · 03-12-2018 02:38:49

Bonjour à vous, merci beaucoup pour les éclaircissement. S. Mais c'est la rédaction qui me bloque un peu.

Michel Coste · 03-12-2018 19:52:31

Rédige et propose-nous si tu veux un avis sur ce que tu as écrit.

math@gmail.com · 04-12-2018 04:10:39

Bonjour à vous.
4) Soient A ∈U et λ1(A), λ2(A), ….., λn(A) les n valeurs propres deux à deux distinctes de A. D'après le résultat de la question précédente, il existe pour chaque λi un voisinage ouvert Vi de A et une fonction ϕi : Vi→ R de classe C∞ tel que ϕi(A)= λi(A) et que pour toute matrice B ∈V, ϕi(B) soit valeur propre réelle de B. Les valeurs propres étant deux à deux distinctes, elles possèdent des voisinages ouverts Wi deux à deux disjoints. De plus les applications ϕi étant continues en A alors on peut choisir les ouverts Vi tels que ϕi(Vi) C Wi. L'ouvert V= l'union de tous les Vi est un voisinage de A et pour tout B élément de V, ϕi(B) est une valeur propre de B appartenant à Wi. Ainsi B possède n valeur=s propres deux à deux distinctes par conséquent B est un élément de U. En conclusion U est un ouvert de Mn(R).
5) Pour tout A élément de U, indexons les valeurs propres λi(A) de A rangées dans l'ordre croissant λ1(A)< λ2(A)< …..< λn(A). En supposant que les ouverts Wi définis dans la question précédente sont des intervalles ouverts de R deux à deux disjoints , on a pour tout B élément de V ϕ1(B)< ϕ2(B )<...< ϕn(B) puisque ϕi'B) est un élément de Wi. Il en résulte que la restriction de chaque λi au voisinage ouvert V de A est égal à ϕi. Les applications ϕi étant de classe C∞ sur V alors les applications λi sont de classe C∞ sur U

Michel Coste · 04-12-2018 10:37:41

Eh bien voila. C'est satisfaisant, sauf sur un point, dans la réponse à la question 4.
Tu veux que toutes tes fonctions $\phi_i$ soient définies sur $V$. Penses-tu vraiment que prendre pour $V$ la réunion des ouverts $V_i$ soit ce qu'il convient de faire ?

math@gmail.com · 04-12-2018 19:53:23

Bonsoir à vous.
Excusez-moi c'est une erreur.
C'est plutôt V= l'intersection de tous les Vi.
J'aimerais avoir votre avis.

Dernière modification par math@gmail.com (05-12-2018 22:53:35)

Forum de mathématiques - Bibm@th.net

#1 30-11-2018 05:05:52

calcul différentiel

#2 30-11-2018 10:38:01

Re : calcul différentiel

#3 02-12-2018 02:22:37

Re : calcul différentiel

#4 02-12-2018 09:05:34

Re : calcul différentiel

#5 03-12-2018 02:38:49

Re : calcul différentiel

#6 03-12-2018 19:52:31

Re : calcul différentiel

#7 04-12-2018 04:10:39

Re : calcul différentiel

#8 04-12-2018 10:37:41

Re : calcul différentiel

#9 04-12-2018 19:53:23

Re : calcul différentiel

Pied de page des forums