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Witty

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Congruence et divisibilité

Bonsoir,
Svp qqn peut m'aider à résoudre cet exercice :
    [tex]Soit \ n\in ℕ.  Montrer \ que : 4^{2^n}+2^{2^n}+1 \equiv 0 \pmod 7
     \\ {\color{Red} {Indication}}. Distinguer \ les \ cas \ n \ pair \ et \ n \ impair[/tex]

Fred

Administrateur

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Re : Congruence et divisibilité

Bonsoir,

  Je ne sais pas si c'est la méthode la plus rapide, mais voila comment je procèderais. Si $n$ est pair, alors $n=2k$ où $k$ est entier.
Je montrerais ensuite par récurrence que $4^{2k}\equiv 4\ (\mod 7)$ pour tout $k$ entier. Pour cela, tu auras besoin de remarquer que $4^4\equiv 4\ (\mod 7)$. Il faut ensuite faire pareil avec $2^{2k}$ (je ne te dis pas à quoi c'est congru...), puis à traiter le cas impair.

F.