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#1 20-11-2018 16:55:14

Zebulor
Membre expert
Inscription : 21-10-2018
Messages : 2 067

[Résolu] Système d'equations a 3 inconnues

Bonjour,
il s'agit de résoudre le système suivant d'inconnues (x,y,z) complexes non nuls :
    x     +y    +z            =11       
    x^2+y^2+z^2         =49
   x^(-1)+y^(-1)+z^(-1)=1

en cherchant x, y et z comme racines d'un polynôme de degré 3.

J'ai posé P=X^3+aX^2+bX+c avec c différent de 0 car les racines sont toutes non nulles.

En considérant que x, y et z sont solutions de P on a (X-x)(X-y)(X-z)=X^3-(x+y+z)X^2+(xy+xz+yz)X-xyz

Par identification je trouve alors a=-11 et b=36 mais je ne parviens pas a trouver c...

En attendant de me mettre au code Latex…

-------------------------------------

[EDIT]by yoshi
Voilà, instruis-toi :
$\begin{cases}    x     +y    +z &=11\\ x^2+y^2+z^2 &=49\\  x^{-1}+y^{-1}+z^{-1}&=1 \end{cases}$

$P=X^3+aX^2+bX+c $

Dernière modification par yoshi (20-11-2018 17:13:43)


En matière d'intégrales impropres les intégrales les plus sales sont les plus instructives.

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#2 20-11-2018 17:45:11

Matou
Invité

Re : [Résolu] Système d'equations a 3 inconnues

Bonjour,

en mettant [tex]\frac{1}{x} +\frac{1}{y} +\frac{1}{z}[/tex] au même dénominateur, on doit bien arriver à écrire quelque chose d'utile.

Cordialement

Matou

#3 20-11-2018 18:39:44

Zebulor
Membre expert
Inscription : 21-10-2018
Messages : 2 067

Re : [Résolu] Système d'equations a 3 inconnues

Merci Matou pour le fond et Yoshi pour l'instruction. La suite semble plus compliquée… à voir..


En matière d'intégrales impropres les intégrales les plus sales sont les plus instructives.

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#4 20-11-2018 20:45:10

Dattier
Banni(e)
Inscription : 10-09-2017
Messages : 533
Site Web

Re : [Résolu] Système d'equations a 3 inconnues

Bonsoir,

Il faut ramené ton système à un système polynomiale, et utiliser le resultant.

https://fr.wikipedia.org/wiki/R%C3%A9sultant

Bonne soirée.


Raisonnement Exact : A est exacte si avec 10 exemples et pas de contre-exemples connus des concernés

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#5 21-11-2018 09:23:15

Michel Coste
Membre
Inscription : 05-10-2018
Messages : 1 095

Re : [Résolu] Système d'equations a 3 inconnues

Bonjour,
Non, il ne faut pas. C'est même plutôt déconseillé.
Cet exercice rentre bien entendu dans le cadre des relations coefficients-racines, et on a intérêt à calculer les polynômes symétriques élémentaires en [tex]x,y,z[/tex], en suivant les conseils déjà donnés dans ce sens.
Une fois qu'on a déterminé le polynôme unitaire de degré 3 dont [tex]x,y,z[/tex] sont les racines (grâce aux relations coefficients-racines), tout se passe bien : on a des racines sympathiques.

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#6 21-11-2018 10:21:40

Zebulor
Membre expert
Inscription : 21-10-2018
Messages : 2 067

Re : [Résolu] Système d'equations a 3 inconnues

Bonjour Michel et Dattier,

en effet, 3 entiers bien sympathiques qu'on pouvait en fait trouver d'emblée par tatonnement…. mais la méthode vaut le détour. Pour la culture je regarderai quand même le lien Wikipédia..

Bonne journée


En matière d'intégrales impropres les intégrales les plus sales sont les plus instructives.

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#7 21-11-2018 10:25:51

Dattier
Banni(e)
Inscription : 10-09-2017
Messages : 533
Site Web

Re : [Résolu] Système d'equations a 3 inconnues

Bonjour,

La méthode que je propose, contrairement à celle de M.Coste est général, mais la sienne est plus simple.

PS : mieux vaut utiliser le dgcd (que le résultant qui est plus difficile à calculer) : http://forum.prepas.org/viewtopic.php?p=909506#p909506

Bonne journée.

Dernière modification par Dattier (21-11-2018 10:31:58)


Raisonnement Exact : A est exacte si avec 10 exemples et pas de contre-exemples connus des concernés

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#8 21-11-2018 10:47:32

Michel Coste
Membre
Inscription : 05-10-2018
Messages : 1 095

Re : [Résolu] Système d'equations a 3 inconnues

La méthode proposée par Dattier est inadaptée ici.
S'il le conteste, il n'a qu'à détailler les calculs selon la méthode qu'il propose.
En utilisant les relations coefficients-racines :

Texte caché

En notant [tex]s_1,s_2,s_3[/tex] les polynômes symétriques élémentaires en [tex]x,y,z[/tex], les trois équations se réécrivent

                      [tex]\begin{aligned} s_1&=11\\ s_1^2-2s_2&=49\\ \dfrac{s_2}{s_3}&=1\end{aligned}[/tex]

d'où l'on tire [tex]s_1=11, s_2=s_3=36[/tex]. L'ensemble [tex]\{x,y,z\}[/tex] est donc l'ensemble des racines de [tex]t^3-11t^2+36t-36[/tex]. Les racines se trouvent facilement en cherchant les racines entières parmi les diviseurs de 36 : il s'agit de [tex]\{2,3,6\}[/tex].

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#9 21-11-2018 18:52:00

yoshi
Modo Ferox
Inscription : 20-11-2005
Messages : 16 907

Re : [Résolu] Système d'equations a 3 inconnues

Bonsoir vous deux,

Je suis contraint de siffler, avec l'accord de Fred (et en accord le dernier post de Michel Coste posté à 18 h 32), la fin de la récréation.
J'ai éprouvé le besoin de recentrer la discussion sur son objet.
Dattier, tu pourras poursuivre ton ergotage (avec un peu plus de respect pour les compétences universitaires), et/où tes propres calculs (et non un lien) conformément à la proposition ci-dessus, dans la la discussion ad hoc que je viens d'ouvrir dans le café mathématique :
http://www.bibmath.net/forums/viewtopic … 802#p72802
J'ai pensé qu'il pourrait dommageable pour Zebulor de se retrouver au milieu de cette controverse.
Il me fallait choisir où couper : Michel Coste dans son post #8 ayant donné une réponse claire et incontestable,  il m'a semblé (!) que là devait être  le point de rupture.

Par correction pour Zebulor, je ne ferme pas la discussion, mais je resterai attentif aux interventions "iconosclastes" ultérieures éventuelles que je ne souhaite pas....

@+


Arx Tarpeia Capitoli proxima...

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#10 22-11-2018 17:01:36

Black Jack
Membre
Inscription : 15-12-2017
Messages : 470

Re : [Résolu] Système d'equations a 3 inconnues

Salut,

Zebulor a écrit :

Bonjour,
il s'agit de résoudre le système suivant d'inconnues (x,y,z) complexes non nuls :
    x     +y    +z            =11       
    x^2+y^2+z^2         =49
   x^(-1)+y^(-1)+z^(-1)=1

en cherchant x, y et z comme racines d'un polynôme de degré 3.

J'ai posé P=X^3+aX^2+bX+c avec c différent de 0 car les racines sont toutes non nulles.

En considérant que x, y et z sont solutions de P on a (X-x)(X-y)(X-z)=X^3-(x+y+z)X^2+(xy+xz+yz)X-xyz

Par identification je trouve alors a=-11 et b=36 mais je ne parviens pas a trouver c...

En attendant de me mettre au code Latex…

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[EDIT]by yoshi
Voilà, instruis-toi :
$\begin{cases}    x     +y    +z &=11\\ x^2+y^2+z^2 &=49\\  x^{-1}+y^{-1}+z^{-1}&=1 \end{cases}$

$P=X^3+aX^2+bX+c $

****************************************
x+y+z=11 (1)
x²+y²+z²=49 (2)
1/x+1/y+1/z = 1 --> (xy+yz+xz)/(xyz)=1 (3)

(1)² :
x²+y²+z²+2(xy+yz+xz)=121
49 + 2(xy+yz+xz)=121
xy+yz+xz=36

et dans (3) --> xyz = 36

"P=X^3+aX^2+bX+c avec c différent de 0 car les racines sont toutes non nulles.
En considérant que x, y et z sont solutions de P on a (X-x)(X-y)(X-z)=X^3-(x+y+z)X^2+(xy+xz+yz)X-xyz"

--> P = X³ - 11X² + 36X - 36

Dont les solutions sont : 2 , 3 , 6

Dernière modification par Black Jack (22-11-2018 17:03:09)

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#11 22-11-2018 18:13:17

Michel Coste
Membre
Inscription : 05-10-2018
Messages : 1 095

Re : [Résolu] Système d'equations a 3 inconnues

Déjà écrit, Black Jack !

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#12 22-11-2018 18:22:56

Zebulor
Membre expert
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Messages : 2 067

Re : [Résolu] Système d'equations a 3 inconnues

Bonsoir,
C'est noté Black Jack! je ne pensais pas qu'un polynôme de degrés 3 qui mesure 4cm de long sur 4mm de large sur mon écran allait susciter autant de passions! Mais il est juste et bon de défendre ses idées..

Je me demandais si dans le cas général de ce système à 3 équations et 3 inconnues, les triplets de racines du polynôme P obtenues (et leur permutation (dans le cas présent 6 triplets (x,y,z)) sont les seules solutions du système...


En matière d'intégrales impropres les intégrales les plus sales sont les plus instructives.

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#13 22-11-2018 18:33:42

Black Jack
Membre
Inscription : 15-12-2017
Messages : 470

Re : [Résolu] Système d'equations a 3 inconnues

Michel Coste a écrit :

Déjà écrit, Black Jack !

Pas vraiment.

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#14 23-11-2018 09:32:59

Zebulor
Membre expert
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Messages : 2 067

Re : [Résolu] Système d'equations a 3 inconnues

bonjour,

Yoshi, en réponse à ton post bienveillant du 21/11, je crois que cet exercice sur les polynômes peut être clos.. La contribution de personnes (comme Michel Coste) qui savent d'emblée cerner les problèmes et donner des réponses brèves et efficaces est une chance pour ce site …


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