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#1 19-11-2018 13:30:38

lyndaO
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EXERCICE nombres complexes

Bonjour

voici une question sur laquelle je bloque à partir du petit 2)

soit équation (E) : Z^2 +iZ+C=0 ou C nombre réel

1) Montrer que l'équation (E) est équivalente à E' : (Z+i/2)^2+1/4+C=0
jai développe et retombe bien sur E

2) On suppose que Z est imaginaire pur. Trouver la condition sur C pour que Z soit solution de E'

je sais que Z=ib dois je remplacer dans une des 2equations?

3)Conclure dans ce cas et donner les solutions imaginaires pures  de E

4) L'equation E peut etre admettre des solutions non imaginaires pures?

merci

Dernière modification par lyndaO (19-11-2018 15:25:56)

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#2 19-11-2018 14:10:22

yoshi
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Re : EXERCICE nombres complexes

Bonjour,

Bienvenue chez nous...
Juste au passage pour le fun, je vais te taquiner : t'as quand même entendu parler de la forme canonique, non ?
alors regarde, tu pouvais faire aussi comme ça :
$Z^2 +iZ+C=0\;\Leftrightarrow\;Z^2+ 2i\times\frac 1 2 Z+C=0\;\Leftrightarrow\;(Z+i\frac 1 2)^2-(\frac i 2)^2+C=0\;\Leftrightarrow\;(Z+i\frac 1 2)^2+\frac 1 4+C=0$

Et là, je ne taquine plus, je me demande comment en développant ce que tu présentes comme E' tu as pu retomber sur E...

2. A quelle condition l'équation E' $(Z+i\frac 1 2)^2+\frac 1 4+C=0$ n'admet-elle pas de solution dans $\mathbb{R}$ ?
Tu peux aussi te poser la même question directement sur E, je pense que c'est même plus simple...
Et je n'ai pas remplacé z par ib : j'ai raisonné à partir de l'équation E...

@+

Dernière modification par yoshi (19-11-2018 14:59:51)


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#3 19-11-2018 14:43:07

lyndaO
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Re : EXERCICE nombres complexes

Bonjour

merci pour la piste et les taquineries  .... ;; pour la question 1) je suis partie de E' que j'ai développé (identité remarquable) ensuite je tombe bien sur E qui est l’Équivalent de E' .je pense qu'on peut le montrer de cette manière aussi non?

pour le 2) j' ai essayé de lire entre les lignes : l’Équation E' n'admet pas de solution dans  R  lorsque nous avons des solutions complexes?

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#4 19-11-2018 15:03:14

yoshi
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Re : EXERCICE nombres complexes

Re,

Q1
Toi, tu écris [tex]E' =  (Z+\frac 1 2)^2+1/4+C=0[/tex]
Et moi, [tex]E' =  (Z+\frac 1 2 i)^2+1/4+C=0[/tex]
Et je renouvelle mon interrogation : je me demande comment en développant ce que tu présentes comme E' tu as pu retomber sur E...
Vois-tu la différence entre les deux ?

Q2 Après réflexion, c'est plus simple de partir directement de E en oubliant l'enfonçage de portes ouvertes : je n'avais pas vu ta réponse avant de modifier mon post ci-dessus...
Tu te retrouverais en terrain plus familier celui défriché en 1ere sans connaître les complexes...
Il te faudra discuter à partir de [tex]\Delta[/tex]

@+


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#5 19-11-2018 15:44:12

lyndaO
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Re : EXERCICE nombres complexes

oui désolée jai oublié le i dans la parenthèse :avec la bonne équation on tombe bien sur E
2) il faut alors que c soit positif afin que l'on obtienne pour le calcul d'un delta negatif?

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#6 19-11-2018 16:36:35

yoshi
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Re : EXERCICE nombres complexes

Bonjour,

Il faut, je pense aborder la question, pour ne pas déjà répondre à la 4e, comme suit.
L'équation admet toujours des solutions.
Son discriminant dit être négatif afin d'être écrit comme le carré d'un imaginaire pur et permettre une mise en facteur de i
[tex]\Delta=-1-4c=-(1+4c)[/tex]
En effet, si 1+4c >0 alors [tex]\Delta=-1-4c=i^2(1+4c)=(i\sqrt{1+4c})=^2[/tex]
   
Les solutions sont donc [tex]z',\,z''\,=\dfrac{-i\pm i\sqrt{1+4c}}{2}=i\left(\dfrac{-1\pm\sqrt{1+4c}}{2}\right)[/tex] imaginaires purs.
Condition sur c : ...

A toi de jouer.

@+


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#7 20-11-2018 12:28:30

yoshi
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Re : EXERCICE nombres complexes

Salut,

Et il faudra en plus ne pas oublier [tex]\Delta=0[/tex]...

La nuit portant conseil, la question 4 mais aussi la 1. m'ont conduit à m'interroger sur mon revirement dans le choix de la méthode.
En effet la Q1 demande expressément d'établir que
[tex]E=z^2+iz+c=0\;\Leftrightarrow\;E'=\left(z+\frac 1 2 i\right)^2+\frac 1 4 + c=0[/tex]
Avec la proposition faite (ça marche aussi !), cette question ne présente aucun intérêt pour la Q2...
Même si ça marche, ce n'est pas dans l'esprit des exercices, de plus, on peu très vite déborder sur Q4...

Finalement ça me gêne !
A la réflexion, je reviens sur ma suggestion initiale...
Si [tex]\left(z+\frac 1 2 i\right)^2+\frac 1 4 + c[/tex] est factorisable alors l'équation [tex]\left(z+\frac 1 2 i\right)^2+\frac 1 4 + c=0[/tex] admet des solutions, mais elle doit être factorisable dans $\mathbb{C}$.
Deux cas
1. $\frac 1 4 +c =0$
   Discuter
2. $\frac 1 4 +c >0$
   Et alors, on pose [tex]\left(z+\frac 1 2 i\right)^2+\frac 1 4 + c =  \left(z+\frac 1 2 i\right)^2-i^2(\frac 1 4 + c)[/tex]
   Et on arrive à :
   [tex]z',\;z''=-\frac 1 2 i \pm i\sqrt{\frac 1 4 +c}=-\frac 1 2  i\pm \frac 1 2 i\sqrt{1+4c}[/tex] et on retombe sur les solutions obtenues via le discriminant...

@+


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