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#1 05-10-2005 21:57:14

Sujeteur
Invité

[Résolu] Relation

Bonjour ou Bonsoir.
Pour aller droit au but, sinon je pourrais faire des pages et des pages, j'aimerais savoir si il existe une relation quelconque entre la somme des carrés des termes et le carré de la somme des termes > ou plus précisement :
a_1²+a_2²+a_3²+a_4²+...+a_n² et (a_1+a_2+a_3+a_4+...+a_n)²

Je sais qu'il existe le binome de Newton qui peut aider a calculer (a+b)^n. Mais ce qui m'interesserait ce serait de savoir si il existe une relation quelconque.
J'ai trouvé la formule de la somme des termes pour (a_1+a_2+a_3+a_4+...+a_n)² qui me donne :
S_n=(((n+1)*(n+2))/2)²
... mais j'ai pas trouvé pour la somme des termes pour a_1²+a_2²+a_3²+a_4²+...+a_n²
Et donc si je pouvais connaitre la relation entre ces deux equation (a_1²+a_2²+a_3²+a_4²+...+a_n² et (a_1+a_2+a_3+a_4+...+a_n)²) je pourrais trouvé la S_n pour la deuxième equation vu que la première je l'ai trouvée.

Voila si donc vous pouviez m'aider ou m'orienter se serait assez sympathique puisque là je galère et ca fait au moins la dizième feuille que je jette.
Merci

#2 06-10-2005 05:58:20

JJ
Invité

Re : [Résolu] Relation

Bonjour,
vous écrivez ceci :
J'ai trouvé la formule de la somme des termes pour (a_1+a_2+a_3+a_4+...+a_n)² qui me donne : S_n=(((n+1)*(n+2))/2)²
C'est incompréhensible. Voyons un exemple :
n=2 ; a_1=4 ; a_2=1
(a_1+a_2+a_3+a_4+...+a_n)² = (a_1+a_2)² = (4+1)² = 25
(((n+1)*(n+2))/2)² = (((2+1)*(2+2))/2)² = ((3*4)/2)² =36
25 n'est pas égal à 36, donc votre formule de S_n est fausse, ou les définitions que vous donnez pour les symboles sont ambigues.

#3 06-10-2005 06:33:53

Fred
Administrateur
Inscription : 26-09-2005
Messages : 4 705

Re : [Résolu] Relation

On a :

[tex](a_1+a_2+a_3+a_4+...+a_n)^2=a_1^2+a_2^2+a_3^2+a_4^2+...+a_n^2+2\sum_{i<j}a_ia_j[/tex]

Maintenant, puisque (|a_i|-|a_j|)^2>=0, on a 2|a_i||a_j|<=a_i^2+a_j^2.
Si on injecte cette inégalité dans la somme, où on a (n-1) termes a_i pour chaque i, on trouve :

(a_1+a_2+a_3+a_4+...+a_n)²<=n(a_1²+a_2²+a_3²+a_4²+...+a_n²).

Pour une inégalité dans l'autre sens, cela dépend essentiellement du signe des termes. S'ils sont tous positifs, il suffit de développer le carré comme fait au début de ce message, puis de remarquer que la somme est forcément positive.

J'espère que cela répond à ta question.

Hors ligne

#4 06-10-2005 19:55:51

Sujeteur
Invité

Re : [Résolu] Relation

JJ a écrit :

Bonjour,
vous écrivez ceci :
J'ai trouvé la formule de la somme des termes pour (a_1+a_2+a_3+a_4+...+a_n)² qui me donne : S_n=(((n+1)*(n+2))/2)²
C'est incompréhensible. Voyons un exemple :
n=2 ; a_1=4 ; a_2=1
(a_1+a_2+a_3+a_4+...+a_n)² = (a_1+a_2)² = (4+1)² = 25
(((n+1)*(n+2))/2)² = (((2+1)*(2+2))/2)² = ((3*4)/2)² =36
25 n'est pas égal à 36, donc votre formule de S_n est fausse, ou les définitions que vous donnez pour les symboles sont ambigues.

Pardon j'ai oublié de préciser que cette relation ne marchait que parce que la raison de cette suite était 1.

#5 06-10-2005 19:57:46

Sujeteur
Invité

Re : [Résolu] Relation

Admin a écrit :

On a :

[tex](a_1+a_2+a_3+a_4+...+a_n)^2=a_1^2+a_2^2+a_3^2+a_4^2+...+a_n^2+2\sum_{i<j}a_ia_j[/tex]

Maintenant, puisque (|a_i|-|a_j|)^2>=0, on a 2|a_i||a_j|<=a_i^2+a_j^2.
Si on injecte cette inégalité dans la somme, où on a (n-1) termes a_i pour chaque i, on trouve :

(a_1+a_2+a_3+a_4+...+a_n)²<=n(a_1²+a_2²+a_3²+a_4²+...+a_n²).

Pour une inégalité dans l'autre sens, cela dépend essentiellement du signe des termes. S'ils sont tous positifs, il suffit de développer le carré comme fait au début de ce message, puis de remarquer que la somme est forcément positive.

J'espère que cela répond à ta question.

Merci.

#6 16-10-2005 21:20:13

estelle-17
Membre
Inscription : 16-10-2005
Messages : 1

Re : [Résolu] Relation

je souhaiterais savoir la formule du calcul du pourcentage d'une pente

Hors ligne

#7 17-10-2005 18:52:12

John
Invité

Re : [Résolu] Relation

La pente, c'est la tangente de l'angle (d'un plan incliné par exemple avec l'horizontale).
Ne connaissant pas ton niveau, je précise...
A = point du plan incliné
O = origine = intersection du plan horizontal avec le plan incliné
H = pied de la perpendiculaire abaissée de A sur le plan horizontal
OAH est un triangle rectangle.
La pente du plan incliné s'exprime par le rapport AH/OH = tangente de l'angle HOA.
Et, pour répondre à ta question, la pente en % vaut 100.AH/OH.
Bye

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