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#1 17-11-2018 19:47:22

mati
Membre
Inscription : 15-05-2018
Messages : 133

construction d'une fonction test

Bonjour
j'ai trouvé l'exo suivant: montrer que pour tout $\epsilon > 0$ il est possible de construire une fonction $\varphi_{\epsilon} \in \mathcal{D}(\mathbb{R})$ telle que
$$
\varphi_{\epsilon}(x)
=
\begin{cases}
1 &: |x| < \dfrac{1}{2-\epsilon}\\
0 &: |x| \geq \dfrac{2}{2-\epsilon}
\end{cases}
$$
Comment on montre qu'il est possible de construire la fonction $\varphi_{\epsilon}$?

Bien cordialement

Dernière modification par mati (17-11-2018 22:44:14)

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#2 17-11-2018 23:08:30

Michel Coste
Membre
Inscription : 05-10-2018
Messages : 1 095

Re : construction d'une fonction test

Bonsoir,

On peut par exemple partir d'une fonction affine par morceaux et la régulariser.

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#3 18-11-2018 19:21:02

mati
Membre
Inscription : 15-05-2018
Messages : 133

Re : construction d'une fonction test

Cette fonction n'existe pas par le lemme d'Urysohn?

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#4 20-11-2018 18:44:41

aviateur
Membre
Inscription : 19-02-2017
Messages : 189

Re : construction d'une fonction test

Bonjour
perso je  commencerai comme cela:

La fonction définie par [tex]f_0(x)=exp(-1/(1-x^2))[/tex]  si |x|<1   et  [tex]f_0(x)=0[/tex]  sinon. Cette fonction  est  [tex]C^{\infty}(\R)[/tex]
On pose [tex]a=\int_{\R} f_0(x) dx[/tex]  et
[tex]f_1(x)=1/a \int_{-\infty}^ x  f_0(u) du[/tex] est une fonction aussi ds  [tex]C^{\infty}(\R)[/tex]   croissante qui vaut 0   si x<-1 et 1 si x>1. 

A partir de [tex]f_1[/tex] on construit  avec l'aide d'un changement de variable affine la fonction [tex]\phi_{\epsilon}[/tex]  pour x<=0 et pour x>0  on complète [tex]\phi_{\epsilon}[/tex]  par symètrie.

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