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#1 05-11-2018 16:26:30

mati
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Fonctions tests

Bonjour
j'ai trouvé l'exo suivant: soit $\varphi \in \mathcal{D}(\mathbb{R})$ et soit $M>0$ telle que $Supp(\varphi) \subset [-M,M]$
Quelle condition mettre sur $\varphi$ pour qu'il existe une fonction $\Phi \in \mathcal{D}(\mathbb{R})$ telle que
$$
\forall x \in ]-\infty,M[, \Phi''(x)= \varphi(x).
$$
La solution que j'ai trouvé dit ceci: pour que $Supp(\Phi) \subset [-M,M]$ il faut avoir la condition $\displaystyle\int_{-M}^M \varphi(s) ds$ et pour que $Supp(\Phi) \subset [-M,M]$ il faut imposer la condition $\displaystyle\int_{-M}^M s \varphi(s) ds=0$ (qu'on obtient en utilisant Fubini et la condition sur $\Phi'$.
Je ne comprend pas cette solution et comment on reflechi et on fait pour obtenir ces conditions.
Cordialement

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#2 05-11-2018 18:23:16

aviateur
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Re : Fonctions tests

Bonjour
On a nécessairement [tex]\Phi'(x)= \int_{-\infty}^x \varphi(u) du= \int_{-M}^x \varphi(u) du[/tex] 
Mais pour [tex]x>M[/tex]  [tex]\Phi[/tex]  est constante et cette constante doit être nulle donc on a pour tout x>M
[tex]0=\Phi'(x)= \int_{-M}^x \varphi(u) du=\Phi'(x)= \int_{-M}^M \varphi(u) du[/tex].

Pour la même raison on doit avoir (x> M) [tex]0=\Phi''(x)= \int_{-M}^M \Phi'(u) du=-\int_{-M}^M u \varphi(u) du=0[/tex]

La condition est suffisante;

Je ne vois pas de Fubini là dedans.

Dernière modification par aviateur (05-11-2018 18:25:04)

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#3 05-11-2018 18:49:53

mati
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Re : Fonctions tests

Bonjour aviateur
1- pourquoi $\Phi'(x)= \displaystyle\int_{-M}^M \varphi(u) du$? à droite c'est un nombre et à gauche une fonction de $x$.
2- Pourquoi on a $\Phi''(x)= -\displaystyle\int_{-M}^M u \varphi(u) du$? Qu'est ce que vous appliquez?

Cordialement

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#4 06-11-2018 07:29:04

aviateur
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Messages : 99

Re : Fonctions tests

Bonjour
Attention J'ai bien dit pour x>M. 
Pour ta seconde question c'est une intégration par parties.
Dans cette histoire tu pourrais faire un dessin et surtout tenir compte que [tex]\varphi[/tex] est nulle en dehors de [-M,M]

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#5 06-11-2018 11:12:02

mati
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Re : Fonctions tests

Je n'arrive pas à comprendre comment tu fais l'intégration par parties ici. Peux-tu donner plus de détails? S'il te plaît.

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#6 06-11-2018 16:50:24

aviateur
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Re : Fonctions tests

Bonjour
L'IPP  est assez évidente:   la primitive de 1  c'est u   et la dérivée de [tex]\Phi'(u)[/tex]   c'est [tex]\varphi(u)[/tex]

Dernière modification par aviateur (06-11-2018 16:50:48)

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#7 06-11-2018 18:09:48

mati
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Re : Fonctions tests

Merci aviateur. Je recapitule la solution:
On cherche les conditions sur $\varphi$ pour qu'il existe $\Phi \in \mathcal{D}$ telle que $\forall x \in ]-\infty,M[: \Phi''(x)=\varphi(x)$.
Si on pose $\Phi'(x)= \displaystyle\int_{-\infty}^x \varphi(s) ds$ on remarque qu'on a bien $\Phi''(x)= \varphi(x)$. Pour que $\Phi'$ soit à support dans $]-M,M[$ il faut que $\lim_{x \to +\infty} \Phi'(x)= \displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty} \varphi(s) ds= \displaystyle\int_{-M}^{M} \varphi(s) ds =0$.
Une première condition est donc $\displaystyle\int_{-M}^M \varphi(s) ds =0$.

On a par IPP $\Phi(x)= \displaystyle\int_{-\infty}^x \Phi'(s) ds = [s \Phi'(s)]_{-\infty}^x - \displaystyle\int_{-\infty}^{x} s \varphi(s) ds$.

Pour que $\Phi$ soit à support compact, il faut que $\lim_{x \to +\infty} \Phi(x)=0=-\displaystyle\int_{-M}^M s \varphi(s) ds$.
Une deuxième condition est donc $\displaystyle\int_{-M}^M s \varphi(s) ds=0$.

Conclusion: la condition nécessaire et suffisante pour l'existence d'un tel $\Phi$ est:
$\displaystyle\int_{-M}^M \varphi(s) ds =0$ et $\displaystyle\int_{-M}^M s \varphi(s) ds=0$.

Est-ce que c'est parfaitement rédigé? Ou il y a des détails à ajouter?

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#8 06-11-2018 19:13:37

aviateur
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Messages : 99

Re : Fonctions tests

Bonjou
Oui c'est ça. Mis à part que le raisonnement me semble montrer que la condition est nécessaire. Donc dire qu'elle suffisante doit être séparé de la conclusion bien  que vérifier que la condition est suffisante est facile

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#9 08-11-2018 21:23:39

mati
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Messages : 40

Re : Fonctions tests

Comment on montre que cette condition est suffisante? stp qu'est ce qu'il faut dire?

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