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Expia

Invité

Problème question sur la récurrence help

Bonjour, pouvez-vous m'aider sur un exo concernant la récurrence ?

On dispose de une suite :
(u_n)

Elle est définie par :
u_n+1=[tex] \frac{1}{4} [/tex] u_n + [tex] \frac{21}{4} [/tex]
u_n+2=[tex]\frac{5}{4}[/tex] u_n+1 - [tex]\frac{1}{4}[/tex]u_n
u₀=3
u₁=6
La question :

Montrer par récurrence que : pour tout entier n≥ 0, u_n<u_n+1<15

Ce que j'ai fait :

Montrons par récurrence que pour tout entier n≥ 0, u_n<u_n+1<15
Initialisation : il s'agit de montrer que pour u₀<u₁<15
u₀=3 u₁=6 or, 3<6<15
donc on a bien u₀<u₁<15

Hérédité:
Soit n un entier ≥ 0 fixé;
Supposons que u_n<u_n+1<15
Montrons qu'alors u_n+1<u_n+2<15

Je sais qu'il faut que je parte de de ma supposition pour arriver à ce que je veux montrer. Mon problème est là, je n'arrive pas à arriver à ce résultat : u_n+1<u_n+2<15. Me suis-je trompé quelque part ? Pouvez vous m'aider à me débloquer s'il vous plait ? Merci d'avance

Fred

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Re : Problème question sur la récurrence help

Bonjour,

  Ton énoncé n'est pas très clair. Une suite n'est définie que par une formule de récurrence. Or, tu en donnes deux.
Quelle est la bonne? A moins que l'énoncé ne donne qu'une des deux formules et que tu ais démontré l'autre dans une question précédente?

F.

Expia

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Re : Problème question sur la récurrence help

Bonjour,

  Ton énoncé n'est pas très clair. Une suite n'est définie que par une formule de récurrence. Or, tu en donnes deux.
Quelle est la bonne? A moins que l'énoncé ne donne qu'une des deux formules et que tu ais démontré l'autre dans une question précédente?

F.

Merci d'avoir pris le temps de répondre.
Vous avez raison, mon énoncé n'est pas très clair. En effet, l'énoncé nous donne u_n+2=[tex] \frac{5}{4} [/tex] u_n+1-[tex] \frac{1}{4} [/tex] u_n. Par la suite, dans une question précédente (grâce à une autre suite auxliaire), j'ai démontré que u_n+1=[tex] \frac{1}{4} [/tex] u_n + [tex] \frac{21}{4} [/tex]. Je n'ai pas jugé bon de le préciser car je pense que ce n'est pas utile à la résolution de ce raisonnement par récurrence. Sinon, avez vous des pistes de résolution. Merci d'avance

yoshi

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Re : Problème question sur la récurrence help

Salut,

Ta définition de suite est curieuse : jamais vue... Quel est l'énoncé exact ?
Ceci dit, je pense avoir réussi quand même.
D'autres auront peut-être une idée pour tout faire en même temps...
Je le fais en 2 fois (l'ordre deux points n'a pas d'importance.
1. Je montre par récurrence que $\forall n,\;u_n<15$
    Initialisation évidente
    Hérédité
    On suppose [tex]u_n<15[/tex]
    D'où [tex]\frac 1 4 u_n<\frac{15}{4}[/tex]
    Et  [tex]\frac 1 4 u_n+\frac{21}{4}<\frac{15}{4}+\frac{21}{4}[/tex]
    Soit [tex]\frac 1 4 u_n+\frac{21}{4}<\frac{36}{4}[/tex]
    Or [tex]\frac{36}{4}=9[/tex],
    alors  [tex]\frac 1 4 u_n+\frac{21}{4}<9<15[/tex] c'est curieux quand même : j'espère que ce 9 n'est pas l'objet d'une question suivante...

2. Maintenant, je montre que $\forall n,\;u_n<u_{n+1}$
    Initialisation évidente
    Hérédité
    On suppose [tex]u_n<u_{n+1}[/tex]
    On calcule [tex]u_{n+2}-u_{n+1}[/tex] :
    [tex]u_{n+2}-u_{n+1}=\frac 5 4 u_{n+1}-\frac 1 4 u_n-u_{n+1}=\frac 1 4 u_{n+1}-\frac 1 4 u_n=\frac 1 4(u_{n+1}-u_n)[/tex]
    Or [tex]u_{n+1}>u_n[/tex]  $\Leftrightarrow$ [tex]u_{n+1}-u_n>0[/tex]

Je rassemble les deux.
Comme [tex]u_n<u_{n+1}[/tex]
    Alors [tex]u_{n+2}-u_{n+1}>0[/tex]
    Et [tex]u_{n+2}>u_{n+1}[/tex]

@+

[EDIT] Bon, je vois qu'entre temps Fred s'est manifesté et que tu lui as répondu....

Dernière modification par yoshi (02-11-2018 20:25:14)

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Expia

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Re : Problème question sur la récurrence help

Merci d'avoir répondu,

Je crois avoir compris votre raisonnement mais est-il possible de rassembler ces deux procédés en un seul procédé (suis-je clair ?), sous la forme d'un encadrement ?

yoshi

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Re : Problème question sur la récurrence help

Re,

C'est parce que je ne voyais pas que je me suis résigné à le faire en deux fois.
Si personne ne dit que j'ai tout faux, je vais chercher de nouveau : je ne vois pas trop comment concilier partie 1 (purement inégalités) et la partie 2...

Je rassemble les deux.
Comme [tex]u_n<u_{n+1}[/tex]
Alors [tex]u_{n+2}-u_{n+1}>0[/tex]
Et [tex]u_{n+2}>u_{n+1}[/tex]

C'est plus exactement :

Comme [tex]\forall n,\; u_n<u_{n+1}[/tex]   et  [tex]\forall n,\;u_n<15[/tex]
alors  [tex]\forall n,\; u_n<u_{n+1}<15[/tex]

@+

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Expia

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Re : Problème question sur la récurrence help

Re,
On ne pourrait pas faire un raisonnement par récurrence "simple" : partir de notre supposition puis ajouter aux membres de l'inégalité afin d'obtenir u_n+1<u_n+2<15 ?

yoshi

Modo Ferox

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Re : Problème question sur la récurrence help

Bonjour,

La nuit porte conseil : c'était si simple que je me demande comment j'ai fait pour ne pas le voir hier soir...
Il suffit de ne considérer que cette seule relation de récurrence :
[tex]u_{n+1}=\frac 1 4 u_n +\frac{21}{4}[/tex]

On en déduit évidemment que :
[tex]u_{n+2}=\frac 1 4 u_{n+1} +\frac{21}{4}[/tex]

Donc, je reprends à l'héritage :
On suppose vrai :
[tex]u_n<u_{n+1}<15[/tex]
Je multiplie tous le membres par $\frac 1 4$ :

[tex]\frac 1 4 u_n<\frac 1 4 u_{n+1}<\frac{15}{4}[/tex]
J'ajoute $\frac{21}{4}$ à tous les membres :
[tex]\frac 1 4 u_n+\frac{21}{4}<\frac 1 4 u_{n+1}+\frac{21}{4}<\frac{15}{4}+\frac{21}{4}[/tex]
Soit :
$u_{n+1}<u_{n+2}<\frac{36}{4}$
et enfin :
$u_{n+1}<u_{n+2}<9<15$.

Et la seule chose qui me gêne un peu, c'est ce 9...

@+

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Re : Problème question sur la récurrence help

Bonjour,
Tout d'abord, merci de ta réponse et d'avoir pris du temps pour me répondre. C'était donc si évident ? Ce 9 ne me dérange pas car si je regarde les questions suivantes, on me demande si la suites converge vers un réel...je pense que ce 9 n'y est pas pour rien.
Merci encore

yoshi

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Re : Problème question sur la récurrence help

RE,

C'était donc si évident ?

Oui, à partir du moment où
1. j'ai cessé de me débattre avec [tex]U_{n+2}=\frac 5 4U_{n+1}-\frac 1 4 u_n[/tex]
2. j'ai fini par intégrer qu'on ne t'avait pas donné 2 relations de récurrence (oui, je sais, j'y ai mis le temps !)
3. où j'ai écrit que [tex]u_{n+2}=\frac 1 4 u_{n+1}+\frac{21}{4}[/tex]
4. où je me suis dit : maintenant tu pars de [tex]u_n<u_{n+1}<15[/tex] et tu te débrouilles pour arriver à [tex]u_{n+1}<u_{n+2}<15[/tex]
c'est devenu limpide ! Je l'ai fait de tête, ce matin en allant chercher à pied mon pain du petit-déjeuner.

Bon, je t'accorde que, un peu d'expérience de ce type de procédé aide...
Et ta limite ne sera pas 9 mais 7...
Si tu repars de [tex]u_{n+1}<u_{n+2}<9[/tex]
Tu procèdes à l'identique et tu arrives à : [tex]u_{n+2}<u_{n+3}<7.5[/tex]...
J'ai vérifié en 4 lignes de programmation : j'ai d'abord fait 20 itérations et j'ai obtenu 7.00000000000727...
J'ai recommencé avec 200... : Le script m'a affiché 7.

@+

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Expia

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Re : Problème question sur la récurrence help

Re,
La question me demande juste si la suite (u_n) est convergente. J'ai envie d'utiliser le théorème des suites monotones mais je ne peux pas car on peut pas dire que (u_n) est majorée par 9. Comment le démontrer ?

yoshi

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Re : Problème question sur la récurrence help

Salut,

Et pourquoi ne le pourrais-tu pas ?
La suite de réels[tex] (u_n)_n[/tex] est dite majorée s’il existe un réel M tel que, quel que soit l’entier naturel n, [tex]u_n\leqslant M[/tex].
Toute suite croissante majorée est convergente.
Tu as bien :
[tex]\forall n,\;u_n<15[/tex]
Donc il existe [tex]\xi[/tex] tel que [tex]\forall n,\;u_n\leqslant 15-\xi[/tex]...
C'est quand même du pinaillage
Puisque
[tex]\forall n,\;u_n<15[/tex] tu as le droit d'écrire [tex]\forall n,\;u_n\leqslant
15[/tex] (dans l'autre sens c'est faux).
On a bien 1<2 et pourtant on écrit couramment $1\leqslant 2$.
Ta suite $u_n$ est (strictement) croissante et majorée donc, elle converge (donc elle admet une limite).

@+

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Expia

Invité

Re : Problème question sur la récurrence help

Re,
Ah très bien ça je ne le savais pas.
Le fait que u_n<u_n+1<15 me posait problème. On peut donc dire que u_n≤u_n+1≤ 15 si j'ai bien compris.

Maintenant, la suite est facile. Merci beaucoup