lR est dénombrable par lN

john · 24-02-2007 20:01:08

Hello tous et toutes,
Il y a au moins 2 jours que je n'ai pas pris de baffe en math. alors je viens jouer dans la cour des grands (c'est ma manière d'apprendre, chacun son truc). Je sais que R n'est pas dénombrable parce que j'ai appris ça toupti. Mais quand-même... parfois, je me demande si tu n'as pas raison moiseti. Non, j'ai l'air de plaisanter mais ma question (probablement puérile) est sérieuse (à mon niveau) car j'ai beaucoup de mal à aller visiter seul les infinis... et pourtant, j'adore.
On sait tous que Q est dénombrable. Si je prends e par exemple, ou mieux Pi, que tout le monde connait, il me semble que je peux l'encadrer par dichotomie en restant dans Q et ce, d'aussi près que je veux. Je crois qu'on parle de "coupure" pour exprimer ça. Comme j'ai du courage et que je ne manque pas d'audace comme tu peux le constater, je peux bien faire la même chose pour tous les réels qui ne sont pas dans Q. Ce faisant, je crée un peigne dans Q (non je n'ai pas dit un peigne Q !). Entre chaque dent, il y a donc un réel qui n'est pas dans Q. Mais alors R devient dénombrable... et je ne sais pas comment sortir de là pour aller plus loin.
Où est la faille, ça doit être nettement plus simple à démolir que de prouver la dénombrabilité de R non ?
A+

PS : Notez bien tous que je viens d'atteindre le grade de membre actif.

Dernière modification par john (24-02-2007 20:11:34)

yoshi · 24-02-2007 21:14:23

Bonsoir,

Je suis moi aussi cette discussion d'assez près, ça m'intéresse même si je ne suis pas compétent pour juger.
Non, je veux poster sur la forme et là, je donne raison à moiseti : avant même sa réponse, j'avais failli poster..
Je répare cette hésitation...

J'ai appris et j'apprends encore qu'en Maths si on ne peut pas me prouver que j'ai tort, l'autre ne pourra clamer qu'il a raison...
Je déteste les réponses à l'emporte-pièce du type : << C'est faux parce que c'est faux ! >> Et voilà pourquoi votre fille est muette...

D'autre part, même si je révère les grands anciens, je considère donc qu'ils ont raison tant que personne n'a pas prouvé qu'ils avaient tort... Et leurs travaux ne sont donc pas un dogme intangible et intouchable...
Il me semble qu'au début du XIXe siècle quelqu'un avait démontré, calculs à l'appui, que le train n'avait pas d'avenir et était dangereux car au delà d'une certaine vitesse (que j'ai oubliée), tout l'air des wagons serait aspiré à l'extérieur... On voit ce qu'il en est advenu.

Alors, s'il vous plaît, M. Commentaire, argumentez, argumentez !

@+

k-lys · 25-02-2007 17:45:59

Bon, j'ai suivi la discussion depuis un certain temps.
J'ai lu (vite fait, mais suffisement pour en dire ce qui suit) les démonstrations de Moiseti.
Il est vrai que le texte n'est pas très clair. Il y a certaines choses qui sont fausses.
Bref, j'en dirais plus long un peu plus tard, je vais les lire en entier et posterai içi même les commentaires.

Pour l'instant, ce qui m'intéresse, c'est le résultat.
"R est dénombrable."

qu'est-ce que cela signifie ?
1. si, Moiseti, cela signifie que R est bijectable avec N (donc la définition de "dénombrable") dans tous les modèles de ZFC, c'est faux. Il suffit de relire l'argument diagonal de Cantor :
Si [0,1[ est bijectable avec N, alors on a une suite des éléments de [0,1[ définie par [tex]$a_{i}=f(i)$[/tex].
On prends pour la suite [tex]$a_{i}=0,a_{i_{1}}a_{i_{2}}...$[/tex].
Ensuite, on défini un nombre b par : [tex]$0,b_{1}b_{2}...$[/tex] en posant [tex]$b_{i}=a_{i_{i}} + 1$[/tex], lorsque [tex]$a_{i_{i}}<9$[/tex] et [tex]$b_{i}=0$[/tex] lorsque [tex]$a_{i_{i}}=9$[/tex]
Ce nombre n'appartient pas à la suite puisque pour tout i on a [tex]$b_{i} \not = a_{i_{i}}$[/tex]. Donc, la fonction définissant la suite n'est pas surjective, et par conséquent pas bijective.
Puisque [0,1[ n'est pas bijectable avec N, R ne l'est pas non plus.

2. Si le but de la démonstration est de montrer qu'il existe des modèles de ZFC de cardinal [tex]$Aleph_{0}$[/tex], alors c'est une conséquence immédiate du théorème de Lowenheim-Skolem (le langage de ZFC étant dénombrable)descendant et ce n'est pas une grande découverte.
A noter que dans les modèles dénombrables de ZFC, l'ensemble des parties de N n'est pas pour autant bijectable avec N. En fait, la seule chose qui permet d'avoir des modèles dénombrables, c'est que les outils nécessaires pour démontrer la non-déonmbrabilité de P(N) n'appartiennent pas au modèle (puisque les seules fonctions existant dans ces modèles sont des fonctions d'ensembles dénombrables dans des ensembles dénombrables.Ca touche à un sujet assez difficile, j'espère être assez cair. La conclusion, c'est que du point de vue de l'intérieur d'un modèle dénombrable de ZFC, l'ensemble des parties de N "semble" être dénombrable. Mais en fait, c'est toujours l'ensemble des parties de N que nous connaisons, et nous savons que cet ensemble n'est pas dénombrable, voir le petit 1.

k-lys · 25-02-2007 18:58:29

Bon, allez, je commence avec le deuxième texte.

1. Pourquoi tout ce travail pour définir D ?
Au fond, si j'ai bien compris, le but est de définir une relation d'ordre strict D, où A est une relation binaire représentant la fonction successeur et B est ce qu'il nous manque pour en faire une relation transitive. (en gros, tous les couples (a,b) sont ceux qui néccessitent plus d'une application du successeur pour passer de l'un à l'autre).
Petite remarque d'alleurs. Il n'y a aucunes différences entre les lignes 2 et 3 du "R4.2".
Je comprends pourquoi certains ont trouvé ça plein d'amateurisme. Pour ma part, je dirais plutôt que c'est maladroit. Disons que les deux pages de définition de D (et propriétés) pourraient être résumées en une demi-page. Ca rend le texte lourd et complique les choses pour rien. Ca décourage aussi beaucoup de gens à lire jusqu'au bout et à chercher à comprendre ce qui est caché derrière.

2. "D est totale". Non. D est totale sur son domaine de définition, mais n'est pas totale sur E. Faut faire attention à ce genre de choses. Et puis dire que D est totale sur D, c'est un peu comme dire que la fin du monde arrivera le jour de la fin du monde. Ca n'avance personne, et ça ne dit rien d'intéressant.
Ah! Pardon... Ca vient plus tard : "E est totalement ordonné par D". Je suppose que c'est de là que provient tout le foin. Attention à la démonstration :

Moiseti a écrit :

Il suffit (2.6.1) qu'il existe un A de BAD ?= où tous les éléments de E sont représentés

Bon, le 2.6.1 on s'en fout royalement. Tout ce que j'ai envie de dire c'est : "oui, il suffit que... et comment le fais-tu ?". Alors bon, on peut se dire que si c'est expliqué ainsi, c'est facile à faire. En fait, on utilise ici l'axiome du choix, si je ne me trompe. Sinon, on peut pas décider comme ça de prendre un bon ordre sur E, comme c'est fait un peu plus loin. ("E={a,b,c,d,...}") Si l'axiome du choix n'est pas utilisé ici, j'aimerais vraiment savoir comment tu définis ton A sur un ensemble particulier. Par exemple, montre-moi comment tu définie A sur R, ça m'interesse. Sinon, si tu utilises l'axiome du choix, il faut peut-être le préciser dans ton raisonnement. Remarquons que même si tu utilises l'axiome du choix, rien ne te permet d'affirmer que chaque élément à un "prédécesseur immédiat", puisque ce dernier nous donne un bon ordre sur E. Et juste çà. Le problème vient de la définition de E={a,b,c,d,...}. Qu'est-ce que c'est tes b et c ? Moi, par exemple, j'ai un bon ordre sur les rationnels positifs ou nuls, c'est l'ordre usuel. Je veux bien poser a=0, mais après, pour b, il faut m'aider. Bref, je ne sais pas si le résultat est faux, bien que je pense qu'il le soit, mais ce qui est sûr, c'est que la démonstration de ce théorème est erronée.

3. Ben du coup, vu que le théorème d'avant n'est pas démontré, il est inutile de continuer. Je ferai la suite si le fameux théorème est prouvé. En attendant j'ai d'autres choses à faire.

P.S.: Tant qu'à refaire cette démonstration, autant écrire de manière plus lisible le début, parce que cela manque effectivement de clarté. La définition de D,A et B pourrait être simplifiée énormément, et je ne dis pas ça pour t'embêter. Plus on est clair dans ce qu'on écrit, et moins on a de chances de faire des erreurs.

k-lys · 25-02-2007 19:02:25

Pour être peut-être un peu plus clair : L'axiome du choix nous donne un bon ordre sur E, mais il ne nous donne pas nécessairement un ordre discret. L'erreur est là. On ne peut pas prendre E={a,b,c,...} avec un ordre discret.

k-lys · 25-02-2007 20:05:53

Errata.

Je suis allé un peu vite. Un ordre dense n'est pas un bon ordre. exemple ]0,1] dans Q n'a pas de plus petit élément.

Cependant, il y a quand même un problème dans cette démonstration. Si, en effet, le bon ordre te donne le droit d'écrire {a,b,c,d} comme les quatre premiers éléments de E, tu ne peux pas affirmer qu'il existe nécessairement une "chaîne" reliant deux éléments quelconques de E.
J'ai réagi un peu vite, mais le problème est malgré tout dans cette démonstration.

Je prends N+Z=Nx{0}UZx{1} avec la relation d'ordre habituelle. C'est un bon ordre, mais il n'y a pas nécessairement de "chaîne" reliant (1,0) et (1,1).
C'est là en fait que se trouve l'erreur.
Tu peux effectivement dire E={a,b,c,d,...} mais le "..." est dangereux, parce que rien ne te permet d'affirmer que tout se passe comme tu le souhaite. En l'occurence, mon exemple donne bien E={(0,0),(1,0),(2,0),...} mais je n'ai pas pour autant cette chaîne dont tu affirmes l'existence.
QED ?

moiseti · 27-02-2007 20:25:38

Réponse à # 51 'John)

C'est vrai, l'infini n'est pas facile à domestiquer, alors quand il y en a une infinité….
Ce n'est pas en comblant les lacunes dans Q (méthode des coupures ou des suites de Cauchy) par "addition" des irrationnels afin d'obtenir R que l'on prouve que R n'est pas dénombrable. Seule l'opération exponentiation permet de passer d'un transfini (Aleph-0, cardinal de N) à un transfini supérieur (Aleph-1 cardinal de R)(voir : hypothèse généralisée du continu). Pour le théorème qui démontre que R n'est pas dénombrable voir le message # 24.

john · 27-02-2007 21:36:37

Honnêtement, je ne pensais pas que quelqu'un répondrait à ma question... tellement ça plane haut (hum, enfin pas toujours) sur ce fil. Je remercie d'autant plus moisetti, tout en restant sur ma faim, car je vais devoir plonger aussi dans ce domaine.

PS. je suis intéressé...

Commentaire a écrit :

P.S.: Si tu veux quelques références pour débuter la théorie des ensembles, je peux te conseiller deux-trois bons bouquins, tu verras, c'est passionant.

A+

moiseti · 03-03-2007 17:14:36

Réponse a # 53, 55, 56, 57 (k-lys)

Il est clair que tu n'as pas pris le temps de comprendre ce que je fais. Dès lors, tes commentaires, tout en étant très intéressants, sont hors sujet. Je vais donc m'expliquer une fois de plus, mais en utilisant un vocabulaire plus serré pour ne pas passer pour un radoteur.

# 53

1) Dans la discussion sur ce forum où je ne fais que répondre aux questions posées, le résultat recherché n'est pas "R est dénombrable" comme tu le dis (c'est l'objet du Texte B), mais de montrer que, en logique standard, la démonstration donnée (argument diagonal) de "R n'est pas dénombrable" n'est pas valable. Ce n'est pas du tout la même chose; dans la logique du premier ordre de ZFC cette démonstration est a priori valable.

#55

2) Dans la première partie du texte B (paragraphes 1 et 2), mon objectif est le suivant : démontrer à l'aide d'un raisonnement imprédicatif (i.e. qui fait abstraction des prédicats), je répète : raisonnement imprédicatif, que tout ensemble E ayant au moins deux éléments est totalement ordonné par une relation de type D.

3) Le raisonnement imprédicatif est possible grâce à la logique de la relation dans ZFC (l'ensemble des parties et l'ensemble produit étant imprédicatifs). On en trouve des exemples en analyse combinatoire (ex. dénombrement des surjections de X dans Y, deux ensembles finis et de cardinaux respectifs n et m).

4) Donc, par hypothèse, tout ce qui est donné à propos de E et de ses éléments est : E est un ensemble ayant au moins deux éléments, point final.

5) Il est évident que toute propriété de E démontrée dans ce contexte sera nécessairement vraie pour tous les ensembles particuliers N, pour Q pour R...

6) Il est nécessaire, aussi bien pour la démonstration du Texte B que pour sa critique de respecter l'hypothèse et ce contexte. Ce qui veut dire qu'on ne doit substituer à E aucun ensemble particulier.

7) Je rejette toute preuve ne respectant pas cette discipline. C'est le cas pour tes arguments.

Messages # 56, # 57

8) Lorsque j'écris E={a,b,c} a, b et c sont des constantes d'individus distincts dont on ne connaît pas les propriétés (on est en mode imprédicatif).

9) La remarque 2.6.3 (dans la version du 20.02.07) est capitale. J'ai repris l'expression "puits sans fond" que m'avait suggérée un internaute. On dirait que tu ne l'as pas vue; dommage car, avec les règles 1.1, elle montre la cohésion de la "chaîne" .

10) Pour ce qui est des améliorations qu'on pourrait apporter à la forme du texte B, ça peut attendre… ma démonstration peut très bien être fausse.

Cordialement.

k-lys · 06-03-2007 16:46:39

Moiseti a écrit :

5) Il est évident que toute propriété de E démontrée dans ce contexte sera nécessairement vraie pour tous les ensembles particuliers N, pour Q pour R...
6) Il est nécessaire, aussi bien pour la démonstration du Texte B que pour sa critique de respecter l'hypothèse et ce contexte. Ce qui veut dire qu'on ne doit substituer à E aucun ensemble particulier.
7) Je rejette toute preuve ne respectant pas cette discipline. C'est le cas pour tes arguments.

On ne peut, selon toi, substituer à E aucun ensemble particulier pour critiquer un raisonnement sensé être valable pour tout ensemble. Autant dire que tu refuses la critique.

Moiseti a écrit :

9) La remarque 2.6.3 (dans la version du 20.02.07) est capitale. J'ai repris l'expression "puits sans fond" que m'avait suggérée un internaute. On dirait que tu ne l'as pas vue; dommage car, avec les règles 1.1, elle montre la cohésion de la "chaîne" .

Si si, je l'ai vue. J'ai bien comris ce qu'était la relation D, pas de problèmes. C'est un ordre strict, et A est une relation représentant la fonction successeur. Pas de "puits sans fond", cela veut dire sans aucuns doutes que tout couple d'éléments (a,b) de D peut être décomposé comme une suite finie de couples de A. C'est une conséquence triviale de la définition.

Mais ce n'est pas le problème.
Mon problème c'est la partie 2.7.
Lorsque tu définis A={(a,b),(b,c),...} sans "puit sans fond", tu supposes déjà que ton ensemble E est dénombrable. En effet, avec la définition de A donnée, puisque tu prends un premier élément, tu supposes que chaque élément z de E est atteint à partir de a (premier élément) en un nombre fini d'étapes. (il existe x1,x2,...,xp de E tels que (xi,xi+1) est un élément de A et x1=a et xp=z).
Supposer que, par exemple, R peut être muni d'une telle relation A, c'est supposer une bijection de R dans N.

Le problème est caché dans la construction de A.
En effet, avec l'axiome du choix, je peux dire "je prend un élément de E, je l'appelle a".
Puis, je peux réutiliser l'axiome du choix et dire "je prend un autre élément et je l'appelle b".
Je dis "(a,b) est dans A".
Puis je continue ainsi, je prends un troisième élément c, je dis que (b,c) est dans A, puis je prends un quatrième élément, etc.
Le problème est là : on aura pas forcément tous les éléments de E ainsi, puisqu'on va créer une relation A dont le domaine est nécessairement dénombrable.
Ainsi, dire que E peut être muni d'une relation D (ou A, la seule chose importante ici c'est A), c'est dire que E est dénombrable.

C'est justement tout l'intérêt du raisonnement diagonal de Cantor. On peut trouver une "chaîne" d'éléments et en faire une relation A mais il y aura toujours des éléments de E que nous n'aurons pas considérés.
R nécessite ce que tu nommes des "puits sans fond". Une autre manière de dire que R n'est pas dénombrable.

Effectivement mon exemple ne fonctionnait pas. Avec NxZ on peut trouver une telle relation A en posant ((0,0),(0,1)),((0,1),(1,0)),((1,0),(1,1)),((1,1),(-1,1)),((-1,1),(2,0)),((2,0),(2,1)),((2,1),(-2,1)),((-2,1),(3,0)),etc.
Au passage on remarquera qu'il ne s'agit que de la preuve que NxZ est dénombrable.
C'est d'ailleurs pour ça qu'il ne fonctionne pas cet exemple.

Mais je crois avoir été suffisement clair cette fois-ci.

moiseti · 09-03-2007 16:11:35

Réponse à # 61 (k-lys)

1) A propos du point 6 (message # 60)
Utiliser un ensemble particulier permet de réfuter la conclusion "tout ensemble E peut être totalement ordonné par une relation de type D", mais ne permet pas de réfuter la validité de la démonstration elle-même. Celle-ci est valide si et seulement si elle respecte les axiomes et les lois de la démonstration de ZFC. C'est la seule chose qui compte, car, à ma connaissance, on n'a pas démontré que ZFC n'est pas contradictoire.

2) A propos de 2.7 ("ton problème")
Dans les paragraphes 1 et 2 du texte B, il n'y a aucun besoin d'invoquer la dénombrabilité pour les raisons suivantes :
a) Toute propriété démontrée pour E sera vraie pour tout ensemble ayant au moins deux éléments dénombrable ou non dénombrable, fini ou infini (point 5 message # 60).
b) La définition/construction de l'ensemble produit ExE est la même, que E soit dénombrable ou non, fini ou non.
c) Le non-dénombrable n'est pas un axiome de ZFC
D et donc A sont définis en 1.1 à partir des éléments (couples) de l'ensemble ExE. La définition sélectionne (par les conditions qu'ils doivent satisfaire) les couples de A et ce sont eux les maillons de la chaîne. On n'a pas besoin de AC pour les construire.
Comme je démontre que A, où tous les éléments de E sont représentés, est une partie de ExE, ce résultat est vrai que E soit dénombrable ou non dénombrable, fini ou infini.

On n'a besoin du concept de dénombrabilité que dans le paragraphe 2, il ne faut pas aller plus vite que la musique !

3) A propos de l'argument diagonal.
Je me suis exprimé là-dessus dans le Texte A (sur mon site).
Dans la démonstration 2.7, tous les éléments de E sont représentés dans A, ils sont donc tous considérés. Je n'ai pas besoin de l'argument diagonal.
Remarque :
R nécessite des "puits sans fond" quand il est doté de sa relation d'ordre usuelle. Que se passe-t-il quand il est doté de sa relation de bon ordre ?

4) Résumé
Tu es toujours hors sujet.
La question qui se pose est : la démonstration du texte B respecte-t-elle les axiomes et les règles de la démonstration dans ZFC ?
Commentaire a dit "la démonstration est clairement fausse" mais il garde la preuve secrète.
Ce que tu dis est équivalent à "la démonstration est vraie, mais…".

Dernière modification par moiseti (25-04-2007 11:15:03)

k-lys · 09-03-2007 21:53:21

Je vois qu'il est inutile de dire quoi que soit. Je ne suis clairement pas hors sujet. Tu utilises l'hypothèse de la dénombrabilité de E dans la démonstration du 2.7.
Par rapport à la relation de bon ordre de R, il suffira de noter que tout ordinal est bien ordonné et que ces relations de bon ordre possèdent ce que tu nommes des "puits sans fond". Une relation de bon ordre n'est pas une relation telle que ta relation D, et c'est bien cela mon point : la relation D est une relation de bon ordre, soit, mais elle reste dénombrable. Ainsi, lorsque tu définis une relation D sur un ensemble E, tu définis une relation partielle lorsque cet ensemble est dénombrable.
Ce que je suis en train de dire est effectivement : "la démonstration est bonne, mais partielle et maladroite". Elle suppose la dénombrabilité de E (et c'est là qu'elle est partielle) sans toutefois l'énoncer (et c'est là qu'elle est maladroite). Le résultat démontré n'est donc pas "tout ensemble E peut être muni d'une relation D" mais "Tout ensemble E dénombrable peut être muni d'une relation D", ce qui est inutile pour la suite, et malheureusement peu intéressant (puisque ce n'est qu'une autre manière d'énoncer la dénombrabilité de E).

Ici, deux choix se proposent à toi. Soit continuer à te boucher les oreilles et prétendre que je suis hors-sujet, ce qui n'est pas le cas, malheureusement pour ta démonstration, soit trouver un moyen de démontrer le point 2.7 autrement. Malheureusement je ne pense pas que ce soit possible puisque munir un ensemble E d'une relation D c'est équivalent à se donner une injection de A une partie de N dans E. Alors, oui, tout ensemble peut être muni d'une telle injection, mais elle n'est malheureusement pas toujours surjective.
Et c'est ici que j'en reviens à l'argument diagonal. Lui non plus n'était pas hors sujet. Ce que je dis, c'est que démontrer le point 2.7 tel qu'il est énoncé, c'est démontrer que l'argument diagonal ne tient pas la route.

P.S. : On ne parle pas de "la relation de bon ordre" d'un ensemble, mais plutôt d' "une relation de bon ordre" sur un ensemble.

Remarque : Par rapport à la démonstration elle-même : Il ne suffit pas de dire "on prends A=..." mais expliciter la construction, et c'est là qu'apparaît l'hypothèse implicite de la dénombrabilité de R. De manière générale, en mathématiques, on évitera de dire "je prends A=..." si l'on ne montre pas que l'on en est capable. Sinon, il aurait suffit à Gödel de dire "Je prends un modèle de ZF vérifiant la négation de l'axiome du choix. Donc l'axiome du choix est indépendant des axiomes de ZF." Le problème quand on dit ce genre de choses c'est qu'on risque de dire "je prends A=..." alors que le A en question n'existe pas. Sinon, les maths ça serait beaucoup plus simple : il suffit que je dises "Je prends P un problème qui appartient à la classe NP mais pas à la classe P. Donnez-moi le million de dollars". Qui voudrait de ça franchement ?

moiseti · 11-03-2007 17:51:54

Rèponse à # 63 (k-lys)

Il vaut mieux en rester là.

gring · 11-03-2007 21:58:53

Enorme! Ma premiere visite sur un tchat de maths et je suis pas décu.

Déployé tant d'énergie pour démontré que R est dénombrable, ca ma fait pisser de rire.
Ca me fait penser à ces petites démos rigolotes du genre 1=2 ou il faut trouver la faille.
Dans le cas qui nous interesse je dirais que les blagues les plus courtes sont souvent les meilleures...

stokastik · 09-04-2007 12:13:02

Moiseti :

>Réponse au #34 (stokastik)
>"nature d'un élément" = ensemble des propriétés (attributs) qui le caractérisent et permettent de le différencier : >ex. le symbole 1 désigne un objet qui a les propriétés suivantes nombre, entier naturel, ordinal fini, cardinal fini, >non nul, positif, impair, premier, élément neutre de la multiplication dans N… Ceci est ma définition, je ne connais >pas celle de Cantor.

Cette définition ne tient pas la route. Elle dépend de ce qu'on connait du monde mathématique. Si je ne connais pas les nombres réels, alors je ne prends pas en compte la propriété que 1 est élément neutre de la multiplication dans R ? En plus tu dis "le symbole 1", alors si je ne connais pas la structure d'anneau je ne peux pas dire que 1 est élément neutre de la multiplication dans tel anneau ??

>Réponse au #35 (stokastik)
>1) "définition locale" = une formule permettant, x étant donné, de calculer f(x). Par exemple sin, ln sont les >symboles de fonctions localement définies. Cette information n'est pas donnée par le graphe.

"Calculer", ce mot n'est pas défini! N'importe quoi.

>Réponse à # 42 (Stokastik)
>A propos de S. Poirier.
>Le ton de l'extrait que tu donnes est au mieux méprisant. On pourrait penser que ce monsieur cherche surtout à >se rassurer lui-même. On est sur Internet, pas dans un amphi.

Ok que le ton de S Poirier n'est pas correct. Mais à part ça que penses-tu de ce qu'il a écrit à propos de tes mathématiques ?

moiseti · 11-04-2007 17:35:12

Réponse à # 66 (stokastik)

Les dernières mises à jour faites sur mon site (voir message # 20), répondent parfaitement à tes questions.

osiris · 22-04-2007 23:10:27

je n'ai pas trouvé ton avis sur SPoirier...

moiseti · 24-04-2007 12:54:37

Réponse à # 68 (osiris)
Ma position n'a pas évoulué depuis le message # 43.

moiseti · 01-05-2007 15:40:37

A ceux qui, comme K-lys, s'intéressent au Texte B (lien dans # 20).

Les règles données dans 1.1 ne sont pas des règles de construction de D. Il est question dans ce texte de l'existence de D, indépendamment de toute méthode (utilisation de l'axiome du choix par exemple) qui permettrait éventuellement de la construire.

Dernière modification par moiseti (01-05-2007 16:17:41)

k-lys · 02-05-2007 23:16:20

Il est malheureux que tu ne tiennes pas compte des remarques Moiseti. Je tente encore une fois, en espérant être écouté. Le problème de ta démonstration, c'est ton histoire de "puits sans fond". A ce propos, je ferais remarquer qu'un bon ordre n'exclue en aucun cas ces "puits sans fond", il n'y a qu'à voir les ordinaux, qui en contiennent, et qui sont bien ordonnés.
C'est pourquoi je me permet de dire que la démonstration est inexacte, sans pour autant dire que le résultat est faux, attention. En effet, le problème réside dans la "construction" de D, qui n'est pas suffisement explicitée, et qui, désolé de me répéter, présuppose la dénombrabilité de l'ensemble E. Alors soit tu as une méthode qui te permet de passer outre cette remarque, et alors il faudrait l'expliquer dans la démonstration, soit la méthode de construction est celle que j'imagine (il faut bien l'imaginer si elle n'est pas décrite), et qui consiste à choisir un élément avec l'axiome du choix, puis un deuxième (AC toujours) et le mettre en relation avec le premier, puis en choisir un troisième (AC) et le mettre en relation avec le second, etc... Je l'ai déjà dit, mais si cette méthode fonctionne, il faut encore prouver que cette méthode "épuise" l'ensemble E. Or, nous avons la preuve de Cantor et de sa diagonale magique qui nous donne un contre-exemple à celà, puisque dans le segment 0,1 je prends des éléments, les uns après les autres, et je construit une suite, mais cette suite n'est malheureusement pas exhaustive.

Je ne suis pas venu pour en remettre une couche, mais simplement pour répondre à l'appel de mon nom sur cette discussion. Je ne suis pas tellement intéressé par le texte B, mais par soit sa correction, soit son explicitation. Dans l'état actuel des choses, il n'est pas complet.

moiseti · 04-05-2007 21:45:54

Il est malheureux que K-lys ne tienne pas compte des réponses qu'on lui donne. Voici une synthèse :

K-lys a écrit :

A ce propos, je ferais remarquer qu'un bon ordre n'exclue en aucun cas ces "puits sans fond", il n'y a qu'à voir les ordinaux, qui en contiennent, et qui sont bien ordonnés.

Réponse : Il est évident que D est une relation de bon ordre, mais je n'ai jamais dit que toute relation de bon ordre était une relation de type D.

K-lys a écrit :

C'est pourquoi je me permet de dire que la démonstration est inexacte, sans pour autant dire que le résultat est faux, attention.

Réponse : ???!!!???

K-lys a écrit :

En effet, le problème réside dans la "construction" de D, qui n'est pas suffisement explicitée, et qui, désolé de me répéter, présuppose la dénombrabilité de l'ensemble E.

Réponse : messages # 70 et # 61.

K-lys a écrit :

Alors soit tu as une méthode qui te permet de passer outre cette remarque, et alors il faudrait l'expliquer dans la démonstration,

Réponse : Texte B, introduction (page 1).

K-lys a écrit :

soit la méthode de construction est celle que j'imagine (il faut bien l'imaginer si elle n'est pas décrite),

Réponse : message # 70

K-lys a écrit :

Or, nous avons la preuve de Cantor et de sa diagonale magique

Réponse : en effet la diagonale a tout d'un tour de magie : c'est brillant, élégant et rapide. Mais, comme dans tous les tours de magie, il y a un truc! (Voir texte A).

K-lys a écrit :

Je ne suis pas tellement intéressé par le texte B,

Réponse : je te comprends, je ferais pareil. Mais c'est dommage, car pour prouver que je me trompe il faut en passer par là. C'est dommage car le sujet est, comme je l'ai dit dans # 20, d'ordre logique, et j'ai bien l'impression que tu es un logicien (de même que Commentaire). C'est bien dommage car - si j'ai bien compris - le système logique ZFC a été conçu pour donner aux mathématiques plus de rigueur.
Et avec ça Commentaire qui continue à se taire, quel malheur !.

Commentaire · 05-05-2007 01:43:23

Commentaire est là.. Il vient même de s'inscrire pour "répondre à l'appel de mon nom" comme le dit si bien k-lys.

Après avoir suivi les balbutiements de k-lys, pas toujours inintéréssants, ses erreurs et ses corrections, je me vois contraint de prendre parti pour lui pour une raison toute simple. Entre vous deux, c'est le seul qui semble capable d'accepter ses erreurs.

Je n'ai certes pas envie de discourir avec quelqu'un qui n'écoute que lui-même, alors je ne ferais que quelques petites remarques vite fait bien fait pour retourner à des choses plus sérieuses.

1. Toute relation de bon ordre n'est pas de type D. Oui en effet, D est un ordre strict, discret, dénombrable, donc effectivement pas de "puits sans fond", mais pas d'ordre total non plus. (Au fait, il est possible de définir tout ça en trois lignes)
2. Je ne vois pas où l'explication de la construction de D sur un ensemble E est décrite dans les détails, que ce soit dans une démonstration ou dans l'introduction. Pour ce qui est de "montrer l'existence de D indépendamment de toute méthode qui permettrait de le construire", je dois dire que je compte cette phrase parmi les perles du net. Il y a deux moyens pour montrer l'existence de D : par construction, ou par l'absurde. Aucun des deux n'étant visible dans le texte...
3. De toutes façons, cela ne vaut rien face à cela :

Moiseti a écrit :

On dira ici que le domaine de D est la partie de E dont les éléments sont représentés dans A.
Soient deux éléments quelconques de E représentés dans A, ils sont comparables soit par (R4.2), soit
par (R3). D est donc totale. Le domaine de D est donc totalement ordonné par D.

Et après cela vient parler de rigueur !!! AH!AH!AH! Franchement, le texte est, comme je l'ai déjà dit, complètement à côté de la plaque, mais par contre ce qu'il est drôle !
Franchement... "Le domaine de D est donc totalement ordonné par D" ! Bravo ! Grande découverte. Cela n'en fais malheureusement pas une relation d'ordre totale. (quand on dit totale, on parle de totale sur E... sinon la totalité n'aurait aucun sens... C'est comme dire que la fonction ln(x) est définie sur son domaine de définition et qu'elle est par conséquent définie sur R).
4. Pour ce qui est de Cantor et de sa diagonal, il n'y a malheureusement aucun argument à lui opposer, si ce n'est la définition de l'élément échappant à la numération à partir de la suite infinie même si dénombrable... Cela pose le problème de l'utilisation d'un infini actuel. Je ne sais pas si c'est la question du texte A que je n'ai pas lu. Même s'il doit être très drôle aussi, je ne crois pas avoir le courage de le lire... Cependant, ce seul argument plausible contre l'argument diagonal ne tient pas la route étant donné la "démonstration" du point 2.7.1 (apellé "Théorème"! Il faut arrêter là, j'ai du mal à respirer tellement je ris. Tant qu'on y est, je préciserai que l'argument de k-lys tient la route sur ce point : Il ne suffit pas de dire "je prends A=blablabla", il faut montrer qu'on a le droit de le faire, donc dans ce cas le construire, ce qui abouti à un problème...)

Bon... Ca suffira tout ça...
Je suppose que tu auras des arguments politiques à m'opposer, mais moi, contrairement à k-lys, je ne réponds pas à ce genre de choses. Si on parle mathématiques, on parle mathématiques (soyons rigoureux n'est-ce-pas ?).

Pour les "réponses politiques" cf.

k-lys a écrit :

Il est malheureux que tu ne tiennes pas compte des remarques Moiseti.

Moiseti a écrit :

Il est malheureux que K-lys ne tienne pas compte des réponses qu'on lui donne.

P.S.:
J'avais promis des références... alors pour commencer je te conseille le Cori-Lascar en deux volumes (la théorie des ensemble proprement dite est dans le second, mais je pense qu'une lecture du premier ne te ferais pas de mal, ne serait-ce que pour la rédaction) et le Halmos, et après ça tu devrais pouvoir passer au Krivine. Une fois que c'est lu, compris et digéré... à ta place je relirais le texte, l'effacerais et, en option, je tenterais de mettre mes idées au clair dans un autre article. C'est dans cette mise au clair que les erreurs t'apparaîtront.

Dernière modification par Commentaire (05-05-2007 01:45:38)

moiseti · 09-05-2007 11:21:09

Pas de panique ! S. Poirier a déjà écrit une nouvelle Théorie des Ensembles. Encore plus élégante. Allons !

P.MTZ · 12-06-2007 09:31:15

bonjour,
Réponse tardive.
Les axiomes de Zemzlo-Fraenkel s'appliquent à l'ensemble [N, l'ensemble des dénombrables par excellence! L'axiome du choix, qui a au moins 101 formulations, concerne, et pour beaucoup (?), les ensembles d'un ordre différent... Ne serait-ce que par sa formulation :"Toute surjection admet un inverse à droite"
De plus, si sqrt(2) était rationnel, cela voudrait dire qu' "il existe une Fraction indéfiniment simplifiable"! Lorsque l'on regarde une situation sur [N voire [N², il est clair que l'on parle de fini! Envisager une vision infinie relève de l'utopie, voire de la myopie.

moiseti · 14-06-2007 12:42:19

Bien. En ce qui me concerne je n'ai pas de solution aux problèmes de ZFC à proposer.

Forum de mathématiques - Bibm@th.net

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