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#1 22-10-2018 11:52:39

Tymat
Invité

Probleme équation différentielle

Bonjour,

Notre professeur nous a donne l’exercice suivant :
Déterminer l’ensemble des fonction f de 0 à +infini à R dérivables sur R et vérifiant l’équation suivante :

f’(x)=f(1/x) pour tout x>0

J’ai vu que le problème a déjà été traité sur ce forum même, mon problème étant que je vois partout qu’il faut obtenir une equa différentielle de la forme :
x^2y’’+y=0

Mais je ne comprends pas comment l’obtenir?

Pour l’instant, la seule chose que j’ai pu démontrer c’est que f est deux fois dérivable et que
f’’(x)=(-1/x^2)f(t)
Autrement que :
f’’(x)=-x^-2 . f(t)

Si on pouvait juste m’indiquer comment trouver l’équation différentielle ce serait super

Merci d’avance.

#2 22-10-2018 12:36:30

Fred
Administrateur
Inscription : 26-09-2005
Messages : 7 035

Re : Probleme équation différentielle

Tymat a écrit :

f’’(x)=(-1/x^2)f(t)

Tu ne mélangerais pas un peu les x et les t???

Autrement que :
f’’(x)=-x^-2 . f(t)

Euh...tu es sûr?

F.

Hors ligne

#3 23-10-2018 09:45:38

Black Jack
Membre
Inscription : 15-12-2017
Messages : 470

Re : Probleme équation différentielle

Bonjour,

f’(x) = f(1/x)

(f’(x))' = (f(1/x))'

f''(x) = -1/x² * f'(1/x)

f'(1/x) + x².f''(x) = 0 (1)
*****
f’(x) = f(1/x)

Ceci étant vrai pour tout x > 0, c'est également vrai si on pose x = 1/X

Et en posant x = 1/X --> f'(1/X) = f(X)  (pour tout X > 0) ... et donc on a aussi f'(1/x) = f(x) (pour tout x > 0)

Relis dans (1) --> f(x) + x².f''(x) = 0

Et avec f(x) = y -->  y + x².y'' = 0

Sauf erreur, on trouve :

y = A.V(x)*sin((V3)/2 * ln(x)) + B.V(x)*cos((V3)/2 * ln(x))

f(x) = A.V(x)*sin((V3)/2 * ln(x)) + B.V(x)*cos((V3)/2 * ln(x))

A vérifier.

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