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#1 22-10-2018 11:52:39
- Tymat
- Invité
Probleme équation différentielle
Bonjour,
Notre professeur nous a donne l’exercice suivant :
Déterminer l’ensemble des fonction f de 0 à +infini à R dérivables sur R et vérifiant l’équation suivante :
f’(x)=f(1/x) pour tout x>0
J’ai vu que le problème a déjà été traité sur ce forum même, mon problème étant que je vois partout qu’il faut obtenir une equa différentielle de la forme :
x^2y’’+y=0
Mais je ne comprends pas comment l’obtenir?
Pour l’instant, la seule chose que j’ai pu démontrer c’est que f est deux fois dérivable et que
f’’(x)=(-1/x^2)f(t)
Autrement que :
f’’(x)=-x^-2 . f(t)
Si on pouvait juste m’indiquer comment trouver l’équation différentielle ce serait super
Merci d’avance.
#2 22-10-2018 12:36:30
- Fred
- Administrateur
- Inscription : 26-09-2005
- Messages : 7 035
Re : Probleme équation différentielle
f’’(x)=(-1/x^2)f(t)
Tu ne mélangerais pas un peu les x et les t???
Autrement que :
f’’(x)=-x^-2 . f(t)
Euh...tu es sûr?
F.
Hors ligne
#3 23-10-2018 09:45:38
- Black Jack
- Membre
- Inscription : 15-12-2017
- Messages : 470
Re : Probleme équation différentielle
Bonjour,
f’(x) = f(1/x)
(f’(x))' = (f(1/x))'
f''(x) = -1/x² * f'(1/x)
f'(1/x) + x².f''(x) = 0 (1)
*****
f’(x) = f(1/x)
Ceci étant vrai pour tout x > 0, c'est également vrai si on pose x = 1/X
Et en posant x = 1/X --> f'(1/X) = f(X) (pour tout X > 0) ... et donc on a aussi f'(1/x) = f(x) (pour tout x > 0)
Relis dans (1) --> f(x) + x².f''(x) = 0
Et avec f(x) = y --> y + x².y'' = 0
Sauf erreur, on trouve :
y = A.V(x)*sin((V3)/2 * ln(x)) + B.V(x)*cos((V3)/2 * ln(x))
f(x) = A.V(x)*sin((V3)/2 * ln(x)) + B.V(x)*cos((V3)/2 * ln(x))
A vérifier.
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