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#151 08-12-2018 15:02:16

yoshi
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Re : Géométrie seconde Translations et Vecteurs

Bonjour,

Au # 80, il est écrit :  Si un quadrilatère a ses 4 côtés de même longueur alors c'est un losange. C'est pour cela que j'ai écrit  : 4 côtés sont égaux dans le losange

Certes, mais tu as oublié de noter qu'on part d'un quadrilatère dont on ne sait rien.
Et que dans le cas qui nous concerne, je t'ai fait tracer un parallélogramme et que je t'ai demandé de chercher ce que ce parallélogramme devait avoir en plus, pour qu'on dise de lui que c'est un losange...

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#152 08-12-2018 15:32:16

yannD
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Re : Géométrie seconde Translations et Vecteurs

Oui, j'ai re-écrit sans réfléchir...
Maintenant je sais que losange a deux propriétés supplémentaires par  rapport à un parallélogramme, il faut que  continue l'arbre.
Comment puis-je passer du losange a un carré ?

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#153 08-12-2018 16:31:02

yoshi
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Re : Géométrie seconde Translations et Vecteurs

Bon, un p"tit coup de GeoGebra.
Je vais te faire construire un losange en ABCD, en le traçant à partir d'un triangle isocèle  ABC de base [AC], puis le triangle isocèle ADC de base [AC] symétrique du 1er par rapport à (AC).
Donc, crée un curseur a qui varie de 1 à 6 par incrément de 0.5, règle-le à 6.
Place les points A(2;0) ; M(4;0) et C(6;0). M est le milieu de [AC]
Trace la médiatrice de [AC] : elle passe par M et est perpendiculaire à (AC), c'est la définition.
Place B sur cette médiatrice et tel que B(4;a).
Le triangle est ABC est isocèle : B est sur la médiatrice de [AC] et comme tout point de la médiatrice d'un segment est équidistant des extrémités de ce segment, alors on a bien BA=BC.
Place D tel que D(4,-a).
Trace les segments AB], [BC], [CD], [DA]

B et D ayant même abscisse, ils sont la même verticale, donc sur une perpendiculaire à [AC]
Cette abscisse étant 4, le point M est sur [BD]. M étant le milieu de [AC], (BD) est donc le nom de la médiatrice de [AC].
Si tu calcules BM et MD, tu constates que BM = MD = a.
D est le symétrique de B par rapport à M et comme (BD) est perpendiculaire à (AB) alors D est aussi le symétrique de B par rapport à (AC).
M milieu de [AC] et [BD] ==> ABCD parallélogramme.
Ses diagonales (AC) et (BD) étant de pkus perpendiculaires (ou 2 côté consécutifs [AB] et [BC] égaux) alors ABCD est un losange...

Maintenant, il te reste à faire varier le curseur a jusqu'au moment où ABCD sera un carré.

Alors là, regarde et conjecture ce que ce carré a en plus du losange....


(En italique, les preuves de ce je fais)

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#154 08-12-2018 18:37:28

yannD
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Re : Géométrie seconde Translations et Vecteurs

181208063801437133.jpg

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#155 08-12-2018 18:43:01

yoshi
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Re : Géométrie seconde Translations et Vecteurs

Re,

Fais ton dessin :
Un curseur, 5 points et une droite à tracer...
Où est le lézard ?

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#156 08-12-2018 19:30:57

yannD
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Re : Géométrie seconde Translations et Vecteurs

c'est pas vraiment un lézard ! plutôt un crocodile derrière mon kayak…(Ah! Ah!)

Comment dire ? je comprends que la construction doit se faire en plaçant le point B sur la perpendiculaire au segment  [AC], ainsi en déplaçant le curseur : l'ordonnée de ce point va varier , alors  BA = BC  -- > par ce que tout point de la médiatrice est équidistant etc...
oK
Instruction suivante : je place un point D  sur cette même perpendiculaire et l'ordonnée de ce point va varier donc il va se promener sur la même perpendiculaire et donc d'après la propriété de la médiatrice, enfin je répète pas tout, mais comme tout point de la médiatrice est équidistant des extrémités de ce segment alors je vais avoir une autre égalité DA = DC
ce qui signifie que  :
AB = BC
AD = AC donc AB = BC = AD = AC
c'est ça ?

Dernière modification par yannD (08-12-2018 19:32:34)

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#157 08-12-2018 19:50:59

yoshi
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Re : Géométrie seconde Translations et Vecteurs

Ouh là, mais ça devient caïman dangereux ! ^_ ^                                       

Oui,
MAIS uniquement parce que D pour coordonnées (4,-a), et que D se déplace en même temps que B de telle façon que M reste le milieu de [BD].
Si D se déplaçait indépendamment de B tu pourras arriver à une configuration en cerf-volant avec
BA = BC d'une part et DA = DC d'autre part, sans avoir l'égalité des 4....

Exemple :A(2;0), B(4;3), C(6;0) et D(4;-6)...
Et pourtant, ici aussi (BD) est la médiatrice de [AC]

Alors pourquoi ça marche avec ma construction ?
A cause de B(4;a) et D(4;-a) --> coordonnées du milieu de [BD] : $\frac{4+4}{2}=4\; ; \;\frac{a+(-a)}{2}=\frac 0 2=0$ ce sont celles de M...
M milieu de [AC] et [BD] --> ABCD parallélogramme -- AB=CD et AD = BC
Et B sur la médiatrice de [AC]  --> AB = CB
Donc on a AB=BC =CD = DA

Ok ?

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#158 08-12-2018 20:00:33

yannD
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Re : Géométrie seconde Translations et Vecteurs

A(2 ; 0) , B(4 ; 3) .....
c'est B (4 ; 0), non ?

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#159 08-12-2018 20:12:36

yoshi
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Re : Géométrie seconde Translations et Vecteurs

Et pourquoi donc ?
Je t'ai donné 4 autres points : on n'est plus dans ma construction.
Place ces 4 points et regarde : les 4 côtés n'ont pas la même longueur...
Une fois que tu as vu, tu supprimes tout et tu reviens à la la construction demandée.

Je récris le tout en modifiant la présentation et en élaguant un peu :
Placer un curseur a.
Le régler avec minimum 1, maximum 6, incrément 0.5. Postionner le curseur à 6.0
Placer les points A(2;0), M(4 ;0) et C(6;0)
Tracer la médiatrice de [AC]
Placer les points B(4;a) et D(4;-a).
Tracer les diagonales [AC] et [BD], les côtés [AB], [BC], [CD] et [DA]

Déplace ton curseur et ouvre les yeux.

N-B
ABCD ainsi construit est un losange.
En effet
1. M est le milieu de [AC] : vérification facile par le calcul des coordonnées.
    M est le milieu de [BD] : vérification facile par le calcul des coordonnées.
    Les diagonales du quadrilatère ABCD ont le même milieu, c'est donc un parallélogramme.

2. Par définition, la médiatrice de [AC] lui est perpendiculaire et passe par son milieu, ici M.
    Donc tous les points de la médiatrice de [AC] ont donc la même abscisse (=4).
    Donc B et D qui ont pour abscisse 4 sont sur cette médiatrice.
    Donc je peux appeler cette médiatrice : (BD)
    Alors je peux dire que $(AC)\perp (BD)$
    Ce parallélogramme a ses diagonales perpendiculaires, c'est donc un losange.

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#160 08-12-2018 20:31:48

yannD
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Re : Géométrie seconde Translations et Vecteurs

B et D ont même abscisse donc en variant leur ordonnées respectives : ces deux points vont se déplacer verticalement car c'est l'ordonnée qui change. Comme ces points sont sur la même droite, ils sont sur une médiatrice de  [AC], et là, je dois trouver la suite d'une démonstration pour montrer que (BC) est bien le nom de la médiatrice.
En fait , on veut que (BC) soit le nom de la médiatrice…

Dernière modification par yannD (08-12-2018 20:35:24)

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#161 08-12-2018 20:38:29

yoshi
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Re : Géométrie seconde Translations et Vecteurs

Re,

Comme ces points sont sur la même droite,

Comme ces points sont sur la même droite perpendiculaire à (AC) et passant par le milieu M de [AC], ils sont sur une LA médiatrice de  [AC]

[BC] est un côté, pas une médiatrice.
Si B et D sont sur la médiatrice, alors la médiatrice, c'est (BD).


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#162 09-12-2018 18:54:58

yannD
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Re : Géométrie seconde Translations et Vecteurs

Bonsoir,,

C'est une construction avec les diagonales  …
       et pour utiliser la  propriété du parallélogramme : Si les diagonales d'un quadrilatère ont même milieu alors c'est un parallélogramme , on commence par la diagonale [BD] et on construit cette diagonale tel que  M soit milieu de [BD].

Pour que M reste le milieu de [BD]. , il faut que les coordonnées du milieu ne bougent pas.

-> donc l'ordonnée doit être zéro, et  si a est l'ordonnée du point B, il faut prendre l'opposé de a pour avoir zéro.

Dernière modification par yannD (09-12-2018 19:16:30)

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#163 14-12-2018 20:38:21

yoshi
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Re : Géométrie seconde Translations et Vecteurs

Bonsoir,

J'attendais la suite, mais toi, tu attendais peut-être que te dise : ok, c'est bon !
Alors, oui, c'est bon !
J'ai d'abord construit [AC] sur l'axe des abscisses (équation : y=0), puis M milieu de [AC].
Sur la médiatrice de [AC] (elle passe par M) j'ai placé deux points symétriques (B et D) par rapport à M (donc d'ordonnées a et -a)
Avec M milieu des diagonales, j'ai un parallélogramme.
Avec des diagonales perpendiculaires, ce parallélogramme est devenu un losange.
Comme un carré est aussi un losange, en faisant varier a, à un moment donné, B et D se trouvent placés de telle façon que le losange ABCD est devenu un carré...
La question est : qu'est-ce qu'il a de plus que le losange de départ ?
2 réponses possibles...

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#164 15-12-2018 12:59:01

yannD
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Re : Géométrie seconde Translations et Vecteurs

Bonjour,

Pour passer du Losange de départ au carré , je remarque que AB = AD donc  deux côtés consécutifs égaux.

ET je pars d'un parallélogramme  - >  une des propriétés du parallélogramme :  2 côtés de même longueur.

comme AD = CB alors AD = AB = CB et comme AB = DC alors AB  = AD = BC = DC.

Dernière modification par yannD (15-12-2018 13:00:49)

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#165 15-12-2018 14:59:44

yoshi
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Re : Géométrie seconde Translations et Vecteurs

Salut,

Je t'ai écrit :

2 réponses possibles...

Tu m'en as donné une, exacte. C'est bien.
J'en attends une 2e...

Après, on partira du rectangle pour passer au carré...

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#166 15-12-2018 17:39:12

yannD
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Re : Géométrie seconde Translations et Vecteurs

j'ai trouvé quelque chose pour la 2e mais …

181215053828215149.jpg

Dernière modification par yannD (15-12-2018 17:39:50)

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#167 15-12-2018 18:59:17

yannD
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Re : Géométrie seconde Translations et Vecteurs

M est le milieu de [AC]
la perpendiculaire à [AC] passe par M
B et D sont sur la perpendiculaire à [AC]
donc (BD) est perpendiculaire à [AC]
Ensuite.
Reste à montrer que AC = BD par le calcul.

Dernière modification par yannD (15-12-2018 19:07:10)

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#168 15-12-2018 19:41:14

yoshi
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Re : Géométrie seconde Translations et Vecteurs

Rez,

Ok, fais-le par le calcul.
Ensuite, moi, je te le prouverai avec un raisonnement.

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#169 15-12-2018 19:51:31

yannD
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Re : Géométrie seconde Translations et Vecteurs

le calcul, je l'ai fait sur une feuille.

Dernière modification par yannD (15-12-2018 19:51:56)

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#170 15-12-2018 20:46:15

yoshi
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Re : Géométrie seconde Translations et Vecteurs

D'ac

AC=BD = 4...

Au passage :

donc (BD) est perpendiculaire à [AC]

Pourquoi le redémontrer ?
J'ai construit un losange ABCD. Ses diagonales [AC] et [BD] sont donc perpendiculaires : mon donc ne démontre rien, il fait référence à une  propriété du losange...

Bon, on verra demain : ce soir, je suis HS.
Je suis allé chercher du bois à peu près 3/4 stère : je l'ai rangé dans la voiture, puis sorti provisoirement, j'ai fait un peu de place puis retransporté à sa place définitive.
Quand je le brûlerai dans mon poêle, il m'aura chauffé 4 fois : 3 fois aujourd'hui et une fois dans le poêle...^_^

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#171 15-12-2018 20:57:47

yannD
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Re : Géométrie seconde Translations et Vecteurs

Moi, je suis allé à la pêche…
181215085814815538.jpg

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#172 15-12-2018 23:53:53

yannD
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Re : Géométrie seconde Translations et Vecteurs

Ah oui ! j'oubliais pour le #168 (preuve par raisonnement)
Pouvais vous me faire chercher ?
- > avoir une correction, c'est bien mais,là , je me rends qu'au bout de 15 jours, j'ai vite oublié et il faut que je fasse travailler ma mémoire.

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#173 16-12-2018 19:36:07

yoshi
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Re : Géométrie seconde Translations et Vecteurs

Bonsoir,

Ici, il s'agit d'une définition : si un losange a des diagonales de même longueur alors c'est un carré...

Ce qui équivaut à dire : on appelle carré tout losange qui a ses diagonales de même longueur...
Et une définition ne se prouve pas. Elle est là tout simplement...
Par contre dans un problème, on montre qu'on a un carré à partir de la définition.
Il y a une deuxième définition : on appelle carré tout losange qui a un angle droit.
A partir de l'une on prouve que l'autre définition est exacte..
Donc faisons un problème :

Soit un losange ABCD de centre M dont l'angle [tex]\hat A[/tex] est un angle droit.
On se propose de montrer que ses diagonales ont la même longueur.que  les 3 autres angles sont aussi des angles droits.
   1) Quelle est la nature exacte du triangle BAD ?
   2) En déduire que [tex]\widehat{ABD}=\widehat{ADB}= 45^{\circ}[/tex].
   3) En déduire la mesure de l'angle [tex]\widehat{BAM}[/tex]
   4) En déduire la nature exacte du triangle BMA
   5) Que peut-on dire alors des longueurs MA et MB ?
   6) En déduire que AC = BD

Alors, il y a un théorème qui s'apprend en principe en 4e (tous les profs ne le donnent pas) et qui permet d'aller beaucoup, beaucoup plus vite...


Et on le fera ensuite dans l'autre sens, c'est à dire en partant d'un losange ABCD dont les diagonales ont la même longueur pour prouver que les 4 angles sont droits.

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#174 16-12-2018 20:18:51

yannD
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Re : Géométrie seconde Translations et Vecteurs

Bonsoir,
merci beaucoup pour l'exo, je suis en train de lire l'énoncé; j'espère que ça n'a pas  été trop dure de rentrer tout ce bois ( j'aurais bien voulu vous aider…)

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#175 19-12-2018 20:12:17

yannD
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Re : Géométrie seconde Translations et Vecteurs

Bonsoir,

Soit un losange ABCD de centre M et avec un angle A droit
on se propose de montrer que les diagonales sont de meme longueur et que les trois autres angles sont aussi des angles droit
1 ) Quel est la  nature exacte du triangle BAD

phase 1
-> je dois trier parmi les 3 possibilités : Triangle rectangle/Triangle isocèle/Triangle équilatéral
<- on me demande la nature du triangle
En relisant l'énoncé : on considère un Losange ABCD de centre M et dont l'angle  est un angle droit.

alors le théorème : Si un Triangle  a un angle droit  alors c'est un triangle isocèle s'impose à moi…

phase 2 :
Comme l'angle BAD est un angle droit alors le triangle BAD est isocèle

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