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#1 18-10-2018 20:41:09

mati
Membre
Inscription : 15-05-2018
Messages : 133

Sobolev

Bonjour
j’ai l’exo suivant:
1- montrer que: il existe $c \geq 0$, pour tout $\phi \in D(\mathbb{R}), sup_x |\phi(x)| \leq c ||\phi||_{H1}$
2- montrer que pour tout u dans $H^1(\mathbb{R})$ on a
$||u||_{\infty} \leq ||u||_{H^1}$.
3- soit u dans  $H^1(\mathbb{R})$. Alors il existe une suite $(\phi_j)$ de  $\mathcal{D}(\mathbb{R})$ telle que $\phi_j \to u$ dans $H^1$. Montrer que $\phi_j$ converge uniformément vers u puis déduire que u est continue.

Je sais répondre à la question 1. Par contre j’ai des difficultés à écrire un raisonnement correcte pour 2 et 3.
Pour la question 2. Soit u dans $H^1$, alors il existe une suite $(\phi_j)$ de $\mathcal{D}(\mathbb{R})$ telle que $\phi_j \to u$ dans $H^1$. Par la question 1 on a $||\phi_j||_{\infty} \leq c ||\phi_j||_{H^1}$. Je ne sais pas comment passer à la limite proprement pour obtenir l’inégalité sur $u$.

Puis pour 3 pour la convergence uniforme, quel argument utiliser?

Cordialement

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#2 18-10-2018 21:01:53

Fred
Administrateur
Inscription : 26-09-2005
Messages : 7 035

Re : Sobolev

Bonjour,

  La convergence dans H^1 entraîne la convergence ponctuelle (au moins!).
Donc, pour tout $x\in \mathbb R$, tu as $\phi_j(x)\to u(x)$.
Mais tu sais aussi que, ce $x$ étant fixé, tu as $|\phi_j(x)|\leq \|\phi_h\|_{H^1}$. Tu peux alors passer à la limite, pour ce $x$ fixé, et tu trouves que $|u(x)\|\leq \|u\|_{H^1}$. Tu passes ensuite à la borne sup en $x$.

Pour la question 3., j'utiliserai le critère de Cauchy pour démontrer que la suite $(\phi_j)$ converge pour la norme infinie.

F.

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#3 18-10-2018 23:45:42

mati
Membre
Inscription : 15-05-2018
Messages : 133

Re : Sobolev

Merci pour l'idée.
J'écris la réponse de 2 proprement et j'espère quelques remarques pour améliorer la rédaction.
Pour montrer que $\forall u \in H^1(\mathbb{R}): ||u||_{\infty} \leq ||u||_{H^1}$: soit $u \in H^1(\mathbb{R})$, alors il existe une suite $(\varphi_j) \in \mathcal{D}(\mathbb{R})$ telle que $\varphi_j$ converge vers $u$ dans $H^1(\mathbb{R})$. ce qui implique la convergence simple de $\varphi_j$ vers $u$, i.e., pour tout $x \in \mathbb{R}$ fixé, on a $\lim_{j \to +\infty} \varphi_j = u$.
Soit $x$ fixé dans  $\mathbb{R}$. On a par la question 1 que $|\varphi_j(x)| \leq c ||\varphi_j||_{H^1}$ et en passant à la limite, on obtient que $|u(x)| \leq c ||u||_{H^1}$ pour tout $x$ fixé dans $\mathbb{R}$, et donc $||u||_{L^\infty} \leq c ||u||_{H^1}$.

pour la question 3. montrer que $\varphi_j$ converge uniformément vers $u$. Par la question 2 on a $||\varphi_j - u||_{\infty} \leq c ||\varphi_j - u||_{H^1}$ ce qui implique que $\varphi_j$ converge vers $u$ dans $L^\infty$. Et après je ne sais pas. Où est ce qu'intervient le critère de Cauchy exactement?

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#4 19-10-2018 07:11:02

Fred
Administrateur
Inscription : 26-09-2005
Messages : 7 035

Re : Sobolev

Re,

En fait, le critère de Cauchy est sans doute inutile dans la question 3. Ton inégalité prouve déjà que $(\phi_j)$ converge uniformément vers $u$. Et la convergence uniforme préserve la continuité.

F.

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