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#1 18-10-2018 20:34:52

mati
Membre
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Distribtions et équations

Bonjour
j'ai l'exo suivant
soit $\varphi \in \mathcal{D}(\mathbb{R})$ telle que $\varphi(0)=0$.
Je sais montrer ceci:
1. $\forall x \in \mathbb{R}, \varphi(x)= x \displaystyle\int_0^1 \varphi'(tx) \mathrm{d}t$ et on en déduit qu'il existe $\psi \in \mathcal{D}(\mathbb{R})$ telle que $\varphi = x \psi$.
2. Soit $\varphi_0 \in \mathcal{D}(\mathbb{R})$ telle que $\varphi_0(0)=1$. Alors, $\forall \varphi \in \mathcal{D}(\mathbb{R}), \exists \psi \in \mathcal{D}(\mathbb R), \varphi= \varphi(0) \varphi_0 + x \psi$.
3. Soit $T \in \mathcal{D}'(\mathbb{R})$. Si on suppose que $xT=0$ alors il existe une constante complexe telle que $T=c \delta$.
La question est comment on déduit que si $(x-T)=0$ alors il existe une constante complexe $\alpha$ telle que $T = \alpha \delta_a$?

Merci par avance pour toute aide.

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#2 18-10-2018 20:56:34

Fred
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Re : Distribtions et équations

Bonjour,

  Es-tu sûr que tu veux résoudre l'équation $x-T=0$??? Parce que la solution, c'est $T=x$....

F.

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#3 18-10-2018 22:19:14

mati
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Messages : 133

Re : Distribtions et équations

Non la question est de montrer que si $x-T=0$ alors il existe une constante $\alpha$ telle que $T= \alpha \delta_a$. On devrait faire ça par translation en utilisant la question 3 mais je ne sais pas comment exactement

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#4 18-10-2018 22:36:32

Fred
Administrateur
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Re : Distribtions et équations

A mon avis, il manque un $a$. C'est plutôt $(x-a)T=0$.

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#5 18-10-2018 23:23:30

mati
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Re : Distribtions et équations

Je suis tout à fait d'accord. Si on suppose que $(x-a)T=0$ comment on peut montrer que $T=\alpha \delta_a$?

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#6 19-10-2018 07:20:17

Fred
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Re : Distribtions et équations

Re-

  Comme tu l'as dit, il faut utiliser la translation. Pour rappel, $\tau uT$ est défini par $\langle \tau u T,\varphi\rangle=\langle T,\phi(\cdot-u)\rangle$. Ensuite, tu dois pouvoir montrer quelque chose comme $(x-a)T=0\implies xS=0$ où $S=\tau_{-a}T$. Puis tu utilises la question précédente pour déterminer $S$, puis $T$.

F.

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#7 19-10-2018 09:11:06

mati
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Re : Distribtions et équations

Dans la réponse 1, on a que la convergence $H^1$ implique la convergence simple. Pour tout $x$ fixé dans $\mathbb{R}$ on écrit $|\varphi_j(x)| \leq c ||\varphi_j(x)||_{H^1}$ ou bien  $|\varphi_j(x)| \leq c ||\varphi_j||_{H^1}$ ?

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#8 19-10-2018 10:14:51

Fred
Administrateur
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Re : Distribtions et équations

La deuxième inégalité, bien sûr...

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#9 19-10-2018 11:09:18

mati
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Re : Distribtions et équations

Pourquoi c'est faux d'écrire $||u(x)||_{H^1}$?

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#10 24-10-2018 22:50:17

mati
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Re : Distribtions et équations

Bonsoir
j'ai essayé de rédiger une réponse à ma question initiale mais je n'y arrive toujours pas. Pouvez vous me montrer comment on commence le raisonnement je vous pris.

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