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taillieu

Invité

exercice spé maths divisibilité

on considère l'équation (E) x³+x²+bx+c = 0 ou a,b et c sont des entiers relatifs
a) montrer que si l'entier, a est une solution de (E), alors a divise c
b) l'équation x³+3x+3 =0 a-t-elle des solutions entières?
c) et l'équation x³-15x-4 =0

sur d'autres forum on me dit décrire pour la a) sous cette forme : x³ +x² +bx +c =0
              x(x²+x+b)=0
et d'écrire pour les deux équations suivantes sous la même forme ce qui donne :
x³+3x+3=0                       x³-15x-4=0
x(x²+3)= -3                       x(x²-15)=4
or en écrivant sous cette forme je ne vois pas comment on prouve quelles ont des solutions entières

D_john

Invité

Re : exercice spé maths divisibilité

Merci de réécrire les parties incompréhensibles de ton énoncé.
Essaie de répondre à cette question :
L'équation u.v = 3 a-t-elle des solutions entières ?

Black Jack

Membre

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Messages : 470

Re : exercice spé maths divisibilité

Salut,

Je présume que c'est x³+ax²+bx+c=0 et pas ce que tu as écrit.

a) si a est solution, alors : a³+a.a²+b.a+c=0
2a³ + ab + c = 0

Si a = 0 on est dans la mouise, car on ne peut pas alors dire que a divise c. (on ne peut pas diviser par 0)

Si a est différent de 0 :
2a³ + ab + c = 0
2a + b + c/a = 0

comme a et b sont dans Z, alors c/a aussi et donc ...
**************
J'aide pour la c par une méthode trop peu souvent enseignée (donc aide peut-être trop complète ... si c'est le cas , pas de problème pour moi, qu'un modérateur la supprime)

c)
x³-15x-4 =0

Rappel théorique (trop peu souvent enseigné) :

Soit l'équation : Ax³ + Bx² + Cx + D = 0
Les solutions dans Q, si elles existent sont obligatoirement (au signe près) parmi : (un diviseur non nul de D)/(Un diviseur non nul de A)

Donc ici, avec A = 1 (le disieur unique est 1) et D = -4 (les diviseurs sont 1 , 2 et 4) -->
Si il y a des racines dans Q, elles sont obligatoirement dans Z (puisque le seul diviseur de A est 1) et ne peuvent être que parmi les valeurs : -4 , -2 , -1 , 1 , 2 ou 4

Il suffit donc d'essayer des valeurs comme solutions ... on constate que 4 convient.

On peut alors (si on veut, mais ce n'est pas demandé) faire ceci :
x³-15x-4 =0
x³ - 4x² + 4x² - 16x + x - 4 = 0
x²(x-4) + 4x(x-4) + (x-4) = 0
(x-4).(x²+4x+1) = 0
***************
On peut pour la b, soit procéder comme pour la c (méthode ci-dessus) et montrer qu'aucune des solutions éventuelles dans Z qu'on retire de la méthode ne convient

ou bien :
- montrer (facile) que les solutions dans Z éventuelles ne peuvent être que strictement négatives.
- montrer que f(x) = x³+3x+3 est strictement croissante.
- calculer f(-1)
- Et on peut alors conclure à partir de ce qui précède.

Il existe évidemment de multiples autres manières de faire.

Dernière modification par Black Jack (14-10-2018 10:16:45)

yoshi

Modo Ferox

Inscription : 20-11-2005

Messages : 16 988

Re : exercice spé maths divisibilité

Bonjour,

L'énoncé exact est :

On considère l'équation (E) : $x^3+ ax^2+ bx + c = 0$ où a, b et c sont des entiers relatifs.
1. Montrer que, si un entier relatif n est solution de (E), alors n divise c.
2. L'équation $x^3+ 3x + 3 = 0$ a-t-elle des solutions entières ?

Et le conseil donné :

$x^3+ax^2+bx+c = x(x^2+ax+b) + c$
donc si n est solution de (E)=0, n divise c

@+

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