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#1 30-09-2018 14:27:12
- taillieu
- Invité
exercice suites
bonjour voici mon énoncé :
on considère les suites Un et Vn définie pour tout n par Uo= 2, Vn = 2/Un, et Un+1 = (Un+Vn)/2
1)démontrer par récurrence que les deux suites sont bornés par 1 et 2, c'est-à-dire que 1 ≤ Un ≤ 2 et 1 ≤ Vn ≤ 2 pour tout n
2) montrer que
Un+1 – Vn+1 = (Un-Vn)²/2(Un+Vn)
3) montrer que Un ≥ Vn
4) montrer que le suite Un est décroissante et que la suite Vn est croissante
alors pour la 1) j'ai fait en fonction de F mais pour ça il faut que je montre que la dérivee est positive et donc F croissante mais pour la dérivée j'ai trouvé 2x²-2/2x² comment montrer que c'est positif ? mais j'ai réussi la question 2 et je pense que pour la 3 il faut que je parte de la 2) en disant que Un+1-Vn+1 ≥ 0 mais du coup je trouve Un+1 ≥ Vn+1 et non Un≥Vn je ne sais pas comment faire
et pour la cinq le néant total
merci d'avance de votre aide, mon dm est pour demain merci de répondre au plus vite
#2 30-09-2018 18:46:27
- yoshi
- Modo Ferox
- Inscription : 20-11-2005
- Messages : 16 947
Re : exercice suites
Bonsoir
Et que deviennent les 2 autres sujets que tu as lancés ?
Aujourd'hui pour demain, c'est quand même un peu juste, non ? De plus on est dimanche !
1. Moi je travaillerai "bêtement" avec des suites...
Récurrence
Vérification pour des valeurs simples.
u0=2. On a bien 1<=u0<=2
v0=2/u0 =2/2 = 1. On a bien 1<=v0<=2
u1=(u0+v0)/2=3/2 : 1<=u1<=2
v1= 2/(3/2) = 4/3 : 1 <= v1 <=2
Fais-le pour u2 et v2
On suppose vrai que [tex]1\leqslant u_{n}\leqslant 2[/tex] et [tex]1\leqslant v_{n}\leqslant 2[/tex]
Héritage
[tex]u_{n+1}=\frac{u_n+v_n}{2}= \frac{u_n}{2}+\frac{v_n}{2}[/tex]
On a [tex]1\leqslant u_{n}\leqslant 2[/tex] donc [tex]\frac 1 2\leqslant \frac{u_{n}}{2}\leqslant 1[/tex]
On a [tex]1\leqslant v_{n}\leqslant 2[/tex] donc [tex]\frac 1 2\leqslant \frac{v_{n}}{2}\leqslant 1[/tex]
D'où [tex]\frac 1 2+\frac 1 2\leqslant \frac{u_n}{2}+\frac{v_n}{2}\leqslant 1+1[/tex]
Soit [tex]1\leqslant \frac{u_n+v_n}{2}\leqslant 2[/tex]
[tex]V_{n+1}=\frac{2}{u_{n+1}}=2\times \frac{1}{u_{n+1}}[/tex]
Or
[tex]1\leqslant u_{n+1}\leqslant 2[/tex]
donc :
[tex]\frac 1 1\geqslant \frac{1}{u_{n+1}}\geqslant \frac 1 2[/tex]
[tex]\;\Leftrightarrow\;[/tex]
[tex]2\times 1 \geqslant 2\times \frac{1}{u_{n+1}}\geqslant 2\times \frac 1 2[/tex]
Soit : [tex]1 \leqslant \frac{2}{u_{n+1}}\leqslant 2[/tex]
a SUIVRE..
Arx Tarpeia Capitoli proxima...
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#3 30-09-2018 19:11:12
- taillieu
- Invité
Re : exercice suites
merci infiniment entre deux j'avais réussi à prouver que UN été bornée par 1 et 3 grâce à vous j'ai réussi avec vn or est-ce que vous pouvez m'éclairer pour la question 5 puisque je connais les méthodes pour prouver qu'une suite est croissante donc on peut faire par récurrence on peut faire la différence de deux termes ainsi que le rapport mais je n'y parviens pas
car pour UN bah je ne connais pas de haine et pour vn + 1 - vn ça fait quelque chose que je ne vois pas du tout comment simplifier ( 2/Un+1- 2/Un)
#4 30-09-2018 20:04:10
- yoshi
- Modo Ferox
- Inscription : 20-11-2005
- Messages : 16 947
Re : exercice suites
Re,
$u_{n+1}-v_{n+1}=\dfrac{u_n+v_n}{2}-\dfrac{2}{\dfrac{u_n+v_n}{2}}=\dfrac{u_n+v_n}{2}-\dfrac{4}{u_n+v_n}=\dfrac{(u_n+v_n)^2-8}{2(u_n+v_n)}$
[tex]2\leqslant u_n+v_n\leqslant 4[/tex]
donc
[tex]4\leqslant (u_n+v_n)^2\leqslant 16[/tex]
donc :
[tex]4-4\leqslant (u_n+v_n)^2-8\leqslant 16-8\;\Leftrightarrow\;0 \leqslant (u_n+v_n)^2-8\leqslant 8[/tex]
donc
[tex]0\leqslant (u_n+v_n)^2-4\leqslant 8[/tex]
et
[tex]\frac{-4}{2}\leqslant \frac{(u_n+v_n)^2-8}{2}\leqslant \frac 8 2[/tex]
[tex]-2\leqslant \frac{(u_n+v_n)^2-8}{2}\leqslant 4[/tex]
Or
[tex]2\leqslant u_n+v_n\leqslant 4[/tex]
soit
[tex]\frac 1 4\leqslant \frac{1}{u_n+v_n}\frac 1 2[/tex]
Et
[tex]-2\times \frac 1 4 \leqslant \frac{(u_n+v_n)^2-8}{2}\times \frac{1}{u_n+v_n} \leqslant 4 \times \frac 1 2[/tex]
soit
[tex]- \frac 1 2\leqslant \frac{(u_n+v_n)^2-8}{2(u_n+v_n)} \leqslant 2[/tex]
Enfin [tex]\frac{(u_n+v_n)^2-8}{2(u_n+v_n)} \geqslant 0[/tex] puisque numérateur et dénominateur ne sont pas négatifs..
Et donc[tex] U_{n+1}-V_{n+1}\geqslant 0[/tex]
Il y a probablement plus simple, mais vu le délai, je ne vois pas...
A suivre..
[EDIT]
(...) puisque numérateur et dénominateur ne sont pas négatifs..
Hélas rien ne prouve que [tex](u_n+v_n)^2-8[/tex] n'est pas négatif...
Et zut !
Dernière modification par yoshi (30-09-2018 21:13:14)
Arx Tarpeia Capitoli proxima...
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#5 30-09-2018 20:43:49
- yoshi
- Modo Ferox
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- Messages : 16 947
Re : exercice suites
Re,
Et elle est où la question 5 ?
Ton énoncé s'arrête à 4)...
@+
[EDIT]
Trop tard pour corriger ce soir...
Désolé !
Dernière modification par yoshi (30-09-2018 21:25:50)
Arx Tarpeia Capitoli proxima...
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#6 01-10-2018 10:29:05
- yoshi
- Modo Ferox
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- Messages : 16 947
Re : exercice suites
Bonjour,
Bon, je n'avais pas les idées claires hier soir...
D'abord j'avais zappé une question : la Q2.
Q2 :
$u_{n+1}-v_{n+1}=\dfrac{u_n+v_n}{2}-\dfrac{2}{\dfrac{u_n+v_n}{2}}=\dfrac{u_n+v_n}{2}-\dfrac{4}{u_n+v_n}=\dfrac{(u_n+v_n)^2-8}{2(u_n+v_n)}$
$u_{n+1}-v_{n+1}=\dfrac{(u_n+v_n)^2-8}{2(u_n+v_n)}=\dfrac{u_n^2+v_n^2+2u_n.v_n-8}{2(u_n+v_n)}$
Mais $u_n.v_n=$ donc $8= 4\times 2 =4u_n.v_n$
Donc :
$u_{n+1}-v_{n+1}=\dfrac{(u_n+v_n)^2-8}{2(u_n+v_n)}=\dfrac{u_n^2+v_n^2+2u_n.v_n-8}{2(u_n+v_n)}=\dfrac{u_n^2+v_n^2+2u_n.v_n-4u_n.v_n}{2(u_n+v_n)}=\dfrac{u_n^2+v_n^2-2u_n.v_n}{2(u_n+v_n)}$
$u_{n+1}-v_{n+1}=\dfrac{(u_n-v_n)^2}{2(u_n+v_n)}$
Q3.
On vérifie que [tex]u_n\geqslant v_n[/tex] pour des valeurs simples
On suppose que [tex]u_n\geqslant v_n[/tex]
On vérifie l'héritage.
[tex]u_{n+1}-V_{n+1}=\dfrac{(u_n-v_n)^2}{2(u_n+v_n)}[/tex]
[tex]2(u_n+v_n)[/tex] est strictement positif
et [tex](u_n-v_n)^2\geqslant 0[/tex]
Donc [tex] \dfrac{(u_n-v_n)^2}{2(u_n+v_n)}\geqslant 0[/tex]
Et enfin [tex]u_{n+1}-v_{n+1}\geqslant 0[/tex] soit enfin [tex]u_{n+1}\geqslant v_n[/tex]
Q4.
[tex]u_{n+1}-u_n = \frac{u_n+v_n}{2}-u_n=\frac{v_n-u_n}{2}[/tex]
or [tex] u_n\geqslant v_n[/tex] donc [tex]v_n-u_n\leqslant 0[/tex]
Et [tex]u_{n+1}-u_n \leqslant 0[/tex] ou encore [tex]u_{n+1}\leqslant u_n[/tex]
$(u_n)$ est décroissante
[tex]v_{n+1}-v_n = \frac{2}{u_{n+1}}-\frac{2}{u_n}=\frac{2u_n-2u_{n+1}}{u_n.u_{n+1}}=\frac{2(u_n-u_{n+1})}{u_n.u_{n+1}}[/tex]
[tex]u_n\geqslant u_{n+1}[/tex] donc [tex]u_n - u_{n+1}\geqslant 0[/tex]
et
[tex]u_n.u_{n+1}>0[/tex] comme produit de 2 valeurs strictement positives.
Donc
[tex]v_{n+1}-v_n \geqslant 0[/tex] soit [tex]v_{n+1} \geqslant v_n[/tex]... $(v_n)$ est croissante.
Reste la Q5....
Serait-ce : Montrer que [tex]\lim\limits_{n\to +\infty}\, u_n=\lim\limits_{n\to +\infty}\, v_n=\sqrt 2[/tex] ?
Plus probablement que (un° est minorée par $(\sqrt 2)$ et $(v_n)$ majorée par $(\sqrt 2)$.
@+
Arx Tarpeia Capitoli proxima...
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