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#1 30-09-2018 14:27:12

taillieu
Invité

exercice suites

bonjour voici mon énoncé :
on considère les suites Un et Vn définie pour tout n par Uo= 2, Vn = 2/Un, et Un+1 = (Un+Vn)/2

1)démontrer par récurrence que les deux suites sont bornés par 1 et 2, c'est-à-dire que 1 ≤ Un ≤ 2 et 1 ≤ Vn ≤ 2 pour tout n
2) montrer que
Un+1 – Vn+1 = (Un-Vn)²/2(Un+Vn)
3) montrer que Un ≥ Vn
4) montrer que le suite Un est décroissante et que la suite Vn est croissante

alors pour la 1) j'ai fait en fonction de F mais pour ça il faut que je montre que la dérivee est positive et donc F croissante mais pour la dérivée j'ai trouvé 2x²-2/2x² comment montrer que c'est positif ? mais j'ai réussi la question 2 et je pense que pour la 3 il faut que je parte de la 2) en disant que Un+1-Vn+1 ≥ 0 mais du coup je trouve Un+1 ≥ Vn+1 et non Un≥Vn je ne sais pas comment faire
et pour la cinq le néant total
merci d'avance de votre aide, mon dm est pour demain merci de répondre au plus vite

#2 30-09-2018 18:46:27

yoshi
Modo Ferox
Inscription : 20-11-2005
Messages : 16 947

Re : exercice suites

Bonsoir

Et que deviennent les 2 autres sujets que tu as lancés ?
Aujourd'hui pour demain, c'est quand même un peu juste, non ? De plus on est dimanche !
1. Moi je travaillerai "bêtement" avec des suites...
Récurrence
Vérification pour des valeurs simples.

u0=2.  On a bien 1<=u0<=2
v0=2/u0 =2/2 = 1. On a bien 1<=v0<=2

u1=(u0+v0)/2=3/2   :  1<=u1<=2
v1= 2/(3/2) = 4/3     : 1 <= v1 <=2

Fais-le pour u2 et v2

On suppose vrai que [tex]1\leqslant u_{n}\leqslant 2[/tex] et [tex]1\leqslant v_{n}\leqslant 2[/tex]

Héritage
[tex]u_{n+1}=\frac{u_n+v_n}{2}= \frac{u_n}{2}+\frac{v_n}{2}[/tex]

On a  [tex]1\leqslant u_{n}\leqslant 2[/tex] donc  [tex]\frac 1 2\leqslant \frac{u_{n}}{2}\leqslant 1[/tex]
On a  [tex]1\leqslant v_{n}\leqslant 2[/tex] donc  [tex]\frac 1 2\leqslant \frac{v_{n}}{2}\leqslant 1[/tex]

D'où   [tex]\frac 1 2+\frac 1 2\leqslant  \frac{u_n}{2}+\frac{v_n}{2}\leqslant 1+1[/tex]
Soit    [tex]1\leqslant \frac{u_n+v_n}{2}\leqslant 2[/tex]

[tex]V_{n+1}=\frac{2}{u_{n+1}}=2\times \frac{1}{u_{n+1}}[/tex]
Or
[tex]1\leqslant u_{n+1}\leqslant 2[/tex]
donc :
[tex]\frac 1 1\geqslant \frac{1}{u_{n+1}}\geqslant \frac 1 2[/tex]     
[tex]\;\Leftrightarrow\;[/tex]
[tex]2\times 1 \geqslant 2\times \frac{1}{u_{n+1}}\geqslant 2\times \frac 1 2[/tex]
Soit  : [tex]1 \leqslant \frac{2}{u_{n+1}}\leqslant 2[/tex]

a SUIVRE..


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#3 30-09-2018 19:11:12

taillieu
Invité

Re : exercice suites

merci infiniment entre deux j'avais réussi à prouver que UN été bornée par 1 et 3 grâce à vous j'ai réussi avec vn or est-ce que vous pouvez m'éclairer pour la question 5 puisque je connais les méthodes pour prouver qu'une suite est croissante donc on peut faire par récurrence on peut faire la différence de deux termes ainsi que le rapport mais je n'y parviens pas
car pour UN bah je ne connais pas de haine et pour vn + 1 - vn ça fait quelque chose que je ne vois pas du tout comment simplifier ( 2/Un+1- 2/Un)

#4 30-09-2018 20:04:10

yoshi
Modo Ferox
Inscription : 20-11-2005
Messages : 16 947

Re : exercice suites

Re,

$u_{n+1}-v_{n+1}=\dfrac{u_n+v_n}{2}-\dfrac{2}{\dfrac{u_n+v_n}{2}}=\dfrac{u_n+v_n}{2}-\dfrac{4}{u_n+v_n}=\dfrac{(u_n+v_n)^2-8}{2(u_n+v_n)}$

[tex]2\leqslant u_n+v_n\leqslant 4[/tex] 
donc 
[tex]4\leqslant (u_n+v_n)^2\leqslant 16[/tex]
donc :
[tex]4-4\leqslant (u_n+v_n)^2-8\leqslant 16-8\;\Leftrightarrow\;0 \leqslant (u_n+v_n)^2-8\leqslant 8[/tex]
donc
[tex]0\leqslant (u_n+v_n)^2-4\leqslant 8[/tex]
et
[tex]\frac{-4}{2}\leqslant \frac{(u_n+v_n)^2-8}{2}\leqslant \frac 8 2[/tex]

[tex]-2\leqslant \frac{(u_n+v_n)^2-8}{2}\leqslant 4[/tex]

Or

[tex]2\leqslant u_n+v_n\leqslant 4[/tex] 
soit
[tex]\frac 1 4\leqslant \frac{1}{u_n+v_n}\frac 1 2[/tex]

Et
[tex]-2\times \frac 1 4  \leqslant \frac{(u_n+v_n)^2-8}{2}\times \frac{1}{u_n+v_n} \leqslant 4 \times \frac 1 2[/tex]
soit
[tex]- \frac 1 2\leqslant \frac{(u_n+v_n)^2-8}{2(u_n+v_n)} \leqslant 2[/tex]

Enfin [tex]\frac{(u_n+v_n)^2-8}{2(u_n+v_n)} \geqslant 0[/tex] puisque numérateur et dénominateur ne sont pas négatifs..

Et donc[tex] U_{n+1}-V_{n+1}\geqslant 0[/tex]
Il y a probablement plus simple, mais vu le délai, je ne vois pas...

A suivre..

[EDIT]

(...) puisque numérateur et dénominateur ne sont pas négatifs..

Hélas rien ne prouve que [tex](u_n+v_n)^2-8[/tex] n'est pas négatif...
Et zut !

Dernière modification par yoshi (30-09-2018 21:13:14)


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#5 30-09-2018 20:43:49

yoshi
Modo Ferox
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Messages : 16 947

Re : exercice suites

Re,

Et elle est où la question 5 ?
Ton énoncé s'arrête à 4)...

@+

[EDIT]
Trop tard pour corriger ce soir...

Désolé !

Dernière modification par yoshi (30-09-2018 21:25:50)


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#6 01-10-2018 10:29:05

yoshi
Modo Ferox
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Messages : 16 947

Re : exercice suites

Bonjour,

Bon, je n'avais pas les idées claires hier soir...
D'abord j'avais zappé une question : la Q2.
Q2 :
$u_{n+1}-v_{n+1}=\dfrac{u_n+v_n}{2}-\dfrac{2}{\dfrac{u_n+v_n}{2}}=\dfrac{u_n+v_n}{2}-\dfrac{4}{u_n+v_n}=\dfrac{(u_n+v_n)^2-8}{2(u_n+v_n)}$

$u_{n+1}-v_{n+1}=\dfrac{(u_n+v_n)^2-8}{2(u_n+v_n)}=\dfrac{u_n^2+v_n^2+2u_n.v_n-8}{2(u_n+v_n)}$

Mais $u_n.v_n=$ donc $8= 4\times 2 =4u_n.v_n$

Donc :
$u_{n+1}-v_{n+1}=\dfrac{(u_n+v_n)^2-8}{2(u_n+v_n)}=\dfrac{u_n^2+v_n^2+2u_n.v_n-8}{2(u_n+v_n)}=\dfrac{u_n^2+v_n^2+2u_n.v_n-4u_n.v_n}{2(u_n+v_n)}=\dfrac{u_n^2+v_n^2-2u_n.v_n}{2(u_n+v_n)}$

$u_{n+1}-v_{n+1}=\dfrac{(u_n-v_n)^2}{2(u_n+v_n)}$


Q3.
On vérifie que [tex]u_n\geqslant v_n[/tex] pour des valeurs simples

On suppose que [tex]u_n\geqslant v_n[/tex]

On vérifie l'héritage.
[tex]u_{n+1}-V_{n+1}=\dfrac{(u_n-v_n)^2}{2(u_n+v_n)}[/tex]
[tex]2(u_n+v_n)[/tex] est strictement positif
et [tex](u_n-v_n)^2\geqslant 0[/tex]
Donc [tex] \dfrac{(u_n-v_n)^2}{2(u_n+v_n)}\geqslant 0[/tex]
Et enfin [tex]u_{n+1}-v_{n+1}\geqslant 0[/tex]  soit  enfin [tex]u_{n+1}\geqslant v_n[/tex]


Q4.
[tex]u_{n+1}-u_n =  \frac{u_n+v_n}{2}-u_n=\frac{v_n-u_n}{2}[/tex]
or [tex] u_n\geqslant v_n[/tex]  donc [tex]v_n-u_n\leqslant 0[/tex]
Et [tex]u_{n+1}-u_n \leqslant 0[/tex] ou encore [tex]u_{n+1}\leqslant u_n[/tex]

$(u_n)$ est décroissante

[tex]v_{n+1}-v_n =  \frac{2}{u_{n+1}}-\frac{2}{u_n}=\frac{2u_n-2u_{n+1}}{u_n.u_{n+1}}=\frac{2(u_n-u_{n+1})}{u_n.u_{n+1}}[/tex]

[tex]u_n\geqslant u_{n+1}[/tex] donc [tex]u_n - u_{n+1}\geqslant 0[/tex]
et
[tex]u_n.u_{n+1}>0[/tex] comme produit de 2 valeurs strictement positives.
Donc
[tex]v_{n+1}-v_n \geqslant 0[/tex]  soit [tex]v_{n+1} \geqslant v_n[/tex]... $(v_n)$ est croissante.

Reste la Q5....
Serait-ce : Montrer que [tex]\lim\limits_{n\to +\infty}\, u_n=\lim\limits_{n\to +\infty}\, v_n=\sqrt 2[/tex]  ?
Plus probablement que (un° est minorée par $(\sqrt 2)$ et $(v_n)$ majorée par $(\sqrt 2)$.

@+


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