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#1 22-09-2018 14:33:29

ASOUM2018
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DM maths somme et racines

Bonjour ,

Qui peut m'aider à résoudre ce DM?
Merci d'avance.

Dans cet exercice on veut étudier l'existence de solutions (u, v) ∈ R2 du système : ?u+v=s
  uv = p
où p et s sont deux réels donnés. On commence dans les trois premières questions par étudier le cas
particulier où s = 3 et p = 1 . Puis on traitera le cas général. 22
Cas particulier
1) Montrer que les fonctions polynômes f1 et f2, dé?nies pour tout x ∈ R par f1(x) = 2x2 − 3x + 1 et f2(x) = x2 − 3 x + 1 ont les mêmes racines. Les calculer.
22
2) Calculer la somme et le produit de ces racines. Que remarquez-vous ? On pourra comparer ces valeurs aux coe?cients de f1 et f2 ainsi qu'étudier les possibles liens avec le système (1).
3) Déterminer toutes les solutions de (1) quand s = 3 et p = 1 . 22
Cas général
On veut montrer que (u, v) ∈ R2 est solution de (1) si et seulement si u et v sont racines de la fonction f dé?nie sur R par f(x) = x2 − sx + p.
4) Soit g la fonction trinôme du second degré dé?nie sur R par g : x ?→ ax2 + bx + c. Montrer que, dans le cas où g possède des racines x1 et x2 (dans le cas d'une racine double on prendra x1 = x2), celles-ci véri?ent :  b
(2)
5) Combien de couples solution de (1), la question précédente vous permet-elle de déduire? Avez-vous prouvé que ce sont les seuls ?
6) Prouver que si (u,v) ∈ R2 est solution de (1) alors u et v sont des racines de f.
7) Donner une condition nécessaire et su?sante sur s et p pour que (1) possède au moins une solution.
Application
8) Soit r ∈ R. On cherche u et v tels que leur somme et leur produit soient égaux à r. Pour quelles valeurs de r, existent-ils des solutions u et v ? Quelles sont-elles ?
(1)
       x 1 + x 2 = − a  x 1 x 2 = c
  a
En déduire que si u et v sont racines de f alors (u, v) ∈ R2 est solution de (1).

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#2 22-09-2018 15:14:45

yoshi
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Re : DM maths somme et racines

Salut,


Je prédome que tu es en 1ere...

 x 1 + x 2 = − a  x 1 x 2 = c

???????
Ça commence mal !...

Ensuite, c'est pas mieux :

1) Montrer que les fonctions polynômes f1 et f2, dé?nies pour tout x ∈ R par f1(x) = 2x2 − 3x + 1 et f2(x) = x2 − 3 x + 1 ont les mêmes racines. Les calculer.

Racines de [tex]f_1(x)=2x^2-3x+1[/tex]     ;      [tex]f_2(x)=x^2-3x+1[/tex]
                               $\left\{\frac 1 2,\,1\right\}$          ;         $\left\{\frac{3-\sqrt 5}{2},\,\frac{3+\sqrt 5}{2}\right\}$

Ce ne sont pas les mêles.

Rectifie ton énoncé s'il te plaît et présente-nous ce que tu as déjà fait.
Dis-nous où tu bloques.

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#3 22-09-2018 16:19:26

ASOUMTA2018
Invité

Re : DM maths somme et racines

Bonjour , je suis en 1ère S.

Dans cet exercice on veut étudier l'existence de solutions (u, v) ∈ R2 du système :
  ?u+v=s
  uv = p
où p et s sont deux réels donnés. On commence dans les trois premières questions par étudier le cas
particulier où s = 3/2 et p = 1/2 .
Puis on traitera le cas général.

Cas particulier
1) Montrer que les fonctions polynômes f1 et f2, dé?finies pour tout x ∈ R par f1(x) = 2(x au carré)  − 3x + 1
et f2(x) = x2 − 3/2 x + 1/2 ont les mêmes racines. Les calculer.

2) Calculer la somme et le produit de ces racines. Que remarquez-vous ? On pourra comparer ces valeurs aux coe?cients de f1 et f2 ainsi qu'étudier les possibles liens avec le système (1).

3) Déterminer toutes les solutions de (1) quand s = 3/2 et p = 1/2 .


Cas général
On veut montrer que (u, v) ∈ R2 est solution de (1) si et seulement si u et v sont racines de la fonction f dé?finie sur R par f(x) = x2 − sx + p.

4) Soit g la fonction trinôme du second degré défi?nie sur R par g : x ?→ ax2 + bx + c. Montrer que, dans le cas où g possède des racines x1 et x2 (dans le cas d'une racine double on prendra x1 = x2), celles-ci vérifi?ent :
x 1 + x 2 = − b/a
x 1 x 2 = c/a
En déduire que si u et v sont racines de f alors (u, v) ∈ R2 est solution de (1).


5) Combien de couples solution de (1), la question précédente vous permet-elle de déduire? Avez-vous prouvé que ce sont les seuls ?
6) Prouver que si (u,v) ∈ R2 est solution de (1) alors u et v sont des racines de f.
7) Donner une condition nécessaire et suffi?sante sur s et p pour que (1) possède au moins une solution.


Application
8) Soit r ∈ R. On cherche u et v tels que leur somme et leur produit soient égaux à r. Pour quelles valeurs de r, existent-ils des solutions u et v ? Quelles sont-elles ?

Voici, j'ai modifié les erreurs.

Merci d'avance

#4 22-09-2018 16:35:12

yoshi
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Re : DM maths somme et racines

Bonjour,

ah, c'est quand même mieux...
Partie1.
Q1
$f_1(x)=2x^2-3x+1=2\left(x^2-\frac 3 2x +\frac 1 2\right)$
Donc [tex]f_1(x)=2\times f_2(x)[/tex]

Soient [tex]x_1,\;x_2[/tex] les racines de [tex]f_1(x)[/tex].
Alors [tex]2\left(x_1^2-\frac3 2 x +\frac 1 2\right) =0[/tex]
Et [tex]2\left(x_1^2-\frac3 2 x +\frac 1 2\right) =0\;\Leftrightarrow\;x_1^2-\frac 3 2 x +\frac 1 2=0\;\Leftrightarrow\;f_2(x_1)=0[/tex] :
$x_1$ est donc aussi solution de [tex]f_2(x)[/tex].
On montrerait de même que $x_2$ est aussi solution de [tex] f_2(x)[/tex]

J'ignore ce que tu as déjà appris.
Je vais le faire de 2 façons.
-->  Avec le discriminant :
$x^2-\frac 3 2 x +\frac 1 2 =0$
$\Delta =b^2-4ac = \left(-\frac 3 2\right)^2-4\times 1\times\frac 1 2=\frac 9 4 -\frac 4 2= \frac 1 4 =\left(\frac 1 2\right)^2$
Solutions :
$x_1,x_2=\dfrac{\frac 3 2\pm \frac 1 2}{2}$   Soit : [tex]\left\{\frac 1 2,1\right\}[/tex]

--> par mise sous forme canonique et factorisation :
$x^2-\frac 3 2 x +\frac 1 2 =  \left(x^2-\frac 3 2 x\right) +\frac 1 2 = \left(x-\frac 3 4\right)^2-\frac{9}{16}+\frac 1 2=\left(x-\frac 3 4\right)^2-\frac{9}{16}+\frac {8}{16}=\left(x-\frac 3 4\right)^2-\left(\frac{1}{4}\right)^2$
Factorisation
$x^2-\frac 3 2 x +\frac 1 2 = \left(x-\frac 3 4-\frac{1}{4}\right)\left(x-\frac 3 4+\frac{1}{4}\right)$
Et :
$x^2-\frac 3 2 x +\frac 1 2 = (x-1)(x-\frac{1}{2})$


J'ai fait preuve de bonne volonté et maintenant, je répète ma demande : montre-nous ce que tu as déjà fait s'il te plaît...


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#5 26-09-2018 19:30:14

leo0
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Re : DM maths somme et racines

Bonsoir

Le sujet m'intéresse car mon prof nous a donné un exo qui ressemble à celui-là et j'avoue ne pas avoir trop bien compris

Il y a deux fonctions polynôme de degré 2 définies par : $f_1(x) = 2x² - 3 x + 1$ et puis  $f_2(x) = x² - \frac{3}{2}x + \frac{1}{2}$

j'additionne les 2 racines : $x_1 + x_2 = \frac{1}{2} + 1 = \frac{1}{2} + \frac{2}{2} = \frac{3}{2}$

et  je fais le produit des 2 racines : $x_1 \times x_2 = \frac{1}{2} $

si je compare les valeurs obtenues avec les coefficients de $f_2(x) = x² - \frac{3}{2}x + \frac{1}{2}$

j'observe que la somme des racines est égal au coefficient de b et le produit des racines est égale au coefficient de c

donc dans $ax² + bx + c$

$b = s$
$c = p$

=> $ax² + sx + p  $

Dernière modification par leo0 (26-09-2018 20:34:33)

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#6 26-09-2018 19:46:10

yoshi
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Re : DM maths somme et racines

Salut,

1. On n'écrit pas $ax^2-bx+c$ : par convention le signe est dans b... donc écrire $ax^2+bx+c$

2. Ce n'est pas $ax^2+Sx+P$ mais $x^2-Sx+P$, regarde $f2(x)$...
    Tu verras par la suite que  $S=-\frac b a$  et que $P=\frac c a$.
     Ici tu as $S=\frac 3 2$  et  $P =\frac 1 2$
    Crois-tu que les racines de 2x^2+\frac 3 2 x +\frac 1 2$  soient 1 et  et $\frac 1 2$ Vérifie donc...

Je lirai peut-être ta réponse ce soir, mais n'y répondrai de toute façon que demain matin...


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#7 26-09-2018 20:37:22

leo0
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Re : DM maths somme et racines

Bonsoir

pour le 1. c'est rectifié
je veux bien parler de la forme générale d'un trinôme de degré  2 donc $ax² + bx + c $
j'ai du faire une erreur en tapant , just a mistake

pour le 2.
il y a eu un problème avec le latex , moi j'ai compris : Crois- tu que les racines de $ 2x² + \frac{3}{2}x + \frac{1}{2}$ soient $1$ et $\frac{1}{2}$
mais ta question vient probablement de mon erreur de frappe puisque j'ai écrit dans le précédent post  $ax² - bx + c $

ce que je voulais dire, en fait c'est plutôt :


Les racines du polynômes $x² - \frac{3}{2}x + \frac{1}{2}$ sont [tex]\left\{\frac 1 2,1\right\}[/tex]

j'additionne les 2 racines : $x_1 + x_2 = \frac{1}{2} + 1 = \frac{1}{2} + \frac{2}{2} = \frac{3}{2} $

je les multiplie : $x_1 \times x_2 = \frac{1}{2} $



je compare les valeurs obtenues avec les coefficients de $x² - \frac{3}{2}x + \frac{1}{2}$ et j'observe que $S = \frac{3}{2} $ c'est égal à la valeur absolue de $-\frac{3}{2}$ du polynôme  $f_1(x) = x² - \frac{3}{2}x + \frac{1}{2}$
et j'observe également que $\frac{1}{2}$ c'est égal au dernier coefficient de $x² - \frac{3}{2}x + \frac{1}{2}$
Voilà, c'est plutôt  ça ....

à demain

Dernière modification par leo0 (26-09-2018 21:18:38)

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#8 27-09-2018 08:35:18

yoshi
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Re : DM maths somme et racines

Salut,

Dans le cas de [tex]f_1(x)=2x^2-3x+1[/tex], les racines sont bien 1 et [tex]\frac1 2[/tex], simplement là, les coefficients b = - 3 et et c =1 ne sont pas la somme et le produit des racines...
Cela n'est vrai dans le cas de [tex]f_2(x)=x^2-\frac 3 1+\frac 1 2[/tex] que parce que, là, a = 1...

Ainsi que je l'ai dit hier soir :
* la somme S s'obtient en faisant [tex]-\frac b a[/tex] :
   a= 2, b=-3 et  [tex]-\frac b a=-\frac{-3}{2}=\frac 3 2[/tex],
* le produit P s'obtient en faisant [tex]\frac c a[/tex] :
   a=2, c= 1 et [tex]\frac c a=\frac 1 2[/tex]

Simplement, là, je traite du cas général...

Réciproquement si j'ai deux nombres a et b tels que a+b=4  et ab=-3, ils sont solutions de l'équation [tex]x^2-4x_3=0[/tex]

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#9 27-09-2018 15:27:58

leo0
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Re : DM maths somme et racines

Salut

je reprends l'exo au début , pour mieux comprendre je recopie la première question de l'énoncé
donc si j'ai bien compris :

1 - Montrer que les fonctions polynômes de degré 2 définies dans R par $f_1(x)= 2x² - 3x + 1$ et $f_2(x) = x² - \frac{3}{2}x + \frac{1}{2}$ ont les mêmes racines . Les calculer

1 - CAlculer la somme et le produit des racines. Que remarquez-vous ? On pourra comparer ces valeurs aux coefficients de $f_1(x)$ et $f_2(x)$


je fais la question 1)
deux méthodes pour calculer les racines d'un polynômes :

- le discriminant $\Delta$
- la forme canonique


$f_1(x) = 2x² - 3x + 1  = 0 $

$\Delta = b² - 4(ac) = (-3)² - 4 (2) = 9 - 8 = (1)² $


$x_1 =\frac{3 + 1}{4}$

$x_2 =\frac{3 - 1}{4} $   soit   [tex]\left\{ 1 , \frac 1 2 \right\}[/tex]




$f_2(x) = x² - \frac{3}{2}x + \frac{1}{2} = 0 $

ainsi $\Delta = b² - 4(ac) = \left(- \frac{3}{2}\right)² - 4 \times 1 \times  \frac{1}{2} = \left( \frac{1}{2}\right)² $

$x_1 = \frac{\frac{3}{2}+ \frac{1}{2}}{2} $

$x_2 = \frac{\frac{3}{2} -  \frac{1}{2}}{2} $      soit  [tex]\left\{ 1 , \frac 1 2 \right\}[/tex]

le calcul est fait, maintenant il faut démontrer l'égalité : c'est ce que demande l'énoncé ( d'accord ? )

après en avoir parlé avec mon prof ce midi, il me dit : Tu sais que une fonction polynôme  a par définition   un maximum de deux solutions
Tu as trouvé pour chacun des solutions identiques.
donc c'est démontré
après Tu peux utiliser une autre méthode , Tu peux dire $f_1(x) = 2 \times f_2(x) $

j'ai un peu de mal pour cette démonstration, j'ai mis des idées sur une feuille blanche mais au niveau de la logique je n'arrive pas à conclure
Peux-tu m'aider au niveau de la logique ?

Dernière modification par leo0 (27-09-2018 15:30:15)

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#10 27-09-2018 16:51:19

yoshi
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Re : DM maths somme et racines

RE,

Mon prof m'a dit :  tu sais que une fonction polynôme  a par définition   un maximum de deux solutions

Non, tu n'as pas tout retenu :
il a dit : tu sais qu'une fonction polynôme du 2nd degré a par définition un maximum de deux solutions

Pour la logique, je te revoie à ce que j'ai déjà écrit :

Post #2, Yoshi a écrit :

Q1
$f_1(x)=2x^2-3x+1=2\left(x^2-\frac 3 2x +\frac 1 2\right)$
Donc [tex]f_1(x)=2\times f_2(x)[/tex]

Soient [tex]x_1,\;x_2[/tex] les racines de [tex]f_1(x)[/tex].
Alors [tex]2\left(x_1^2-\frac3 2 x +\frac 1 2\right) =0[/tex]
Et [tex]2\left(x_1^2-\frac3 2 x +\frac 1 2\right) =0\;\Leftrightarrow\;x_1^2-\frac 3 2 x +\frac 1 2=0\;\Leftrightarrow\;f_2(x_1)=0[/tex] :
$x_1$ est donc aussi solution de [tex]f_2(x)[/tex].
On montrerait de même que $x_2$ est aussi solution de [tex] f_2(x)[/tex]

Qu'est-ce qui te gêne là-dedans ?

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#11 27-09-2018 19:19:35

leo0
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Re : DM maths somme et racines

Bonsoir

Voilà, j'ai essayer de refaire la démonstration en décrivant 4 étapes


étape 1 : je démontre que $f_1(x) = f_2(x)$

$f_1(x) = 2x² - 3 x + 1$ 

$f_2(x) = x² - \frac{3}{2}x + \frac{1}{2}$

$2x² - 3 x + 1 = 2 \left[x² - \frac{3}{2} + \frac{1}{2}\right] $

donc  $f_1(x) = 2 f_2(x)$


étape 2 : je démontre quand $f_1(x) = 0 $
c'est à dire qu'est ce qui fait que le polynôme de degré s'annule


étape 3 : je démontre que si $f_1(x) = 0$ alors $f_1(x) = 0 => f_2(x)=0$


étape 4 : je démontre que si j'ai $f_1(x) = 0 $ => $f_2(x) = 0$ alors ce sont bien les mêmes valeurs qui annulent les deux polynôme de degré 2
et ainsi j'ai démontré que $f_1(x)$ et $f_2(x)$ ont les mêmes racines
ces 2 polynômes ont les mêmes racines si la condition précédente est vérifiée

Dernière modification par leo0 (27-09-2018 22:06:49)

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#12 28-09-2018 08:01:11

leo0
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Re : DM maths somme et racines

J'ai une autre idée mais j'aimerais quand même savoir si ça tient debout ??




je pars de $f_2(x) = x² - \frac{3}{2}x + \frac{1}{2}$

$x² - \frac{3}{2}x + \frac{1}{2}= 0  <=> \left(x - \frac{3}{4}\right)^2 - \frac{9}{16}+ \frac{8}{16} = 0 <=> \left(x - \frac{3}{4}\right)^2  - \left( \frac{1}{4}\right)^2 <=> \left(x - \frac{1}{2}\right) \left(x - 1 \right)= 0$
$<=> \left(x - \frac{1}{2}\right) = 0 $ ou bien $\left(x - 1\right) = 0 $

ainsi l'équation $f_1(x) = 0 $ a deux solutions $x = 1$ et $x =\frac{1}{2}$



comme j'ai démontré que $f_1(x) = 2 \times f_2(x) $


et bien je peux en déduire que $f1(x) = 0$ avec $x=1$ et $x= \frac{1}{2}$

Dernière modification par leo0 (28-09-2018 08:02:49)

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#13 28-09-2018 09:12:50

yoshi
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Re : DM maths somme et racines

Re,

$x² - \frac{3}{2}x + \frac{1}{2}= 0   <=> (...) <=>  \left(x - \frac{1}{2}\right) \left(x - 1 \right)= 0$
$<=> \left(x - \frac{1}{2}\right) = 0 $ ou bien $\left(x - 1\right) = 0 $

ainsi l'équation $f_1(x) = 0 $ a deux solutions $x = 1$ et $x =\frac{1}{2}$

Il n'y a - écrite - aucune raison qui te permette le "ainsi [tex] f_1(x)[/tex]..."
Tu aurais dû écrire "ainsi [tex]f_2(x)=0[/tex] a deux solutions. Juste une faute de frappe ?
Et ensuite faire le lien entre $f_2(x)$ et $ f_1(x)$...

Quelle importance de savoir quelles sont exactement ces solutions ?
Ce que, moi, j'ai fait c'est partant de 2 solutions [tex]x_1[/tex] et [tex]x_2[/tex] de $f_1(x)=0$, par équivalences logiques montrer  que $x_1$ et $x_2$ sont aussi solutions de $f_2(x)=0$


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#14 28-09-2018 10:41:52

leo0
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Re : DM maths somme et racines

oui, encore faute de frappe, il faut vraiment que je relise avant de poster !!!

$f_2(x) = x² - \frac{3}{2}x + \frac{1}{2}$

$ x² - \frac{3}{2}x + \frac{1}{2} = 0 <=>  \left(x - \frac{3}{4}\right)² - \left(\frac{1}{4}\right)^2 <=> \left(x - \frac{1}{2}\right) \left(x - 1\right) = 0$

$<=> \left( x - \frac{1}{2}\right) = 0 $ ou bien $ \left(x - 1\right) = 0$

Ainsi
          l'équation $f_2(x) $ a deux solutions, c'est une équation produit qui a deux solutions.

maintenant je fais le lien entre $f_1(x)$ et $f_2(x)$

Si $f_1(x) = 2\times f_2(x)$ alors $f_2(x) = 0 => f_1(x) = 0 $

et les racines de $f_1(x)  $ sont les mêmes racines que celles de $f_2(x)$

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#15 28-09-2018 11:33:17

yoshi
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Re : DM maths somme et racines

Re,

T'as raison, il est demandé de les calculer...
Mais si je modifie l'énoncé ainsi :
Notons  $x_1$ et $x_2$ les racines de [tex]f_1(x)=0[/tex] montrer que ce sont aussi les racines de [tex]f_2(x)[/tex] : il devient évident de savoir qu'elles existent est suffisant et que le calcul de ces racines ne sert à rien...

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#16 28-09-2018 14:58:55

leo0
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Re : DM maths somme et racines

(c'est pas si évident que ça à démontrer ) je le refais
Notons $x_1$ et $x_2$ les racines de $f_1(x)$ et montons que ce sont les mêmes  racines de $f_2(x)$

$f_1(x) = 2x²-3x + 1$

ainsi je remplace $x$ par $x_1$ puis par $x_2$

Soit $f_1(x_1) = 2(x_1)² - 3 (x_1) + 1 = 0$

et $f_1(x_2) = 2(x_2)² - 3 (x_2) + 1 = 0$



comme $2x² -3x + 1 = 2 \left[x² - \frac{3}{2}x + \frac{1}{2}\right]$

$f_1(x_1) = 2(x_1)² - 3 (x_1) + 1  = 0 => 2 \left[(x_1)² - \frac{3}{2} (x_1) +  \frac{1}{2}\right] = 0$


et dans la parenthèse entre crochet, je reconnais l'expression de $f_2(x)$

Dernière modification par leo0 (28-09-2018 15:39:04)

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#17 28-09-2018 15:10:03

yoshi
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Re : DM maths somme et racines

Re,

Bon pour quelqu'un qui a annoncé devoir se relire, tu écris :
Soit $f_1(x_1) = (x_1)² - 3 (x_1) + 1 = 0$
Et non, c'est
$2x_1^2-3x_1+1=0$

Ensuite, si tu utilises  [tex]\Rightarrow[/tex] tu es obligé de montrer :  [tex]\Leftarrow[/tex]

Alors là :
$f_1(x_1) = (x_1)² - 3 (x_1) + 1  = 0 \quad .?.\quad  2 \left[(x_1)² - \frac{3}{2} (x_1) +  \frac{1}{2}\right] = 0$
tu écris [tex]\Rightarrow[/tex]  ou  [tex]\Leftrightarrow[/tex] et pourquoi ?

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#18 28-09-2018 15:35:55

leo0
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Re : DM maths somme et racines

ça y est !

c'est <=>

et parce que je peux le démontrer dans les 2 sens

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#19 28-09-2018 15:46:35

leo0
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Re : DM maths somme et racines

$2x_1² - 3x_1 +1 = 2 \left[x_1² -  \frac{3}{2}x_1  + \frac{1}{2}\right]$

$2 \left[x_1² -  \frac{3}{2}x_1 +  \frac{1}{2}\right] = x_1² - 3x_1 + 1 $



$2x_1² - 3x_1 + 1 = 0 <=> 2 \left[x_1² - \frac{3}{2}x_1 + \frac{1}{2}\right] = 0 $

$2\left[x_1² - \frac{3}{2}x_1 + \frac{1}{2}\right] = 0 <=> 2x_1² - 3x_1 + 1 = 0 $

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#20 28-09-2018 15:56:53

yoshi
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Re : DM maths somme et racines

Salut,


$2x_1² - 3x_1 + 1 = 0 <=> 2 \left[x_1² - \frac{3}{2}x_1 + \frac{1}{2}\right] = 0 $

$2\left[x_1² - \frac{3}{2}x_1 + \frac{1}{2}\right] = 0 <=> 2x_1² - 3x_1 + 1 = 0 $

A quoi sert ta 2e ligne ? En français ce ne serait pas loin d'un pléonasme...

@+


Arx Tarpeia Capitoli proxima...

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#21 28-09-2018 15:58:34

leo0
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Re : DM maths somme et racines

la deuxième ligne m'aide à  comprendre l'utilisation de <=>
je fais plein d'erreurs dans les copies, et là, je trouve que c'est un bon exercice pour moi

Dernière modification par leo0 (28-09-2018 16:02:03)

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