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#1 22-09-2018 14:33:29
- ASOUM2018
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DM maths somme et racines
Bonjour ,
Qui peut m'aider à résoudre ce DM?
Merci d'avance.
Dans cet exercice on veut étudier l'existence de solutions (u, v) ∈ R2 du système : ?u+v=s
uv = p
où p et s sont deux réels donnés. On commence dans les trois premières questions par étudier le cas
particulier où s = 3 et p = 1 . Puis on traitera le cas général. 22
Cas particulier
1) Montrer que les fonctions polynômes f1 et f2, dé?nies pour tout x ∈ R par f1(x) = 2x2 − 3x + 1 et f2(x) = x2 − 3 x + 1 ont les mêmes racines. Les calculer.
22
2) Calculer la somme et le produit de ces racines. Que remarquez-vous ? On pourra comparer ces valeurs aux coe?cients de f1 et f2 ainsi qu'étudier les possibles liens avec le système (1).
3) Déterminer toutes les solutions de (1) quand s = 3 et p = 1 . 22
Cas général
On veut montrer que (u, v) ∈ R2 est solution de (1) si et seulement si u et v sont racines de la fonction f dé?nie sur R par f(x) = x2 − sx + p.
4) Soit g la fonction trinôme du second degré dé?nie sur R par g : x ?→ ax2 + bx + c. Montrer que, dans le cas où g possède des racines x1 et x2 (dans le cas d'une racine double on prendra x1 = x2), celles-ci véri?ent : b
(2)
5) Combien de couples solution de (1), la question précédente vous permet-elle de déduire? Avez-vous prouvé que ce sont les seuls ?
6) Prouver que si (u,v) ∈ R2 est solution de (1) alors u et v sont des racines de f.
7) Donner une condition nécessaire et su?sante sur s et p pour que (1) possède au moins une solution.
Application
8) Soit r ∈ R. On cherche u et v tels que leur somme et leur produit soient égaux à r. Pour quelles valeurs de r, existent-ils des solutions u et v ? Quelles sont-elles ?
(1)
x 1 + x 2 = − a x 1 x 2 = c
a
En déduire que si u et v sont racines de f alors (u, v) ∈ R2 est solution de (1).
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#2 22-09-2018 15:14:45
- yoshi
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Re : DM maths somme et racines
Salut,
Je prédome que tu es en 1ere...
x 1 + x 2 = − a x 1 x 2 = c
???????
Ça commence mal !...
Ensuite, c'est pas mieux :
1) Montrer que les fonctions polynômes f1 et f2, dé?nies pour tout x ∈ R par f1(x) = 2x2 − 3x + 1 et f2(x) = x2 − 3 x + 1 ont les mêmes racines. Les calculer.
Racines de [tex]f_1(x)=2x^2-3x+1[/tex] ; [tex]f_2(x)=x^2-3x+1[/tex]
$\left\{\frac 1 2,\,1\right\}$ ; $\left\{\frac{3-\sqrt 5}{2},\,\frac{3+\sqrt 5}{2}\right\}$
Ce ne sont pas les mêles.
Rectifie ton énoncé s'il te plaît et présente-nous ce que tu as déjà fait.
Dis-nous où tu bloques.
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#3 22-09-2018 16:19:26
- ASOUMTA2018
- Invité
Re : DM maths somme et racines
Bonjour , je suis en 1ère S.
Dans cet exercice on veut étudier l'existence de solutions (u, v) ∈ R2 du système :
?u+v=s
uv = p
où p et s sont deux réels donnés. On commence dans les trois premières questions par étudier le cas
particulier où s = 3/2 et p = 1/2 .
Puis on traitera le cas général.
Cas particulier
1) Montrer que les fonctions polynômes f1 et f2, dé?finies pour tout x ∈ R par f1(x) = 2(x au carré) − 3x + 1
et f2(x) = x2 − 3/2 x + 1/2 ont les mêmes racines. Les calculer.
2) Calculer la somme et le produit de ces racines. Que remarquez-vous ? On pourra comparer ces valeurs aux coe?cients de f1 et f2 ainsi qu'étudier les possibles liens avec le système (1).
3) Déterminer toutes les solutions de (1) quand s = 3/2 et p = 1/2 .
Cas général
On veut montrer que (u, v) ∈ R2 est solution de (1) si et seulement si u et v sont racines de la fonction f dé?finie sur R par f(x) = x2 − sx + p.
4) Soit g la fonction trinôme du second degré défi?nie sur R par g : x ?→ ax2 + bx + c. Montrer que, dans le cas où g possède des racines x1 et x2 (dans le cas d'une racine double on prendra x1 = x2), celles-ci vérifi?ent :
x 1 + x 2 = − b/a
x 1 x 2 = c/a
En déduire que si u et v sont racines de f alors (u, v) ∈ R2 est solution de (1).
5) Combien de couples solution de (1), la question précédente vous permet-elle de déduire? Avez-vous prouvé que ce sont les seuls ?
6) Prouver que si (u,v) ∈ R2 est solution de (1) alors u et v sont des racines de f.
7) Donner une condition nécessaire et suffi?sante sur s et p pour que (1) possède au moins une solution.
Application
8) Soit r ∈ R. On cherche u et v tels que leur somme et leur produit soient égaux à r. Pour quelles valeurs de r, existent-ils des solutions u et v ? Quelles sont-elles ?
Voici, j'ai modifié les erreurs.
Merci d'avance
#4 22-09-2018 16:35:12
- yoshi
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Re : DM maths somme et racines
Bonjour,
ah, c'est quand même mieux...
Partie1.
Q1
$f_1(x)=2x^2-3x+1=2\left(x^2-\frac 3 2x +\frac 1 2\right)$
Donc [tex]f_1(x)=2\times f_2(x)[/tex]
Soient [tex]x_1,\;x_2[/tex] les racines de [tex]f_1(x)[/tex].
Alors [tex]2\left(x_1^2-\frac3 2 x +\frac 1 2\right) =0[/tex]
Et [tex]2\left(x_1^2-\frac3 2 x +\frac 1 2\right) =0\;\Leftrightarrow\;x_1^2-\frac 3 2 x +\frac 1 2=0\;\Leftrightarrow\;f_2(x_1)=0[/tex] :
$x_1$ est donc aussi solution de [tex]f_2(x)[/tex].
On montrerait de même que $x_2$ est aussi solution de [tex] f_2(x)[/tex]
J'ignore ce que tu as déjà appris.
Je vais le faire de 2 façons.
--> Avec le discriminant :
$x^2-\frac 3 2 x +\frac 1 2 =0$
$\Delta =b^2-4ac = \left(-\frac 3 2\right)^2-4\times 1\times\frac 1 2=\frac 9 4 -\frac 4 2= \frac 1 4 =\left(\frac 1 2\right)^2$
Solutions :
$x_1,x_2=\dfrac{\frac 3 2\pm \frac 1 2}{2}$ Soit : [tex]\left\{\frac 1 2,1\right\}[/tex]
--> par mise sous forme canonique et factorisation :
$x^2-\frac 3 2 x +\frac 1 2 = \left(x^2-\frac 3 2 x\right) +\frac 1 2 = \left(x-\frac 3 4\right)^2-\frac{9}{16}+\frac 1 2=\left(x-\frac 3 4\right)^2-\frac{9}{16}+\frac {8}{16}=\left(x-\frac 3 4\right)^2-\left(\frac{1}{4}\right)^2$
Factorisation
$x^2-\frac 3 2 x +\frac 1 2 = \left(x-\frac 3 4-\frac{1}{4}\right)\left(x-\frac 3 4+\frac{1}{4}\right)$
Et :
$x^2-\frac 3 2 x +\frac 1 2 = (x-1)(x-\frac{1}{2})$
J'ai fait preuve de bonne volonté et maintenant, je répète ma demande : montre-nous ce que tu as déjà fait s'il te plaît...
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#5 26-09-2018 19:30:14
- leo0
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Re : DM maths somme et racines
Bonsoir
Le sujet m'intéresse car mon prof nous a donné un exo qui ressemble à celui-là et j'avoue ne pas avoir trop bien compris
Il y a deux fonctions polynôme de degré 2 définies par : $f_1(x) = 2x² - 3 x + 1$ et puis $f_2(x) = x² - \frac{3}{2}x + \frac{1}{2}$
j'additionne les 2 racines : $x_1 + x_2 = \frac{1}{2} + 1 = \frac{1}{2} + \frac{2}{2} = \frac{3}{2}$
et je fais le produit des 2 racines : $x_1 \times x_2 = \frac{1}{2} $
si je compare les valeurs obtenues avec les coefficients de $f_2(x) = x² - \frac{3}{2}x + \frac{1}{2}$
j'observe que la somme des racines est égal au coefficient de b et le produit des racines est égale au coefficient de c
donc dans $ax² + bx + c$
$b = s$
$c = p$
=> $ax² + sx + p $
Dernière modification par leo0 (26-09-2018 20:34:33)
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#6 26-09-2018 19:46:10
- yoshi
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Re : DM maths somme et racines
Salut,
1. On n'écrit pas $ax^2-bx+c$ : par convention le signe est dans b... donc écrire $ax^2+bx+c$
2. Ce n'est pas $ax^2+Sx+P$ mais $x^2-Sx+P$, regarde $f2(x)$...
Tu verras par la suite que $S=-\frac b a$ et que $P=\frac c a$.
Ici tu as $S=\frac 3 2$ et $P =\frac 1 2$
Crois-tu que les racines de 2x^2+\frac 3 2 x +\frac 1 2$ soient 1 et et $\frac 1 2$ Vérifie donc...
Je lirai peut-être ta réponse ce soir, mais n'y répondrai de toute façon que demain matin...
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#7 26-09-2018 20:37:22
- leo0
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Re : DM maths somme et racines
Bonsoir
pour le 1. c'est rectifié
je veux bien parler de la forme générale d'un trinôme de degré 2 donc $ax² + bx + c $
j'ai du faire une erreur en tapant , just a mistake
pour le 2.
il y a eu un problème avec le latex , moi j'ai compris : Crois- tu que les racines de $ 2x² + \frac{3}{2}x + \frac{1}{2}$ soient $1$ et $\frac{1}{2}$
mais ta question vient probablement de mon erreur de frappe puisque j'ai écrit dans le précédent post $ax² - bx + c $
ce que je voulais dire, en fait c'est plutôt :
Les racines du polynômes $x² - \frac{3}{2}x + \frac{1}{2}$ sont [tex]\left\{\frac 1 2,1\right\}[/tex]
j'additionne les 2 racines : $x_1 + x_2 = \frac{1}{2} + 1 = \frac{1}{2} + \frac{2}{2} = \frac{3}{2} $
je les multiplie : $x_1 \times x_2 = \frac{1}{2} $
je compare les valeurs obtenues avec les coefficients de $x² - \frac{3}{2}x + \frac{1}{2}$ et j'observe que $S = \frac{3}{2} $ c'est égal à la valeur absolue de $-\frac{3}{2}$ du polynôme $f_1(x) = x² - \frac{3}{2}x + \frac{1}{2}$
et j'observe également que $\frac{1}{2}$ c'est égal au dernier coefficient de $x² - \frac{3}{2}x + \frac{1}{2}$
Voilà, c'est plutôt ça ....
à demain
Dernière modification par leo0 (26-09-2018 21:18:38)
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#8 27-09-2018 08:35:18
- yoshi
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Re : DM maths somme et racines
Salut,
Dans le cas de [tex]f_1(x)=2x^2-3x+1[/tex], les racines sont bien 1 et [tex]\frac1 2[/tex], simplement là, les coefficients b = - 3 et et c =1 ne sont pas la somme et le produit des racines...
Cela n'est vrai dans le cas de [tex]f_2(x)=x^2-\frac 3 1+\frac 1 2[/tex] que parce que, là, a = 1...
Ainsi que je l'ai dit hier soir :
* la somme S s'obtient en faisant [tex]-\frac b a[/tex] :
a= 2, b=-3 et [tex]-\frac b a=-\frac{-3}{2}=\frac 3 2[/tex],
* le produit P s'obtient en faisant [tex]\frac c a[/tex] :
a=2, c= 1 et [tex]\frac c a=\frac 1 2[/tex]
Simplement, là, je traite du cas général...
Réciproquement si j'ai deux nombres a et b tels que a+b=4 et ab=-3, ils sont solutions de l'équation [tex]x^2-4x_3=0[/tex]
@+
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#9 27-09-2018 15:27:58
- leo0
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Re : DM maths somme et racines
Salut
je reprends l'exo au début , pour mieux comprendre je recopie la première question de l'énoncé
donc si j'ai bien compris :
1 - Montrer que les fonctions polynômes de degré 2 définies dans R par $f_1(x)= 2x² - 3x + 1$ et $f_2(x) = x² - \frac{3}{2}x + \frac{1}{2}$ ont les mêmes racines . Les calculer
1 - CAlculer la somme et le produit des racines. Que remarquez-vous ? On pourra comparer ces valeurs aux coefficients de $f_1(x)$ et $f_2(x)$
je fais la question 1)
deux méthodes pour calculer les racines d'un polynômes :
- le discriminant $\Delta$
- la forme canonique
$f_1(x) = 2x² - 3x + 1 = 0 $
$\Delta = b² - 4(ac) = (-3)² - 4 (2) = 9 - 8 = (1)² $
$x_1 =\frac{3 + 1}{4}$
$x_2 =\frac{3 - 1}{4} $ soit [tex]\left\{ 1 , \frac 1 2 \right\}[/tex]
$f_2(x) = x² - \frac{3}{2}x + \frac{1}{2} = 0 $
ainsi $\Delta = b² - 4(ac) = \left(- \frac{3}{2}\right)² - 4 \times 1 \times \frac{1}{2} = \left( \frac{1}{2}\right)² $
$x_1 = \frac{\frac{3}{2}+ \frac{1}{2}}{2} $
$x_2 = \frac{\frac{3}{2} - \frac{1}{2}}{2} $ soit [tex]\left\{ 1 , \frac 1 2 \right\}[/tex]
le calcul est fait, maintenant il faut démontrer l'égalité : c'est ce que demande l'énoncé ( d'accord ? )
après en avoir parlé avec mon prof ce midi, il me dit : Tu sais que une fonction polynôme a par définition un maximum de deux solutions
Tu as trouvé pour chacun des solutions identiques.
donc c'est démontré
après Tu peux utiliser une autre méthode , Tu peux dire $f_1(x) = 2 \times f_2(x) $
j'ai un peu de mal pour cette démonstration, j'ai mis des idées sur une feuille blanche mais au niveau de la logique je n'arrive pas à conclure
Peux-tu m'aider au niveau de la logique ?
Dernière modification par leo0 (27-09-2018 15:30:15)
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#10 27-09-2018 16:51:19
- yoshi
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Re : DM maths somme et racines
RE,
Mon prof m'a dit : tu sais que une fonction polynôme a par définition un maximum de deux solutions
Non, tu n'as pas tout retenu :
il a dit : tu sais qu'une fonction polynôme du 2nd degré a par définition un maximum de deux solutions
Pour la logique, je te revoie à ce que j'ai déjà écrit :
Q1
$f_1(x)=2x^2-3x+1=2\left(x^2-\frac 3 2x +\frac 1 2\right)$
Donc [tex]f_1(x)=2\times f_2(x)[/tex]Soient [tex]x_1,\;x_2[/tex] les racines de [tex]f_1(x)[/tex].
Alors [tex]2\left(x_1^2-\frac3 2 x +\frac 1 2\right) =0[/tex]
Et [tex]2\left(x_1^2-\frac3 2 x +\frac 1 2\right) =0\;\Leftrightarrow\;x_1^2-\frac 3 2 x +\frac 1 2=0\;\Leftrightarrow\;f_2(x_1)=0[/tex] :
$x_1$ est donc aussi solution de [tex]f_2(x)[/tex].
On montrerait de même que $x_2$ est aussi solution de [tex] f_2(x)[/tex]
Qu'est-ce qui te gêne là-dedans ?
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#11 27-09-2018 19:19:35
- leo0
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Re : DM maths somme et racines
Bonsoir
Voilà, j'ai essayer de refaire la démonstration en décrivant 4 étapes
étape 1 : je démontre que $f_1(x) = f_2(x)$
$f_1(x) = 2x² - 3 x + 1$
$f_2(x) = x² - \frac{3}{2}x + \frac{1}{2}$
$2x² - 3 x + 1 = 2 \left[x² - \frac{3}{2} + \frac{1}{2}\right] $
donc $f_1(x) = 2 f_2(x)$
étape 2 : je démontre quand $f_1(x) = 0 $
c'est à dire qu'est ce qui fait que le polynôme de degré s'annule
étape 3 : je démontre que si $f_1(x) = 0$ alors $f_1(x) = 0 => f_2(x)=0$
étape 4 : je démontre que si j'ai $f_1(x) = 0 $ => $f_2(x) = 0$ alors ce sont bien les mêmes valeurs qui annulent les deux polynôme de degré 2
et ainsi j'ai démontré que $f_1(x)$ et $f_2(x)$ ont les mêmes racines
ces 2 polynômes ont les mêmes racines si la condition précédente est vérifiée
Dernière modification par leo0 (27-09-2018 22:06:49)
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#12 28-09-2018 08:01:11
- leo0
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Re : DM maths somme et racines
J'ai une autre idée mais j'aimerais quand même savoir si ça tient debout ??
je pars de $f_2(x) = x² - \frac{3}{2}x + \frac{1}{2}$
$x² - \frac{3}{2}x + \frac{1}{2}= 0 <=> \left(x - \frac{3}{4}\right)^2 - \frac{9}{16}+ \frac{8}{16} = 0 <=> \left(x - \frac{3}{4}\right)^2 - \left( \frac{1}{4}\right)^2 <=> \left(x - \frac{1}{2}\right) \left(x - 1 \right)= 0$
$<=> \left(x - \frac{1}{2}\right) = 0 $ ou bien $\left(x - 1\right) = 0 $
ainsi l'équation $f_1(x) = 0 $ a deux solutions $x = 1$ et $x =\frac{1}{2}$
comme j'ai démontré que $f_1(x) = 2 \times f_2(x) $
et bien je peux en déduire que $f1(x) = 0$ avec $x=1$ et $x= \frac{1}{2}$
Dernière modification par leo0 (28-09-2018 08:02:49)
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#13 28-09-2018 09:12:50
- yoshi
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Re : DM maths somme et racines
Re,
$x² - \frac{3}{2}x + \frac{1}{2}= 0 <=> (...) <=> \left(x - \frac{1}{2}\right) \left(x - 1 \right)= 0$
$<=> \left(x - \frac{1}{2}\right) = 0 $ ou bien $\left(x - 1\right) = 0 $ainsi l'équation $f_1(x) = 0 $ a deux solutions $x = 1$ et $x =\frac{1}{2}$
Il n'y a - écrite - aucune raison qui te permette le "ainsi [tex] f_1(x)[/tex]..."
Tu aurais dû écrire "ainsi [tex]f_2(x)=0[/tex] a deux solutions. Juste une faute de frappe ?
Et ensuite faire le lien entre $f_2(x)$ et $ f_1(x)$...
Quelle importance de savoir quelles sont exactement ces solutions ?
Ce que, moi, j'ai fait c'est partant de 2 solutions [tex]x_1[/tex] et [tex]x_2[/tex] de $f_1(x)=0$, par équivalences logiques montrer que $x_1$ et $x_2$ sont aussi solutions de $f_2(x)=0$
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#14 28-09-2018 10:41:52
- leo0
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Re : DM maths somme et racines
oui, encore faute de frappe, il faut vraiment que je relise avant de poster !!!
$f_2(x) = x² - \frac{3}{2}x + \frac{1}{2}$
$ x² - \frac{3}{2}x + \frac{1}{2} = 0 <=> \left(x - \frac{3}{4}\right)² - \left(\frac{1}{4}\right)^2 <=> \left(x - \frac{1}{2}\right) \left(x - 1\right) = 0$
$<=> \left( x - \frac{1}{2}\right) = 0 $ ou bien $ \left(x - 1\right) = 0$
Ainsi
l'équation $f_2(x) $ a deux solutions, c'est une équation produit qui a deux solutions.
maintenant je fais le lien entre $f_1(x)$ et $f_2(x)$
Si $f_1(x) = 2\times f_2(x)$ alors $f_2(x) = 0 => f_1(x) = 0 $
et les racines de $f_1(x) $ sont les mêmes racines que celles de $f_2(x)$
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#15 28-09-2018 11:33:17
- yoshi
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Re : DM maths somme et racines
Re,
T'as raison, il est demandé de les calculer...
Mais si je modifie l'énoncé ainsi :
Notons $x_1$ et $x_2$ les racines de [tex]f_1(x)=0[/tex] montrer que ce sont aussi les racines de [tex]f_2(x)[/tex] : il devient évident de savoir qu'elles existent est suffisant et que le calcul de ces racines ne sert à rien...
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#16 28-09-2018 14:58:55
- leo0
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Re : DM maths somme et racines
(c'est pas si évident que ça à démontrer ) je le refais
Notons $x_1$ et $x_2$ les racines de $f_1(x)$ et montons que ce sont les mêmes racines de $f_2(x)$
$f_1(x) = 2x²-3x + 1$
ainsi je remplace $x$ par $x_1$ puis par $x_2$
Soit $f_1(x_1) = 2(x_1)² - 3 (x_1) + 1 = 0$
et $f_1(x_2) = 2(x_2)² - 3 (x_2) + 1 = 0$
comme $2x² -3x + 1 = 2 \left[x² - \frac{3}{2}x + \frac{1}{2}\right]$
$f_1(x_1) = 2(x_1)² - 3 (x_1) + 1 = 0 => 2 \left[(x_1)² - \frac{3}{2} (x_1) + \frac{1}{2}\right] = 0$
et dans la parenthèse entre crochet, je reconnais l'expression de $f_2(x)$
Dernière modification par leo0 (28-09-2018 15:39:04)
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#17 28-09-2018 15:10:03
- yoshi
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Re : DM maths somme et racines
Re,
Bon pour quelqu'un qui a annoncé devoir se relire, tu écris :
Soit $f_1(x_1) = (x_1)² - 3 (x_1) + 1 = 0$
Et non, c'est
$2x_1^2-3x_1+1=0$
Ensuite, si tu utilises [tex]\Rightarrow[/tex] tu es obligé de montrer : [tex]\Leftarrow[/tex]
Alors là :
$f_1(x_1) = (x_1)² - 3 (x_1) + 1 = 0 \quad .?.\quad 2 \left[(x_1)² - \frac{3}{2} (x_1) + \frac{1}{2}\right] = 0$
tu écris [tex]\Rightarrow[/tex] ou [tex]\Leftrightarrow[/tex] et pourquoi ?
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#18 28-09-2018 15:35:55
- leo0
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Re : DM maths somme et racines
ça y est !
c'est <=>
et parce que je peux le démontrer dans les 2 sens
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#19 28-09-2018 15:46:35
- leo0
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Re : DM maths somme et racines
$2x_1² - 3x_1 +1 = 2 \left[x_1² - \frac{3}{2}x_1 + \frac{1}{2}\right]$
$2 \left[x_1² - \frac{3}{2}x_1 + \frac{1}{2}\right] = x_1² - 3x_1 + 1 $
$2x_1² - 3x_1 + 1 = 0 <=> 2 \left[x_1² - \frac{3}{2}x_1 + \frac{1}{2}\right] = 0 $
$2\left[x_1² - \frac{3}{2}x_1 + \frac{1}{2}\right] = 0 <=> 2x_1² - 3x_1 + 1 = 0 $
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#20 28-09-2018 15:56:53
- yoshi
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Re : DM maths somme et racines
Salut,
$2x_1² - 3x_1 + 1 = 0 <=> 2 \left[x_1² - \frac{3}{2}x_1 + \frac{1}{2}\right] = 0 $
$2\left[x_1² - \frac{3}{2}x_1 + \frac{1}{2}\right] = 0 <=> 2x_1² - 3x_1 + 1 = 0 $
A quoi sert ta 2e ligne ? En français ce ne serait pas loin d'un pléonasme...
@+
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#21 28-09-2018 15:58:34
- leo0
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Re : DM maths somme et racines
la deuxième ligne m'aide à comprendre l'utilisation de <=>
je fais plein d'erreurs dans les copies, et là, je trouve que c'est un bon exercice pour moi
Dernière modification par leo0 (28-09-2018 16:02:03)
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