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#1 22-09-2018 12:49:39

leo0
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DM géométrie

Bonjour



Sur la figure ci-dessous
$H$ est le pied de la hauteur issue de $C$ dans le triangle $ABC$.
On a : $AB = 12$
$AH = 4 , BH = 8$
et $CH = 6$.

A tout point $M$ du segment $[AB]$, on associe le rectangle $MNPQ$.

on pose $AM = x$ où $x$ est un réel compris entre 0 et 4.



Pour le calcul de l'aire du rectangle, j'ai besoin de la longueur $MN$ et de la longueur $QM$.

ainsi, pour trouver la largeur $MN$ , j'ai utilisé le théorème de $Thalès$, dans le triangle $ACH$

$\frac{AM}{AH} = \frac{AN}{AC}=\frac{MN}{CH}$

je garde le premier rapport et le dernier
soit $\frac{AM}{AH}=\frac{MN}{CH}$ => $\frac{x}{4}=\frac{MN}{6}$ => $\frac{6x}{4}=MN $=> $\frac{3x}{2}= MN$


Pour trouver la longueur $QM$.

je peux facilement trouver la longueur $MH = AH - AM = (4 - x)$
$AM$ vaut $x$ et $AH$ est égal à $4$ donc $MH = AH - AM$

il me manque $QH$ pour avoir $MH + QH = QM$.

et en exprimant le théorème de Thalès dans le triangle $BCH$ ( par exemple ) j'ai $\dfrac{BQ}{BH}=\dfrac{BP}{BC}=\dfrac{QP}{HC}$
mais je n'ai pas un rapport qui me permette d'exprimer directement la longueur $QH$

Dernière modification par leo0 (22-09-2018 12:52:36)

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#2 22-09-2018 13:54:51

yoshi
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Re : DM géométrie

Bonjour leo0,

Où est ton dessin ??

Je pense l'avoir reconstitué...
J'appelle L l'intersection de [NP] et [AH]

MNPQ est un rectangle donc $MN = HL =QP=\frac  2 x$

Et [tex]CL=6-\frac 3 2 x[/tex]

Dans le tr CHB, j'ai (LP)//(HB).
Le th de Thalès permet d'écrire :
[tex]\frac{CL}{CH}=\frac{CP}{CB}=\frac{LP}{HB}[/tex]

Du 1er et dernier rapport, on tire :

[tex]\dfrac{6-\frac 3 2 x}{6}=\dfrac{LP}{8}[/tex]

Et LHQP étant aussi un rectangle, HQ=LP...

@+.


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#3 22-09-2018 14:48:39

leo0
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Re : DM géométrie

Bonjour Yoshi

je viens de voir ton message, j'ai peut être mal recopié l'énoncé : il faut partir d'un triangle $ABC$ , $H$ est le pied de la hauteur issue de $C$
$AB = 12, AH = 4$ et $HB = 8$

puis $M$ est un point du segment $[AH]$ donc entre $0$ et $4$, $M$ est mobile et se déplace entre $0$ et $4$, il ne peut aller au delà.


Pour la construction, j'ai suivi cet ordre :
J'ai placé un point mobile $M$ sur le segment $[AM]$ tel que $M\in [0;4]$

j'ai construit la perpendiculaire à $(AB)$ passant par le point $M$ et le point d'intersection $N $  de cette droite avec $[AC]$

puis la perpendiculaire à $(MN)$ passant par $N$ et le point d"intersection $P$ de cette droite avec $[CB]$.

180922035933831071.png

Dernière modification par leo0 (22-09-2018 14:59:12)

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#4 22-09-2018 14:52:20

yoshi
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Re : DM géométrie

Re,

Je pense l'avoir reconstitué...
J'appelle L l'intersection de [NP] et [AH]

MNPQ est un rectangle donc $MN = HL =QP=\frac  3 2 x$

Et $CL=6−\frac 3 2x$

Dans le tr CHB j'ai (LP)//(HB).
Le th de Thalès permet d'écrire :
[tex]\frac{CL}{CH}=\frac{CP}{CB}=\frac{LP}{HB}[/tex]

Du 1er et dernier rapport, on tire :
[tex]\dfrac{6-\frac 3 2 x}{6}=\dfrac{LP}{8}[/tex]

Et LHQP étant aussi un rectangle, HQ=LP...

J'avais bien deviné...

@+


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#5 22-09-2018 15:01:11

leo0
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Re : DM géométrie

[NP] et [AH] sont parallèles , il ne peut y avoir d'intersection, je vois pas ce que tu m'expliques .....

Dernière modification par leo0 (22-09-2018 15:22:24)

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#6 22-09-2018 15:17:45

yoshi
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Re : DM géométrie

Re,

Désolé, pas [AH], mais [CH]...

Pas doué pour les devinettes ?

@+


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#7 22-09-2018 15:24:36

leo0
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Re : DM géométrie

en disant le triangle ABC
et H est le pied de la  hauteur issue de C dans le triangle ABC
dans ma tête, j'avais mis le sommet en C

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#8 22-09-2018 19:29:42

leo0
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Re : DM géométrie

180922081854810438.png

$AM = 12, AH = 4$ et $HB = 8$

on pose $AM = x$


Pour calculer l'aire du rectangle $MNPQ$

je peux avoir la largeur $MN$ en exprimant le théorème de Thalès dans le triangle $ACH$

j'utilise le premier et le deuxième rapport

$\frac{AM}{AH} = \frac{MN}{CH} $ => $ \frac{x}{4} = \frac{MN}{6} $ => $MN = \frac{x}{4} \times \frac{1}{6}$

Pour la longueur du rectangle $MNPQ$
La longueur $QM$ est constituée des longueurs $QH$ et $HM$ , je peux trouver facilement la longueur  $HM$
car l'énoncé me donne $HA = 4$ et $MA = x$ ainsi $HM = HA - MA = (4 - x)$.

maintenant je dois trouver la longueur $QH$ pour avoir $QH + HM = QM$.

et en exprimant le théorème de Thalès dans le triangle $BHC$ , j'ai : $ \frac{BQ}{BH} = \frac{BP}{BC}= \frac{QP}{CH} $
et aucun de ces rapports me donne directement la longueur $QH$ .

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#9 22-09-2018 19:48:18

yoshi
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Re : DM géométrie

Re,

J'appelle L l'intersection de [NP] et [CH]   <--- c'est rectifié
MNPQ est un rectangle donc $MN = HL =QP=\frac  3 2 x$

Et $CL=6−\frac 3 2x$

Dans le tr CHB, j'ai (LP)//(HB).
Le th de Thalès permet d'écrire :
[tex]\frac{CL}{CH}=\frac{CP}{CB}=\frac{LP}{HB}[/tex]

Du 1er et dernier rapport, on tire :
[tex]\dfrac{6-\frac 3 2 x}{6}=\dfrac{LP}{8}[/tex]

Et LHQP étant aussi un rectangle, HQ=LP...

Si ce que je t'avais proposé ne t'avais pas satisfait, fallait le dire !!
Pourtant ça marche !

@+


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#10 22-09-2018 19:55:15

leo0
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Re : DM géométrie

Bonsoir Yoshi

J'ai passé l'après-midi à essayer de comprendre, rien à  faire ...
je comprends pas du tout, je vais encore chercher

je vois un peu, mais le prof a demandé que ce soit exprimé par rapport au segment [AB]
et je vois pas comment obtenir $QH$ dans le triangle $BCH$.

Dernière modification par leo0 (22-09-2018 20:07:36)

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#11 22-09-2018 20:32:53

yoshi
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Re : DM géométrie

M'enfin, cré bon sang !

MNPQ est un rectangle : MN= PQ  et NP = MQ.
Je rajoute un point L  à l'intersection de [CH] et de [NP].
Ce qui fait que le quadrilatère HLPQ est aussi un rectangle et qu'il est tout entier compris dans le triangle BCH et que notamment
QH = PL, qui est la clé. Je suis bien dans le tr BCH !!!
Je calcule donc PL avec Thalès et j'obtiendrais ainsi QH qui lui est égal.
Tu as calculé [tex]MN =\frac 3 2 x[/tex]  et bien [tex]HL = MN= \frac 3 2 x[/tex]
J'ai besoin de CL.
[tex]CL = CH - HL = 6 - \frac 3 2 x[/tex]
Après, c'est Thalès dans le tr CBH...

[tex]QH=PL =8-2x[/tex] Et [tex] MQ = 12 - 3x[/tex]

J'ai refait tous les calculs avec x =1  et x =2 pour vérifier mes formules : elle sont exactes...

En ne te servant strictement que du triangle CBH, tu peux trouver CB = 10, c'est tout
Mais tu vois bien que QH dépend de $x$ et $ x$ c'est AM qui est dans le triangle ACH...
Il faut bien que tu arrives à utiliser $x$ dans le triangle BCH : le seul moyen est d'utiliser CH qui est commun aux deux triangles, d'où l'idée du point d'intersection de [NP] et [CH]...

Qu'est-ce tu veux plus ?
Si tu ergotes encore, fournis donc la copie de l'énoncé qu'on t'a donné... et pas une interprétation de l'énoncé, mais le texte exact à la virgule près...

@+


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#12 22-09-2018 21:48:10

yoshi
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Re : DM géométrie

Bonsoir,

Je viens de me relever et de rallumer ma bécane parce que je me disais : pourquoi faire comme lui ? Trouvons-lui autre chose...
Et j'ai eu une autre idée... sans Thalès. Mais tu pourras constater qu'avec Thalès, je trouve la même chose...
Allons-y !
Dans le triangle CHB rectangle en H
$\tan\widehat C=\frac{CH}{HB}=\frac 6 8 =\frac 3 4$

Donc, dans le triangle QBP rectangle en Q :
$\tan \widehat C =\frac{QP}{QB}=\frac 3 4$
Or [tex]QP=MN=\frac 3 2 x[/tex]
J'en déduis :
$\dfrac{\frac 3 2 x}{QB}=\frac 3 4$

et
$QB=\dfrac{\frac 3 2 x}{\frac 3 4} = 2x$
Donc
[tex]MQ=AB-(AM+QB)= 12 -(x+2x)= 12-3x[/tex]

Ton histoire d'utiliser AB, c'est écrit dans l'énoncé ?
Si oui, pourquoi n'as-tu pas donné l'énoncé exact ?
Si non, on ne peut pas - oralement - t'imposer une méthode (p'têt que ton prof n'a pas pensé à Thalès, après tout, qui sait ?)...

@+


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#13 23-09-2018 06:53:47

yoshi
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Re : DM géométrie

Bonjour,


J'avais tort...
Mon lit me porte conseil : 1/4 h après avoir éteint de nouveau ma machine, j'ai encore trouvé autre chose (en mieux).
Mais je n'ai pas voulu me relever...
Thalès marche aussi sans utiliser de point supplémentaire, la même idée qua la tangente, sans la trigo donc. ...
Dans le triangle CBH, on a
(QP)//(HC)  et [tex]QP = \frac 3 2 x[/tex].
d'où :
[tex]\frac{BQ}{BH}=\frac{BP}{BC}=\frac{QP}{HC}[/tex]
En gardant le 1er et le dernier rapports :
[tex]\dfrac{BQ}{8}=\dfrac{\frac 3 2x}{6}[/tex]

D'où [tex]BQ=\dfrac{\frac 3 2 x \times 8}{6}=2x[/tex]
Donc
[tex]MQ=AB-(AM+QB)= 12 -(x+2x)= 12-3x[/tex]

Encore plus court !


@+


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#14 23-09-2018 11:26:38

leo0
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Re : DM géométrie

Bonjour Yoshi

non, t'avais pas tort
- - > parce que cela m'a permis de voir que l'on pouvait utiliser Thalès dans un autre triangle en créant un point supplémentaire
j'en retiens qu'il faut faire preuve d'imagination , mettre un autre point (qui n'est pas donné dans l'énoncé , par exemple )

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#15 23-09-2018 11:37:07

leo0
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Re : DM géométrie

là, j'ai compris

dans le triangle $CBH$ tu appliques Thalès ( $QP // HC$ )

ainsi : $\dfrac{BQ}{BH} = \dfrac{BP}{BC} = \dfrac{QP}{HC} $

et la longueur $QP$ c'est égal à la longueur $MN$ puisque c'est un rectangle donc les largeurs sont les mêmes et pas besoin de le démontrer , on sait que c'est un rectangle , c'est dit dans l'énoncé.

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#16 23-09-2018 12:23:19

yoshi
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Re : DM géométrie

Re,

Oui, et c'est très court et on utilise AB comme pour la méthode avec la trigo.

C'est d'ailleurs la méthode trigo (juste également) qui a fait que d'un seul coup je me suis dit : mais... ce qui a été fait avec les tangentes, ça devrait aussi pouvoir se faire sans !!!
Alors je me suis représenté le dessin mentalement, la tête dans l'oreiller, et j'ai "vu" que oui.
Et ce matin, j'ai rédigé la solution...

Donc tu as 3 façons de faire qui arrivent au même résultat, les deux dernières ne calculant pas QH...

Mais si j'avais tort en disant que mettre un point de plus, c'était la clé et qu'on ne pouvait rien faire d'autre : si !, on pouvait faire autrement, la preuve...

@+


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