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#1 21-09-2018 17:04:35

topdoc
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Limite de $\sin(x)/x$ en utilisant la definition

Bonsoir, s'il vous plait comment montrer que $$\lim_{x\to0}\frac{\sin(x)}{x}=1$$ en utilisant la definition de la limite
$$
\forall \varepsilon>0,\exists \delta>0,\forall x, |x|<\delta\Rightarrow \left|\frac{\sin(x)}{x}-1\right|<\varepsilon
$$

Merci

Dernière modification par topdoc (21-09-2018 17:56:43)

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#2 21-09-2018 17:16:37

Dattier
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Re : Limite de $\sin(x)/x$ en utilisant la definition

Bonjour,

Quelle est la dérivée du sinus en 0 ?
Comment la calculer ?

Bonne journée.


Raisonnement Exact : A est exacte si avec 10 exemples et pas de contre-exemples connus des concernés

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#3 21-09-2018 17:25:28

topdoc
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Re : Limite de $\sin(x)/x$ en utilisant la definition

la dérivée de sinus c'est le cosinus et en 0 ca fait 1, mais je ne veux pas utiliser l'hôpital

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#4 21-09-2018 17:34:27

Dattier
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Re : Limite de $\sin(x)/x$ en utilisant la definition

Je ne parle pas de l'Hôpital mais du taux de variation classique.

Quelles résultats t'autorises-tu alors ?

Dernière modification par Dattier (21-09-2018 17:35:26)


Raisonnement Exact : A est exacte si avec 10 exemples et pas de contre-exemples connus des concernés

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#5 21-09-2018 17:38:39

Dattier
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Re : Limite de $\sin(x)/x$ en utilisant la definition

tu as droit au dévéloppement en série entière de sin ?


Raisonnement Exact : A est exacte si avec 10 exemples et pas de contre-exemples connus des concernés

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#6 21-09-2018 17:39:00

topdoc
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Re : Limite de $\sin(x)/x$ en utilisant la definition

développement aux limites en 0 ?

$\sin(x)=x-\frac{x^3}{3!}+o(x^3)$

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#7 21-09-2018 17:40:06

freddy
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Re : Limite de $\sin(x)/x$ en utilisant la definition

topdoc a écrit :

Bonsoir, s'il vous plait comment montrer que $$\lim_{x\to0}\frac{\sin(x)}{x}=1$$ en utilisant la definition de la limite
$$
\forall \varepsilon>0,\exists \delta>0,\forall x, |x|<\delta\Rightarrow \left|\frac{\sin(x)}{x}\right|<\varepsilon
$$

Merci

Salut,

ta définition de la limite en 0 de sinx/x est fausse au cas d'espèce, c'est pourquoi tu ne peux pas trouver.


De la considération des obstacles vient l’échec, des moyens, la réussite.

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#8 21-09-2018 17:55:40

Dattier
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Re : Limite de $\sin(x)/x$ en utilisant la definition

topdoc a écrit :

développement aux limites en 0 ?

$\sin(x)=x-\frac{x^3}{3!}+o(x^3)$

Divise par x et étudie la limite en 0, du DL


Raisonnement Exact : A est exacte si avec 10 exemples et pas de contre-exemples connus des concernés

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#9 21-09-2018 17:57:56

topdoc
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Re : Limite de $\sin(x)/x$ en utilisant la definition

c'est 1, mais on prend quoi pour delta?

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#10 21-09-2018 19:09:03

Fred
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Re : Limite de $\sin(x)/x$ en utilisant la definition

Bonjour

  Moi non plus je ne comprends pas bien ce que tu veux faire. Si tu sais que la dérivée de sin est cos, tu peux t'en sortir en utilisant l'inégalité des accroissements finis. Si au contraire tu ne veux pas utiliser cela c'est plus compliqué ! Il y a une preuve sur la page suivante  : http://www.bibmath.net/ressources/index … tions.html

F

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#11 21-09-2018 19:12:22

topdoc
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Re : Limite de $\sin(x)/x$ en utilisant la definition

Je dois démontrer la limite en utilisant la definition, il faut trouver $\delta$

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#12 21-09-2018 21:22:26

Dattier
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Re : Limite de $\sin(x)/x$ en utilisant la definition

Ok, j'ai compris tu dois trouver une fonction $\delta(\epsilon)$ tel que...

C'est faisable, mais , dans la solution que j'ai en tête on a besoin du DSE de sin, en remarquant que le développement en zéro (|x|<1) est une série alternée, donc on peut majorer la valeur absolue du reste, par $\frac{|x|^3}{3!}$.

Dernière modification par Dattier (21-09-2018 21:46:58)


Raisonnement Exact : A est exacte si avec 10 exemples et pas de contre-exemples connus des concernés

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#13 23-09-2018 08:25:41

Wiwaxia
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Re : Limite de $\sin(x)/x$ en utilisant la definition

Bonjour,

Il y a un élément de démonstration dans ce qui suit:

en partant des inéquations (pour tout réel strictement positif)
x - x3/6 < Sin(x) < x
alors
1 - x2/6 < Sin(x)/x < 1
d'où:
0 < 1 - Sin(x)/x < x2/6

En prenant par conséquent x < δ , il vient x2/6 < δ2/6

d'où: 0 < 1 - Sin(x)/x < δ2/6

et ε = δ2/6 .

Je reconnais que l'encadrement initial est peut-être délicat à établir.

Dernière modification par Wiwaxia (23-09-2018 13:55:01)

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#14 02-10-2018 22:33:46

ade
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Re : Limite de $\sin(x)/x$ en utilisant la definition

Bonjour.  Il faut se donner un certain [tex] \varepsilon >0 [/tex] et on cherche [tex] \delta \in \mathbb{R}[/tex] telque [tex]\forall x \in \mathbb{R}, |x|< \delta \Rightarrow | \frac{sin(x)}{x}-1|< \varepsilon[/tex]

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#15 03-10-2018 06:46:43

Wiwaxia
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Re : Limite de $\sin(x)/x$ en utilisant la definition

Bonjour,

Wiwaxia a écrit :

... En prenant par conséquent x < δ , il vient x2/6 < δ2/6

d'où: 0 < 1 - Sin(x)/x < δ2/6

et ε = δ2/6 ...

Eh bien, justement, δ = (6ε)1/2 .

Pour moi cela allait sans dire, mais j'aurais dû effectivement le préciser.

Dernière modification par Wiwaxia (03-10-2018 06:47:47)

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