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#1 19-09-2018 17:49:09

taillieu
Invité

exercice suites ts 2

Bonjour voici mon énoncé : on considère la suite (Un) est définie pour tout n de IN par Uo= 1 et Un+1= Un+n+2
on se propose de déterminer l'expression de Un en fonction de n par deux méthodes
A) première méthode
1) calculer U1 U2 et U3. cette suite est-elle arithmétique ?
2) démontrer par récurrence que pour tout entier naturel n :  Un = (n²+3n +2)/2
B) deuxième méthode
1) on considère la suite définie pour tout n de IN par Vn = Un+1 - Un
a) démontrer que v est arithmétique en préciser la raison et le premier terme
b) calculer sigma avec n-1 au dessus et i= 0 de Vi= V0+V1+...Vn-1
2) a) démontrer que sigma avec n-1 au dessus et i=0 de Vi = Un - 1
b) en déduire L'expression de Un en fonction de n
voici mes réponses
A) 1) U1= 3 U2=6 et U3= 10
2) r=1 et Vo= U1-U0 = 2
B)1)a)✓
b) je n'y arrive pas
2) complétement bloquée....
merci d'avance pour vos réponses

#2 20-09-2018 13:03:01

yoshi
Modo Ferox
Inscription : 20-11-2005
Messages : 16 908

Re : exercice suites ts 2

Re,

1b) C'est bien cela que tu veux dire : $\sum\limits_{i=0}^{n-1}\,V_i$ ?
C'est la somme des termes d'une suite arithmétique : il y a une formule pour ça...
Sinon
$V_0=2$
$V1=V_0+1=3$
$V_2=V1+1 = 4$
$V_3 = 5$
...
$V_{n-1}=n$

Donc
$\sum\limits_{i=0}^{n-1}\,V_i=2+3+4+5+\cdots n$
Qui est presque la somme des n premiers nombres entiers : là aussi, il y a une formule...

Cette formule est : [tex]S = \frac{n(n+1)}{2}[/tex]
Elle se trouve comme ceci (en écrivant une fois S dans l'ordre croissant, une fois dans l'autre décroissant et en addiionnant terme ç terùe :

S   =     1  +     2     +    3   +    4     + ....  +  n
S   =     n  +  (n-1)  + (n-2) + (n-3)  +  .... +  1
--------------------------------------------------
2S = (n+1) + (n+1) + (n+1) + (n+1)  + .... + (n+1)
d
De 1 à n, i y a n termes, donc 2S = n(n+1)...

Mais là on a :
$\sum\limits_{i=0}^{n-1}\,V_i=S-1$
Parce que la somme des $V_i$ commence à 2 et non à 1 ! il y a 1 en trop...

@+


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#3 20-09-2018 13:14:49

D_john
Invité

Re : exercice suites ts 2

Salut yoshi,
Attention Vo = 2
A+

#4 20-09-2018 13:19:52

D_john
Invité

Re : exercice suites ts 2

... et V(n-1) = n+1.

#5 20-09-2018 14:03:31

yoshi
Modo Ferox
Inscription : 20-11-2005
Messages : 16 908

Re : exercice suites ts 2

Re,

Merci.
[tex]V_0=2[/tex] j'avais rectifié dans la foulée
[tex]V_{n-1}=n+1[/tex]
je l'avais oublié en route...
Donc c'est la somme des n+1 premiers nombres entiers - 1. : [tex]\dfrac{(n+1)(n+2)}{2}-1[/tex]...
Alors :
[tex]\left(\sum\limits_{i=0}^{n-1}\,V_i\right) -1=\dfrac{n^2+3n+2}{2}-1=U_n -1[/tex]

@+

Dernière modification par yoshi (20-09-2018 15:35:08)


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#6 21-09-2018 23:59:33

taillieu
Invité

Re : exercice suites ts 2

Bonsoir Yoshi, comment sais-tu que Vn+1= n+1?
et je n'ai pas compris le calcul qui précède ton alors dans ton dernier message

#7 22-09-2018 06:23:33

yoshi
Modo Ferox
Inscription : 20-11-2005
Messages : 16 908

Re : exercice suites ts 2

Bonjour,

                      Indice de V       Valeur de V
V_0 = 2                0                    2
V_1 = 3                1                    3
V_2 = 4                2                    4

Donc [tex]V_n= n+2[/tex]  (*).  Comme c'est [tex]V_{n-1}[/tex] qui nous intéresse on s'arrête à  [tex]V_{n-1}=n+1[/tex]

Ensuite,
$\sum\limits_{i=0}^{n-1}\,V_i=2+3+4+5+\cdots (n+1)$
Donc je vais écrire :
$\sum\limits_{i=0}^{n-1}\,V_i=2+3+4+5+\cdots +(n+1)=[1+2+3+4+5+\cdots +(n+1)] -1$

Parce que [tex]1+2+3+4+\cdots+(n+1)[/tex] c'est la somme des n+1 premiers nombres entiers ; or la somme des $V_i$ commence à 2, et non à 1... donc 1, de moins, donc je le soustrais à la fin...
La formule est connue pour les n premiers : $\frac{n(n+1)}{2}$(j'ai montré comment on l'établit si on ne la connaît pas par cœur)
Donc pour les n+1 premiers : $\frac{(n+1)(n+2)}{2}$
Je développe et je vois que
$\frac{(n+1)(n+2)}{2} =\frac{n^2+3n+2}{2}$  mais on sait que  $U_n=\frac{n^2+3n+2}{2}$

Donc $\sum\limits_{i=0}^{n-1}\,V_i=U_n-1$

Ca te va ?

@+

[EDIT]
(*)
Question 1a)
Ça c'est la méthode empirique.
On pourrait (et devrait) partir de :
[tex]U_n=\frac{n^2+3+3n+2}{2}[/tex]  en déduire [tex]U_{n+1}=\frac{(n+1)^2+3(n+1)+2}{2}[/tex]
D'où [tex]V_n=U_{n+1}-U_n = \frac{(n+1)^2+3(n+1)+2}{2}-\frac{n^2+3+3n+2}{2}[/tex]
ET
[tex]V_n= \frac{n^2+2n+1+3n+3+2  - n^2-3n-2}{2}=\frac{2n+4}{2}[/tex]
Soit [tex]V_n=n+2[/tex]
D'où [tex]V_{n+1}=V_n+1[/tex]

On conclut : suite arithmétique de raison 1 et de premier terme [tex]V_0=2[/tex]


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