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#1 19-09-2018 13:59:28

bezgel
Invité

Nombres complexes

Bonjour à tous, voici mon exercice, je dois le rendre samedi :
On donne l'algorithme suivant :

z est un nombre complexe
k et n sont des entiers naturels
TRAITEMENT
entrer n
z prend la valeur 1
Pour k allant de 1 à n
          z prend la valeur (racine 2 /2) + i(racine2/2)) x z
           
          Fin Pour
Afficher z


1) Que calcule cet algorithme ?
2) Programmer cet algorithme sur la calculatrice.
Qu'affiche cet algorithme pour n = 2, 4, 6.
3) Conjecturer la valeur du nombre z affiché lorsque n est pair.
Démontrer votre conjecture.

Je n'ai aucune idée, ce serait gentil de me mettre sur la voie.

Je vous remercie par avance de votre aide car j'en ai réellement besoin.

#2 19-09-2018 14:27:32

freddy
Membre chevronné
Lieu : Paris
Inscription : 27-03-2009
Messages : 7 457

Re : Nombres complexes

Salut,

c'est simple.
Au début, tu as z = 1
pour n = 1, tu transformes z = 1  en z = (racine 2 /2) + i(racine2/2))

puis pour n = 2, tu transformes z = (racine 2 /2) + i(racine2/2))  en z = (racine 2 /2) + i(racine2/2))x(racine 2 /2) + i(racine2/2))  = ... 

Tu vois mieux ?


De la considération des obstacles vient l’échec, des moyens, la réussite.

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#3 19-09-2018 14:31:01

bezgel
Invité

Re : Nombres complexes

D'accord donc ça fonctionne comme une suite par récurrence si j'ai bien compris avec le tout multiplié par Zn ?
Mais je ne vois pas ce que je peux calculer avec ça....

#4 19-09-2018 15:03:18

yoshi
Modo Ferox
Inscription : 20-11-2005
Messages : 16 907

Re : Nombres complexes

Bonjour,

[tex]\dfrac{\sqrt 2}{2}+i \dfrac{\sqrt 2}{2} = \cos\left(\dfrac{\pi}{4}\right)+i\sin\left(\frac{\pi}{4}\right)[/tex]
Ce nombre complexe a pour module 1...
Il s'écrit donc (le 1 n'est pas indispensable) : [tex]1.e^{i\dfrac{\pi}{4}}[/tex]
Tu initialises z avec z =1 soit [tex]1+i0[/tex] donc sur le cercle trigo, tu places A0 de coordonnées (1 ; 0).
Tu traces  le vecteur [tex]\overrightarrow{OA_0}[/tex] : son affixe est donc z=1.
Tu multiplies z par [tex]\cos\left(\dfrac{\pi}{4}\right)+i\sin\left(\dfrac{\pi}{4}\right)[/tex]
Tu obtiens $z_1=\cos\left(\dfrac{\pi}{4}\right)+i\sin\left(\dfrac{\pi}{4}\right)$
Tu places alors [tex]A_1\left(\cos\left(\dfrac{\pi}{4}\right)\,;\,\sin\left(\dfrac{\pi}{4}\right)\right)[/tex]
Tu constates que $A_1$ est aussi sur le cercle trigo et que [tex](\overrightarrow{OA_1},\overrightarrow{OA_0})=\dfrac{\pi}{4}[/tex]
Comment semble-t-il que l'on soit passé de A0 à A1 ?
Autrement dit quel nom porte la transformation ponctuelle f telle que [tex]A_{k+1}=f(A_k)[/tex] ?

@+

Dernière modification par yoshi (19-09-2018 15:26:36)


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#5 19-09-2018 15:22:07

bezgel
Invité

Re : Nombres complexes

merci pour votre réponse mais je n'ai encore appris les complexes avec les cercles trigo, les exponentielles et tout le tralala j'ai juste appris les nombres complexes donc comment avec ce que j'ai ?

#6 19-09-2018 15:47:47

yoshi
Modo Ferox
Inscription : 20-11-2005
Messages : 16 907

Re : Nombres complexes

Re,

Tu sais quand même passer de la forme z= a+ib à la forme $z=r(\cos \alpha+i\sin\alpha)$ ? Non ?

Tu sais que z= a+ib est l'affixe du point A(a ; b)...
Tu sais que [tex]\dfrac{\sqrt 2}{2}=\cos\frac{\pi}{4}=\sin\frac{\pi}{4}[/tex]
Tu sais ce qu'est le cercle trigonométrique...
Dans le repère associé au cercle trigo, tu dois savoir placer les points (1 ; 0), $\left(\frac{\sqrt 2}{2}\,;\,\frac{\sqrt 2}{2}\right)$, (0 ; 1)... non ?
"Trichons" un peu :
La Q2 te dit de programmer avec ta calculette, voilà ce que donne Python pour k entre 1 et 8 :, (0 ; 1) etc

Programmé en Python et retouché à la main
1  $\frac{\sqrt 2}{2}+\frac{\sqrt 2}{2}j$
0  $0+1j$
1  $-\frac{\sqrt 2}{2}+\frac{\sqrt 2}{2}j$
0  $-1+0j$
1  $-\frac{\sqrt 2}{2}-\frac{\sqrt 2}{2}j$
0  $0-1j$
1  $\frac{\sqrt 2}{2}-\frac{\sqrt 2}{2}j$
0  $1+0j$

Maintenant on répond à la Q1 : que fait donc l'Algorithme ?

@+


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#7 19-09-2018 16:01:10

bezgel
Invité

Re : Nombres complexes

D'accord oui je connais le cercle trigo et placer les différents points mais pour ce qui est de la représentation graphique de nombres complexes, nous n'avons pas abordé le sujet.
On dirait que le progarmme calcule la forme algébrique non ? Il nous sert à définir les parties imaginaires et réelles ?

#8 19-09-2018 16:25:00

yoshi
Modo Ferox
Inscription : 20-11-2005
Messages : 16 907

Re : Nombres complexes

Re,

Donc tu ne sais pas que z =a+ib est une affixe ?
Que a et b sont les coordonnées d'un point A ?

On va dire dans ce cas on part de z=1
Puis on fait [tex]1\times z = z[/tex]
Puis [tex]z\times z = z^2[/tex]
[tex]z^2\times z =z^3[/tex]...

Mais c'est très maigre...
Après tu peux voir par ex que [tex]z^{12}=z^8=Z^4=z[/tex]

@+


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#9 19-09-2018 16:30:21

bezgel
Invité

Re : Nombres complexes

D'accord ça fonctionne par récurrence, cet algorithme représente une suite de nombres complexes ?

#10 19-09-2018 17:21:23

yoshi
Modo Ferox
Inscription : 20-11-2005
Messages : 16 907

Re : Nombres complexes

Re,


Oui : $z^{0},\;z^{1},\;z^{2},\;z^{3},\;z^{4},\;z^{5},\;z^{6},\;z^{7},\;z^{8},\;z^{9} \cdots z^n$ 

Mais, j'aimerais avoir réponse à ces questions :

Donc tu ne sais pas que z =a+ib est une affixe ?
Que a et b sont les coordonnées d'un point A ?

@+


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#11 19-09-2018 17:38:27

bezgel
Invité

Re : Nombres complexes

Non je ne sais pas ce qu'est une affixe ni les coordonnées a et b d'un point A, comment puis je répondre à la question 1 ?

#12 19-09-2018 18:25:42

yoshi
Modo Ferox
Inscription : 20-11-2005
Messages : 16 907

Re : Nombres complexes

i\Salut,

Q1 : Bin, je ne vois dans ce cas guère d'autre chose à dire que cela range dans z les puissances successives de $\frac{\sqrt 2}{2}+i\frac{\sqrt 2}{2}$ et non pas les puissances de z comme je l'ai écrit...
Après la Q2
Tu programmes ta calculette ou tu dis que tu l'as fait : on ne te demande pas de tout écrire, seulement :
k=2  $0+1i 1$  soit z=i
k=4  $-1+0i$   soit z=-1
k=6  $0-1i$     soit z=-i

Lorsque k =1
z vaut $\frac{\sqrt 2}{2}+i\frac{\sqrt 2}{2}$
au tour suivant de la boucle tu remultiplies z par $\frac{\sqrt 2}{2}+i\frac{\sqrt 2}{2}$.
Là on a donc $z=\left(\frac{\sqrt 2}{2}+i\frac{\sqrt 2}{2}\right)^2$
Soit $\left(\frac{\sqrt 2}{2}\right)^2+2\times i\times\frac{\sqrt 2}{2}\times \frac{\sqrt 2}{2}+\left(i\frac{\sqrt 2}{2}\right)^2$
Soit $\frac 1 2 + i  \times \frac{2\times \sqrt 2\times \sqrt 2}{2 \times 2}- \frac 1 2= i $

Avec k =3, z prend la valeur  $z= i\times \left(\frac{\sqrt 2}{2}+i\frac{\sqrt 2}{2}\right)=-\frac{\sqrt 2}{2}+i\frac{\sqrt 2}{2}$

Avec k = 4 , z  prend la valeur  $z=\left(\frac{\sqrt 2}{2}+i\frac{\sqrt 2}{2}\right) \left(-\frac{\sqrt 2}{2}+i\frac{\sqrt 2}{2}\right)$
Là, identité remarquable : produit d'une somme par une différence = différence de 2 carrés
Soit $\left(i\frac{\sqrt 2}{2}\right)^2 - \left(\frac{\sqrt 2}{2}\right)^2=-\frac 1 2-\frac 1 2=-1$

@+


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#13 19-09-2018 18:45:29

yoshi
Modo Ferox
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Messages : 16 907

Re : Nombres complexes

Re,

Ce genre de calcul est lourd.
On va donc remarquer que [tex]\frac{\sqrt 2}{2}+i\frac{\sqrt 2}{2}=\frac{\sqrt 2}{2}(1+i)[/tex]
Donc pour k =2
[tex]z=\left(\frac{\sqrt 2}{2}\right)^2(1+i)^2=\frac 1 2 (1+2i-1)=\frac 1 2 \times 2i=i[/tex]

Pour k = 3
$z=\frac{\sqrt 2}{2}(1+i)\times i=\frac{\sqrt 2}{2}(i-1)= -\frac{\sqrt 2}{2}+i\frac{\sqrt 2}{2}$


Pour k = 4
$z= \frac{\sqrt 2}{2}(1+i)\times \frac{\sqrt 2}{2}(i-1)=\frac 1 2(-1-1)=-1$

C'est plus facile comme ça...

@+


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#14 19-09-2018 18:58:27

bezgel
Invité

Re : Nombres complexes

D'accord je pense avoir compris dans l'ensemble donc ensuite je fais la même chose avec k = 6 ?
Pour la question 3), j'ai remarqué que pour des n pair, z est égal à des imaginaires pur ou des réels, est-ce bon ?

#15 19-09-2018 19:20:10

yoshi
Modo Ferox
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Messages : 16 907

Re : Nombres complexes

B'soir,

Je n'avais pas pensé à ta proposition, mais non ce n'est pas ça, regarde
k= 2 --> z=i
k= 4 --> z=-1
k= 6  --> z=-i
k=8 --> z=1

Je vais manger et je reviens...

@+


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#16 19-09-2018 19:24:07

bezgel
Invité

Re : Nombres complexes

On passe de valeurs positives à des valeurs négatives, on retrouve les mêmes valeurs mais avec des signes différents ?

#17 19-09-2018 19:27:43

bezgel
Invité

Re : Nombres complexes

J'espère vous retrouver demain et que nous pourrons continuer car vos explications me paraissent faciles à assimiler. Malheureusement je dois partir mais je reviendrai demain, j'espère que vous pourrez m'aider. Un grand merci !!

#18 19-09-2018 19:44:29

yoshi
Modo Ferox
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Messages : 16 907

Re : Nombres complexes

Re,

Tu m'as donné une idée arrivée pendant que je mangeais :
k = 0 --> [tex]z = 1 =i^0[/tex]
k = 2 --> [tex]z=i=i^1[/tex]
k = 4 --> [tex]z=-1= i^2[/tex]
k = 6  --> [tex]z=-i= i^3[/tex]
k = 8 --> [tex]z=1 =i^4[/tex]
Compare les exposants de i avec k et tu verras pourquoi il veut les k pairs...

Alors, après il faut le prouver...
Brièvement :
entre ces différentes valeurs de k, on fait deux tours, c'est à dire qu'on a multiplié par [tex]\left(\frac{\sqrt 2}{2}\right)^2(1+i)^2[/tex] et ça, on l'a calculé, c'est i...

Bonne nuit...

@+


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#19 20-09-2018 18:43:49

bezgel
Invité

Re : Nombres complexes

D'accord on obtient les puissances de i ! c'est bon j'ai tout compris, un grand merci pour votre aide !!!

#20 20-09-2018 18:49:32

yoshi
Modo Ferox
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Messages : 16 907

Re : Nombres complexes

Attention,

Tu obtiens [tex] i^{k/2}[/tex], c'est ça qu'il faut prouver probablement par récurrence...

@+


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