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dgregory

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Valeurs d'une fonction quadratique

Bonjour,
Je cherche à résoudre le problème suivant. Pourriez-vous m'aider s'il vous plaît. On considère l'ensemble des fonctions $x \mapsto ax^2+bx+c$ ayant leurs valeurs absolues inférieures à 1 pour $\left| x \right| \leq 1.$ Il faut démontrer que  :
a) pour $a>0,$ si $\left| x \right| \geq 1$ alors $ax^2+bx+c \leq 2x^2-1$ ;
b) toutes les valeurs de la fonction $x \mapsto cx^2+bx+a$ sont inférieures à 2 en valeur absolue pour $\left| x \right| \leq 1.$
Si j'admets le résultat de la question a), c'est assez "direct" en factorisant $ax^2+bx+c$ par $x^2$ (ça fait apparaître la fonction du b) avec le changement de variable $x' = \frac{1}{x}$) et en remarquant que  $\left| x \right| \geq 1 \Leftrightarrow \left| \frac{1}{x} \right| \leq 1.$ Par contre, je bloque sur le a).

D_john

Invité

Re : Valeurs d'une fonction quadratique

Salut,

Juste pour visualiser ce qu’il est demandé de démontrer en a/...
Quelle est la parabole la plus ‘pointue’ (|y”| max) que tu puisses faire entrer dans la fenêtre x = [-1, +1] et y = ]-1, +1[ de sélection des paraboles admises ?
Toutes les paraboles admissibles seront nécessairement plus ‘ouvertes’ |(|y”| < |y”| max).
Si tu prends l’une quelconque d’entre elles, quelle condition doit-elle vérifier hors de cette fenêtre pour être admise ?
A toi de traduire en termes mathématiques...
A+

dgregory

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Re : Valeurs d'une fonction quadratique

Merci D_john. J'avais en effet remarqué ce que tu dis sur cette fenêtre ; en particulier, qu'un coefficient 2 au terme de degré 2 est trop grand pour faire rentrer une parabole dans cette fenêtre (par exemple, $2x^2-1$ sort un peu sur les bords). Mais je n'ai pas trouvé comment exploiter ça. En revanche, j'ai fini par trouver en montrant que $0 < a \leq 2$ puis en déduisant le signe de $2x^2-1-(ax^2+bx+c)$.

dgregory

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Re : Valeurs d'une fonction quadratique

Pardon je rectifie ce que j'ai écrit. En fait, a = 2 est la limite pour que la parabole rentre dans cette fenêtre.