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#1 17-08-2018 18:11:08

topdoc
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Union de connexe

Bonsoir, j'ai cet exercice
Soit $(A_i)$  une famille d'ensembles connexe qui ne sont pas disjoint (ils se coupent)
montrer qur l'union $\cup_{i\in I} A_i$ est connexe.

comment interpréter le fait qu'ils ne sont pas disjoints?

Merci

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#2 17-08-2018 20:03:01

Dattier
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Re : Union de connexe

Bonsoir,

On a $\forall i,j \in I, A_i\cap A_j\neq \emptyset$, avec les $A_i$ connexes.
Raisonne par l'absurde, que se passerait-il si l'union n'était pas connexe ?


Bonne soirée.

Dernière modification par Dattier (17-08-2018 20:03:51)


Raisonnement Exact : A est exacte si avec 10 exemples et pas de contre-exemples connus des concernés

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#3 17-08-2018 23:02:43

aviateur
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Re : Union de connexe

Bonjour
"Ils ne sont pas disjoints" ne peut-il pas être interprété comme ceci
$\forall i  \in I, \exists j\in I, i\neq j , A_i\cap A_j \neq \{\} $

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#4 17-08-2018 23:38:59

Dattier
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Re : Union de connexe

@Aviateur : oui mais dans ce cas, on aurait pas forcément connexité : prendre par exemple [-3,-2],[-2,-1],[1,2],[2,3]


Raisonnement Exact : A est exacte si avec 10 exemples et pas de contre-exemples connus des concernés

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#5 18-08-2018 15:43:39

aviateur
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Re : Union de connexe

Oui c'est exact. Il faut lire la question pour interpréter. Mais disons que l'énoncé n'est pas précis.

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#6 22-08-2018 09:35:37

topdoc
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Re : Union de connexe

Bonjour, si je suppose que $$\forall i,j\in I, A_i \cap A_j\neq \emptyset$$

et que $\bigcup A_i$ n'est pas connexe donc il existe deux ouverts B et D dans $\bigcup A_i$ non vide tel que $$ \begin{cases} \bigcup A_i= B\cup D,\\ B\cap D=\emptyset \end{cases}$$
pour tout $i\in I$  $B\cap A_i$ et $D\cap A_i$ sont ouverts dans $A_i$ et le partitionne comme il est connexe soit $B\cap A_i=\emptyset $ ou $D\cap A_i=\emptyset $ comment continuer pour trouver la contradiction s'il vous plait.

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#7 22-08-2018 13:21:13

Dattier
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Re : Union de connexe

Bonjour,

Sachant que $E=\bigcup A_i \subset B \cup D$ avec $E\cap B \neq \emptyset$ et $E\cap D \neq \emptyset$ 
1/Montre qu'il existe $i,j$ tel que $A_i \subset B$ et $A_j \subset D$
2/Déduis-en une contradiction

Bonne journée.

Dernière modification par Dattier (22-08-2018 13:21:32)


Raisonnement Exact : A est exacte si avec 10 exemples et pas de contre-exemples connus des concernés

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#8 22-08-2018 16:44:21

topdoc
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Re : Union de connexe

Salut, c'est pas bien ce que j'ai commencé a faire ?
Je suis arrivée  au fait que pour tout $i$ j'ai soit $A_i\subset B$ soit $A_i \subset D$  Pour tout $i$

comment arrivé  a une contradiction s'il vous plait? qu'est ce que je dois voir arrivé  a cette erape svp
merci

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#9 23-08-2018 12:32:43

Dattier
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Re : Union de connexe

Salut,

On a $E=\bigcup A_i \subset B \cup D$ avec $E\cap B \neq \emptyset$ et $E\cap D \neq \emptyset$, tu vois pourquoi ? 

Cordialement.


Raisonnement Exact : A est exacte si avec 10 exemples et pas de contre-exemples connus des concernés

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#10 23-08-2018 13:55:46

topdoc
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Re : Union de connexe

ici vous avez supposé  que E n'est pas connexe

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#11 23-08-2018 14:12:32

Dattier
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Re : Union de connexe

oui.


Raisonnement Exact : A est exacte si avec 10 exemples et pas de contre-exemples connus des concernés

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#12 23-08-2018 14:16:41

topdoc
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Re : Union de connexe

c'est la definition d'un sous ensemble qui n'est pas connexe

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#13 23-08-2018 14:53:24

Dattier
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Re : Union de connexe

Ok, maintenant :
1/ Montre qu'il existe $i,j \in I^2$ tel que $A_i \cap B \neq \emptyset$ et $A_j \cap D \neq \emptyset$
2/ Montre que $A_i \subset B$ et $A_j \subset D$
3/ Que dire de $A_i \cap A_j$ ? En déduire une contradiction.


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