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#1 16-08-2018 14:36:28
- Bapaye
- Invité
Problème système d'équations du second degré
Bonjours, je suis depuis un moment déjà en fasse d'un problème que je n'arrive pas à résoudre. Le problème et le suivant : "Soit a et b des nombres réels distincts tels que a²=6b+5ab et b²=6a+5ab .Quelle est la valeur de ab?
Se qui fait que l'on se retrouve avec ce système
\begin{cases} a²=6b+5ab \\ b²=6a+5ab \end{cases}
Soit :
\begin{cases} a²-6b=5ab \\ b²-6a=5ab \end{cases}
\begin{cases} ab= \frac{b²-6a}{5} \\ ab= \frac{a²-6b}{5} \end{cases}
Voilà où j'en suis bloqué donc je vous serais gré de bien vouloir m'aider ne seraisse qu'un peu pour que je puisse trouver la réponse.
Merci d'avance
#2 16-08-2018 15:55:26
- aviateur
- Membre
- Inscription : 19-02-2017
- Messages : 189
Re : Problème système d'équations du second degré
Bonjour
Si tu poses s=a+b et p=ab , en faisant la somme membre à membre des 2 égalités tu obtiens une relation entre s et P.
Si tu fais la différence tu obtiens une équation pour s donc tu trouves s.
Finalement tu remplaces s par sa valeur pour trouver p.
rep: p=6
Dernière modification par aviateur (16-08-2018 15:55:46)
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#3 17-08-2018 15:07:04
- Black Jack
- Membre
- Inscription : 15-12-2017
- Messages : 470
Re : Problème système d'équations du second degré
Salut,
Par différence des 2 équations, on a : a²-b² = 6b-6a+5ab-5ab
(a-b)(a+b)=6(b-a)
a+b = -6 (puisque a et b sont différents)
a=-6-b
Ceci remis dans la 1ere équation de départ donne :
(-6-b)² = 6b - 5(6+b).b
36+b²+12b = 6b - 30b - 5b²
6b² + 36b + 36 = 0
b² + 6b + 6 = 0
b = -3 +/- V3 ... et a = -6 + 3 -/+ V3 = -3 -/+ V3
a.b = (-3 - V3).(-3 + V3) = 9-3 = 6
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#4 17-08-2018 15:09:10
- Bapaye
- Invité
Re : Problème système d'équations du second degré
Bonjour,
Merci pour ton aide, mais je ne comprends pas se que tu veut dire en disant:
en faisant la somme membre à membre des 2 égalités
Cela signifie auditionné les 2 équations cela signifie additionné les deux équations, ou dans chaque équations, tout mettre du même côté, ou une troisième option que je ne connais pas.
Dans le premier cas j'ai a²+b²que je ne sais pas comment simplifier.
Dans le deuxième cas j'ai b²+6a ou a²+6b que je ne sais pas non plus comment simplifier.
Désolée pour ces questions mais c'est l'une des premières fois que j'ai a travaillé avec des systèmes d'équations.
Merci de prendre le temps de m'aider.
#5 17-08-2018 15:44:49
- Bapaye
- Invité
Re : Problème système d'équations du second degré
Merci Black Jack,
Pourrais tu m'expliquer pourquoi a+b=-6.
Merci pour le temps que vous prenez a m'aider.
#6 17-08-2018 18:02:44
- aviateur
- Membre
- Inscription : 19-02-2017
- Messages : 189
Re : Problème système d'équations du second degré
Bonjour Bapaye
Tu peux regarder la solution de blackjack (que je n'ai pas lu) il y a surement différentes façons équivalentes de faire.
Donc si tu additionnes membre à membre tu trouves
$$a^2+b^2= 6(a+b)+ 5 ab = 6s + 5 p$$
mais
$$a^2+ b^2=(a+b)^2-2 ab =s^2 - 2 p$$
D'où $$s^2-2 p = 6 s + 5 p $$
voici ta première relation que tu peuxx simplifier si tu veux
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#7 17-08-2018 18:19:12
- yoshi
- Modo Ferox
- Inscription : 20-11-2005
- Messages : 16 907
Re : Problème système d'équations du second degré
Salut,
@Bapaye
Pourquoi n'as-tu pas cherché ?
Si on fait ça de manière académique :
[tex](a-b)(a+b)=6(b-a)\;\Leftrightarrow\;(a-b)(a+b)-6(b-a)=0\;\Leftrightarrow\;(a-b)(a+b)+6(a-b)=0[/tex]
Factorisation :
[tex](a-b)(a+b)=6(b-a)\;\Leftrightarrow\;(a-b)[(a+b)+6]=0[/tex]
Cette équation est vérifiée si et seulement si
a-b = 0 or a [tex]\neq[/tex] b
ou
(a+b)+6 =0 ce qui équivaut à a+b = -6
@+
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