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#1 13-08-2018 19:05:25

Ghyzel Lucas
Invité

Equa. Diff

Bonjour à tous, je suis sur une équa.diff mais je n'arrive pas à comprendre comment le correcteur à pu trouver ce resultat, pouvez vous m'expliquer svp ? Merci par avance ( Ps : Je suis en BTS ELEEC).


y" −y = −6 cos x+2x sinx.

Equation homogène (Eo) = y(x) = c1ex +c2e(-x)
                   
Equation finale y(x) = y1 + y2

= c1ex +c2e(-x) + 2 cos x - x sin x

Cordialement,

Lucas Ghyzel

#2 13-08-2018 20:07:43

Wiwaxia
Membre
Lieu : Paris 75013
Inscription : 21-12-2017
Messages : 407

Re : Equa. Diff

Bonjour,

Je crois qu'il faut établir l'expression d'une solution particulière de l'équation complète (avec second membre), en partant de l'expression générale de cette solution, qui doit être de la forme:
y = (A + Bx)cos(x) + (C + Dx)sin(x) .

Il vient dans ces conditions, par application directe de la formule (uv)" = u"v + 2.u'v' + uv" :
y" = 0.cos(x) - 2B.sin(x) - (A + Bx)cos(x) + 0.sin(x) + 2D.cos(x) - (C + Dx).sin(x)
d'où:
y" - y = - 2B.sin(x) - (A + Bx)cos(x) + 2D.cos(x) - (C + Dx).sin(x) - (A + Bx)cos(x) - (C + Dx)sin(x)
soit encore:
y" - y = 2D.cos(x) - 2.(A + Bx)cos(x) - 2B.sin(x) - 2.(C + Dx)sin(x)
y" - y = 2.(D - A - Bx)cos(x) - 2.(B + C + Dx)sin(x) .

L'identification au second membre de l'équation différentielle:
y" − y = −6.cos(x) + 2x.sin(x)

impose les relations:
D - A = -3 ; B = 0 ; B + C = 0 ; D = -1
qui donnent finalement:
C = -B = 0 ; A = D + 3 = 2
d'où la solution particulière:
y = 2.cos(x) - x.sin(x) .

Dernière modification par Wiwaxia (14-08-2018 06:45:54)

Hors ligne

#3 14-08-2018 11:27:43

Lucas Ghyzel
Invité

Re : Equa. Diff

Bonjour,

Tout d'abord merci pour votre réponse.

Cependant, en reprenant vos calculs, je ne trouve pas la même chose que vous, de fait, serait t-il possible de plus détailler vos calculs (surtout sur les fonctions u et v).

Je vous remercie par avance et attends votre réponse

Cordialement,

#4 15-08-2018 08:02:46

Black Jack
Membre
Inscription : 15-12-2017
Messages : 470

Re : Equa. Diff

Salut,

Je confirme les résultats de Wiwaxia.

y = (A + Bx)cos(x) + (C + Dx)sin(x)

y' = (B+C+Dx).cos(x) + (D-A-Bx).sin(x)

y'' = (2D-A-Bx).cos(x) - (2B+C+Dx).sin(x)
***

y - y'' = (2D-2A-2Bx).cos(x) - (2B+2C+2Dx).sin(x)

y - y'' = (2D-2A)cos(x) - 2Bx.cos(x) - (2B+2C).sin(x) - 2Dx.sin(x)

A comparer à : y" −y = −6 cos(x)+2x.sin(x).

On obtient le système :

(2D-2A) = -6
2B = 0
-(2B+2C) = 0
-2D = 2

Qui résolu donne : B = C = 0 ; A = 2 et D = -1

Une solution particulière de y" −y = −6 cos(x) + 2x.sin(x) est donc : y = 2.cos(x) - x.sin(x)

Hors ligne

#5 16-08-2018 10:08:11

Lucas Ghyzel
Invité

Re : Equa. Diff

Bonjour Black Jack,

Merci beaucoup pour ces explications qui m'ont permis de bien comprendre la méthode à appliquer lors de cet exercice.

Bonne continuation à vous deux, Black Jack et Wiwaxia :)

Cordialement

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