nombres puissants

kadaide · 30-07-2018 17:18:37

Bonjour
Je viens de découvrir la notion de nombres puissants à partir du sujet bac s spé.

Wikipédia donne :
Un entier naturel N est dit puissant (powerful ou squarefull en anglais) si, pour tout diviseur premier p de N, le carré p2 divise également N.
Wikipédia donne :
Les 26 premiers termes de cette suite d'entiers (suite A001694 de l'OEIS) sont : 1, 4, 8, 9, 16, 25, 27, 32, 36,
49, 64, 72, 81, 100, 108, 121, 125, 128, 144, 169, 196, 200, 216, 225, 243, 256.

1°) Je n’ai pas compris pourquoi 1 est un nombre puissant alors qu’il n’a aucun diviseur premier ?
2°) On dit que N=a²b^(3) est un nombre puissant.
Pourquoi on ne généralise pas en disant que :
Pour n>1 et m>1, N=a^n.b^m est un nombre puissant ?

Merci d'avance pour vos réponses.

Dattier · 30-07-2018 22:05:49

Bonsoir,

kadaide a écrit :

1°) Je n’ai pas compris pourquoi 1 est un nombre puissant alors qu’il n’a aucun diviseur premier ?
2°) On dit que N=a²b^(3) est un nombre puissant.
Pourquoi on ne généralise pas en disant que :
Pour n>1 et m>1, N=a^n.b^m est un nombre puissant ?

1/ S'il n'a aucun diviseur premier, alors ses diviseurs vérifient la condition que l'on veut en particulier celle désirée.
Cela vient du fait qu'en maths, l'ensemble vide (ne contenant aucun éléments) a ses éléments qui vérifient n'importe quel propriété.
C'est un peu comme si je te disais que "tous les extraterrestres de ton palcard sont transparrents", et bien si tu n'as pas d'extraterestres dans ton placard, alors cette phrase est logiquement vrai.

2/ C'est une équivalence si N=a^2b^3 de cette forme, alors il est puissant et reciproquement.
Par contre en prenant N=a^3b^3=(a*b)^3, alors tout nombre de cette forme est puissant, mais 4 qui est puissant n'est pas de cette forme.

Bonne soirée.

Dernière modification par Dattier (30-07-2018 22:08:06)

kadaide · 31-07-2018 12:55:22

merci pour la réponse

mais 4 qui est puissant n'est pas de cette forme.

4 est de la forme:2².1^3 c'est à dire a^2b^3
J'ai vu cette écriture quelque part !

Dattier · 31-07-2018 16:09:49

kadaide a écrit :

mais 4 qui est puissant n'est pas de cette forme.
4 est de la forme:2².1^3 c'est à dire a^2b^3
J'ai vu cette écriture quelque part !

Oui, mais 4 n'est pas de la forme (a*b)^3 (c'est de celle là dont je parlais), ici on n'a pas la réciproque (comme avec la forme a^2b^3 où la réciproque est vrai)

Dernière modification par Dattier (31-07-2018 16:12:39)

kadaide · 01-08-2018 12:36:04

Oui, oui, je n'ai pas fait attention à la réciproque!
Merci pour tout.

Dattier · 01-08-2018 14:17:33

Avec plaisir.

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