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#1 28-07-2018 08:51:07

didier
Invité

limite superieur et valeur d'adhérence

Bonjour, je désire résoudre la question suivante et j'aimerai avoir votre aide:

Soit $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ une suite de $\overline{\mathbb{R}}.$ Prouver que $\limsup_n u_n$ est une valeur d'adhérence.

Alors, je vais prendre $k_n=\sup_{n \leq k }u_k,$ on a $\limsup_n=\inf_{n \in \mathbb{N}}k_n$ pour verifier qu'elle est une valeur d'adhérence il faut prouver qu'il existe une sous-suite qui converge vers $\limsup_nu_n,$ j'ai essayé d'utiliser les propriété caractéristiques du sup et de l'inf :
$\forall \epsilon>0, \exists n_0 \in \mathbb{N};\limsup_nu_n+\epsilon > \sup_{n_0 \leq k},$ mais le problème que ces propriétés ne sont valables que ci le sup et l'inf existent dans $\mathbb{R},$ par exemple si $\limsup_n=+\infty$ ces propriétés sont fausses,

Alors que faut il faire alors?

Merci d'avance

#2 09-08-2018 15:48:32

Dattier
Banni(e)
Inscription : 10-09-2017
Messages : 533
Site Web

Re : limite superieur et valeur d'adhérence

Bonjour,

Il suffit de distinguer 2 cas :

1/ $\forall n \in \mathbb N, \sup\{u_k \text{ ; } k\geq n\}=\max\{u_k \text{ ; } k\geq n \}$

2/ $\exists n\in \mathbb N, \sup\{u_k \text{ ; } k \geq n \} \notin \{u_k \text{ ; } k \geq n \} $

Essai de conclure dans chacun de ces 2 cas complémentaires.

Bonne journée.

Dernière modification par Dattier (09-08-2018 15:50:11)


Raisonnement Exact : A est exacte si avec 10 exemples et pas de contre-exemples connus des concernés

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