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#76 27-06-2018 18:14:57

yoshi
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Re : Déterminer graphiquement les variations de f(x) = x² - 4x - 3

Salut,

Ça te crève les yeux !
Encore une histoire d'observation, de comparaison et e conclusion.
J'observe bien :
* la solution de [tex]x_1+x_2+\frac b a =0[/tex]  c'est à dire [tex]x_1+x_2=-\frac b a[/tex]
* J'observe et je compare avec ce qui est attendu  : [tex]\dfrac{x_1+x_2}{2}=-\dfrac{b}{2a}[/tex]
Et je conclus que j'ai trouvé la somme des abscisses et qu'on me demande la moyenne et donc qu'il faut que je divise par 2 (les deux membres)

Moi, j'arrivais à :
[tex]a(x_1+x_2)+b=0[/tex]
[tex]\Leftrightarrow[/tex]
[tex]a(x_1+x_2)=-b[/tex]
[tex]\Leftrightarrow[/tex]
[tex]x_1+x_2=-\dfrac b a[/tex]


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#77 27-06-2018 18:26:35

leo0
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Re : Déterminer graphiquement les variations de f(x) = x² - 4x - 3

Tu as été un bon coach tout à l'heure
Vas-y, résous-là..
il y a quelque chose à voir et tu ne l'as pas vu ..

etc...
On m'a rarement encouragé comme ça ( j'ai aprécié )
Excellente soirée !!!!!

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#78 28-06-2018 08:38:07

yoshi
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Re : Déterminer graphiquement les variations de f(x) = x² - 4x - 3

Bonjour,

C'est gentil mais, il n'y avait là rien d'extraordinaire :
Vas-y, résous-là.. : bin, il y avait une équation-produit à résoudre, et tu ne te décidais pas, alors je t'ai poussé !
il y a quelque chose à voir et tu ne l'as pas vu . oui, et c'était vrai, non ?
Je maintiens que cette façon de montrer la propriété était bien moins compliquée que les deux premières démonstrations que je t'en ai données : peu de calculs (et pas compliqués...) et un peu de raisonnement dans la résolution de l'équation-produit !
J'espère que tu as quand même la sensation de progresser...

Bien, cela dit, je n'en ai pas fini avec toi, il reste ce morceau du problème en suspens :

5.  Représenter graphiquement les variations de la fonction g telle que  à tout $x$ de $\mathbb{R}$ on fait correspondre [tex]g(x)=|-x+1|[/tex]
6. Lire graphiquement les abscisse de l'intersection des deux demi-droites précédentes avec $C_f$
7. En utilisant la forme canonique obtenue au 3. retrouver algébriquement les solutions de l'équation [tex]f(x)=|-x+1|[/tex]

Voir page 1, post #1.

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#79 28-06-2018 10:53:11

leo0
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Re : Déterminer graphiquement les variations de f(x) = x² - 4x - 3

Bonjour Yoshi

Les deux cas à étudier sont
si -x + 1 < 0 c'est à dire -x +1 + (-1)< 0 + (-1) <=> -x < - 1 <=> x > 1
dans ce cas |-x+1| = -(-x +1) = x - 1
j'applique la règle si la quantité dans la valeur absolue est négative, alors  |x|=-x
ici, c'est si la quantité dans  |-x+1| est négative alors  |-x+1| = - (-x+1), c'est - entre parenthèse


si -x + 1 > 0 c'est à dire -x + 1 > 0 <=> -x + 1 + (-1) > -1 <=> -x > - 1 <=> x < 1
dans ce cas  |-x + 1| = -x + 1

|x| c'est la distance entre x et 0 , c'est x - 0
|-x + 1| c'est la distance entre -x et le point d'abscisse 1 sur un axe de graduation

Dernière modification par leo0 (28-06-2018 11:10:12)

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#80 28-06-2018 11:46:34

yoshi
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Re : Déterminer graphiquement les variations de f(x) = x² - 4x - 3

Salut,

Oui.

Les deux cas à étudier sont
si -x + 1 < 0 c'est à dire -x +1 + (-1)< 0 + (-1) <=> -x < - 1 <=> x > 1
dans ce cas |-x+1| = -(-x +1) = x - 1
j'applique la règle si la quantité dans la valeur absolue est négative, alors  |x|=-x
ici, c'est si la quantité dans  |-x+1| est négative alors  |-x+1| = - (-x+1), c'est - entre parenthèse

si -x + 1 > 0 c'est à dire -x + 1 > 0 <=> -x + 1 + (-1) > -1 <=> -x > - 1 <=> x < 1
dans ce cas  |-x + 1| = -x + 1

|x| c'est la distance entre x et 0 , c'est x - 0
|-x + 1| c'est la distance entre -x et le point d'abscisse 1 sur un axe de graduation

Mais il est largement suffisant de faire comme suit.
Deux cas sont à distinguer :
1. Cas où [tex]-x+1<0[/tex] Alors x>1.
    Et |-x+1|=-(-x+1)=x-1
    Donc pour [tex]x \in [1\,;\,+\infty[[/tex] la représentation graphique de y=|-x+1| est la demi-droite d'origine le point de coordonnées (1 ; 0)  de coefficient directeur 1 et d'ordonnée à l'origine -1...

2. etc...

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#81 29-06-2018 10:13:05

leo0
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Re : Déterminer graphiquement les variations de f(x) = x² - 4x - 3

Bonjour

pour représenter graphiquement les variations de la valeur absolue 


|a|= a si a>0
|a| = - a si a < 0

ça veut dire je regarde le nombre a à l'intérieur de  ||
je dois lire a
ou
je dois lire -a

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#82 29-06-2018 12:50:27

yoshi
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Re : Déterminer graphiquement les variations de f(x) = x² - 4x - 3

Bonjour,

La définition est sans ambiguïté :
[tex]|a]=\begin{cases}\;\;\,\, a \;\;\text{ si}\;\;\;\; a >0\\-a\;\; \text{ si }\;\;\; a <0 \end{cases}[/tex]
Une condiion est annoncée par si et se trouve après...

Si a =   2  alors |a| = a = 2
Si a = -2  alors |a| = -a = -(-2) = 2

C''est clair ?

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#83 30-06-2018 04:22:27

leo0
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Re : Déterminer graphiquement les variations de f(x) = x² - 4x - 3

Bonjour Yoshi

si j'ai
|a| < 1

si a < 0 alors  |a| < 1 <=> -a < 1 <=> a > 1

si j'ai |a|

si a <0 alors |a| =-a et a < 0 <=> -a > 0
cette dernière ligne , je comprends un peu moins

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#84 30-06-2018 06:01:54

yoshi
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Re : Déterminer graphiquement les variations de f(x) = x² - 4x - 3

Salut,

[tex]|a|<1 \;\Leftrightarrow \; -1<a<1[/tex]

Voyons cela.
Si a > 0  alors |a|=a  et donc   : 0 < a <1
Si a < 0 alors |a|=-a  : - a lui est donc  positif, alors  0 < -a < 1  et donc -1 < a < 0

Réunion des deux intervalles de solution -1 < a < 1...

1er cas : si a < 0 alors  |a| < 1 <=> -a < 1 <=> a > 1

En rouge, c'est faux.
si -a <1  alors a = -(-a)  ou encore a = -1 x (-a).
Donc pour passer de -a à  a, tu multiplies par -1, donc tu multiplies les deux membres de l'inégalité par -1, et tu dois changer l'ordre :
-a < 1 <=> a > -1. Or nous sommes dans le cas où a < 0, donc ici on a :   -1 < a < 0

Rappel:  entre deux nombres négatifs le plus grand est celui qui a la plus petite valeur absolue :
-5 < -4 < -3 < -2 <-1 < -0,8 < -0,1 < -0,01

(il fait plus "chaud" à -1°C  qu'à -5°C)

si j'ai |a| 

si a <0 alors |a| =-a et a < 0 <=> -a > 0

La valeur absolue d'un nombre négatif est toujours positive .
Si a<0, alors dans l'enveloppe étiquetée a, il y a un nombre négatif, sa valeur absolue est -a, l'opposé de a, l'opposé d'un nombre négatif est un nombre positif (tu changes juste son signe).
|-2|= opposé de -(-2) = -1 x (-2) = -(-2) 
(Changer le signe d'un nombre revient à en prendre son opposé, à le multiplier par -1).
Toutes les écritures ci dessus sont équivalentes, celle qui est la plus simple et a été retenue est :
Si a <0, |a|=-a...
-a veut dire que tu vas prendre l'opposé du nombre qui est "caché" dans l'enveloppe étiquetée a..
Si le nombre "caché" est -2, alors -(-2)=+2 = 2

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#85 30-06-2018 06:34:55

leo0
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Re : Déterminer graphiquement les variations de f(x) = x² - 4x - 3

Salut


si a < 0 alors |a| = -a
ça j'ai compris
c'est ce qui suit
dans mon cours, j'ai écrit :
si a < 0 alors |a| = -a et a < 0 <=> -a > 0

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#86 30-06-2018 06:36:56

leo0
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Re : Déterminer graphiquement les variations de f(x) = x² - 4x - 3

c'est le prof qui a écrit ça et j'ai pas trop compris

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#87 30-06-2018 07:49:05

yoshi
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Re : Déterminer graphiquement les variations de f(x) = x² - 4x - 3

Re,

Si [tex]a < 0\;\text{ alors}\; |a| = -a\;\text{ et } a < 0 \Leftrightarrow -a > 0[/tex]
Je répète - tu m'as lu ? ( Je me le demande...) - :
la notation -a veut dire opposé de a.
L'opposé de a s'obtient aussi par -1 x a...
Donc à partir de
a < 0
si je multiplie les deux membres par -1 :
-1 x a > -1 x 0 (J'ai changé l'ordre : la multiplication par un nombre négatif, ici -1, change l'ordre)
-a > 0...

Ouvre l'enveloppe étiquetée  : a négatif.
Dedans, il y a  un nombre négatif, supposons -3,5
-3,5  < 0
-1 x -3,5 = 3,5  et 3,5  > 0...
a est le nom derrière lequel se cache un nombre ; si tu veux, c'est comme un pseudo.
Derrière "Yoshi" se cache un bonhomme dont tu ne peux pas savoir, s'il est petit, grand, gros, mince, avec ou sans lunettes ou lentilles de contact, blond, brun, roux, cheveux longs ou courts, bouclés ou pas...
Tu ne pourras pas savoir tant que tu ne me verras pas, ou que je ne te le dirai pas...

Et bien, derrière a se cache un nombre positif ou négatif, entier, décimal (et combien de  chiffres après la virgule), rationnel, réel...
Tu ne peux pas le savoir, tant qu'on ne te donne pas ce nombre...
Ici, le seul renseignement qui t'importe c'est son signe...

Petit rappel au cas où : en 5e lors de l'apprentissage de la simplification d'écriture, tu as appris que +1 (par exemple) s'écrirait 1, parce que dans le cas de -1, on écrirait toujours le -...
Ainsi, dès qu'on écrit 3 (par exemple), puisque si c'était un négatif, il y aurait un -, alors  comme il n'y a en pas c'est forcément +3 et comme l'erreur n'est pas possible, il est inutile d'écrire ce + : on écrit simplement 3...
L'opposé de -3 c'est -(-3) = -1 x (-3) = +3 = 3.
ET l'opposé de 3 c'est  l'opposé de +3 c'est à dire  -(+3) = -1 x (+3) = -1 x 3 = -3.

Si on ne te donne que a (non nul), sans rien dire de plus, tu sais quand même qu'il n'y a que deux possibilités : a > 0 ou  a < 0
Tu dois donc dans la définition tenir compte des deux cas...
Dans tous les cas -a = -1 x a = opposé de a
Si je te dis a < 0, tu me dis, ok !, même si tu ne le vois pas... et tu affirmes que -a, l'opposé de a, est positif...

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#88 03-07-2018 18:42:09

leo0
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Re : Déterminer graphiquement les variations de f(x) = x² - 4x - 3

Bonsoir Yoshi,

si a < 0 alors |a|  < 1 <=> -a <1 <=> a > -1

je lis:
si a est un réel négatif alors la valeur absolue d'un réel négatif avec la condition que cette valeur absolue soit inférieure à 1
implique
je prends l'opposé de ce  réel négatif toujours avec la condition que ce soit inférieur à 1
j'ai donc -a <1

partant de l'hypothèse a < 0
a < 0  <=> -a > 0
j'ai multiplié les deux  membres de l'inégalité par (-1) et je dois changer l'ordre


-a <1 et  -a > 0 <=> 0< -a < 1

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#89 03-07-2018 19:03:40

yoshi
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Re : Déterminer graphiquement les variations de f(x) = x² - 4x - 3

Re,

Vite fait : oui...
-a <1 et  -a > 0 <=> 0< -a < 1  ou encore si je multiplie tous mes membres par -1 : [tex]-1<a<0[/tex]
Et comme dans le cas où a est  >0  alors [tex]0 < a <1[/tex]... C'est pour cette raison que j'ai écrit :
[tex]|a| < 1\; \Leftrightarrow\; -1<a<1[/tex]

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#90 04-07-2018 13:03:27

leo0
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Re : Déterminer graphiquement les variations de f(x) = x² - 4x - 3

Bonjour


Tu m'as demandé de  représenter graphiquement les variations de la fonction g(x)  = | -x + 1|
et j'ai un peu de mal pour tracer les deux demi-droites, il faut que je fasse d'abord quelque chose de plus simple.
Pour cela je vais représenter les variations de la fonction valeur absolue |a|

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#91 04-07-2018 13:22:27

leo0
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Re : Déterminer graphiquement les variations de f(x) = x² - 4x - 3

je prends un ensemble de réels de -5 à 5

je prends un négatif, je prends -5
si a < 0 alors |a| = - a
a = -5 alors |-5| = - (-5)=5

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#92 04-07-2018 13:31:59

yoshi
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Re : Déterminer graphiquement les variations de f(x) = x² - 4x - 3

Bonjour,

Oui, c'est ça !

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#93 04-07-2018 13:42:37

leo0
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Re : Déterminer graphiquement les variations de f(x) = x² - 4x - 3

donc je me donne un ensemble de réels que je prends au hasard et je fais un test pour chaque réel

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#94 04-07-2018 14:31:26

yoshi
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Re : Déterminer graphiquement les variations de f(x) = x² - 4x - 3

Bonjour,

Tu n'as pas de tests à faire, mais des calculs et un tableau de valeurs :

Pour -x+1 >0  soit pour x <1, |-x+1|=-x+1
Pour -x+1 <0  soit pour x >1, |-x+1|= x-1


      x    |   -5  -4  -3  -2  -1  0   1   2   3   4   5   6
-----------|------------------------------------------------
y = |-x+1| |                       1   0   1

Tu dois compléter ce tableau...
Cela dit, toutes ces valeurs ne sont pas nécessaires  à part x = 1 qui est l'abscisse de l'origine des deux demi-droites, deux autres valeurs de x de part et d'autre de 1 suffisent...
Pourquoi deux en plus ?
Par deux points passe toujours une seule droite, par trois c'est moins sûr...
Donc j'ai pris l'habitude de conseiller de placer trois points sur un graphique et de les joindre : en cas d'erreur, l'un d'entre eux sera en dehors de la droite et tu sauras qu'il y a erreur...

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[EDIT] Voilà un moment que j'hésite, mais je vais quand même te donner une astuce valable avec des nombres uniquement ! Si tu veux prendre la valeur absolue d'un nombre négatif, tu supprimes son signe -... Ceci n'est pas utilisable avec une expression algébrique directement.
[tex]|2x^2-7x+5| = ?[/tex] pour x = 2 :
[tex]|2\times 2^2-7\times 2+5| = |8-14+5]=|-1|=1[/tex]

Dernière modification par yoshi (05-07-2018 09:25:10)


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#95 05-07-2018 12:44:25

leo0
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Re : Déterminer graphiquement les variations de f(x) = x² - 4x - 3

Bonjour Yoshi,
Je viens de voir ton message

Si je prends la valeur absolue d'un nombre négatif, je supprime le signe-
je te dis Ok
entre les barres de valeurs absolues,( dans l'enveloppe étiquetée) il y a un nombre négatif , sa valeur absolue est -a, c'est l'opposé de a donc je change le signe ou encore je supprime le signe - puisque - (-) = +

Maintenant dans une expression algébrique
tant que je n'ai pas un entier, un décimal, un rationnel, je ne peux pas prendre la valeur absolue
il faut que je fasse le calcul entre les | |
c'est bien ce que tu veux me faire comprendre ?

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#96 05-07-2018 13:14:35

yoshi
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Re : Déterminer graphiquement les variations de f(x) = x² - 4x - 3

Oui,

Cette astuce repose sur le fameux : "Tout se passe comme si"
|-2|=-(-2)=+2 et comme le demande la simplification d'écriture on écrit +2 = 2, alors |-2|=2 ([tex]\mathbb{Z}^+=\mathbb{N}[/tex]) et qu'est-ce que je constate ? Que le signe - semble avoir été  "supprimé"...

Autre chose.
Tu traces la représentation graphique d'une fonction affine, f(x)=ax+b, puis celle de sa valeur absolue g(x)=|ax+b| :


           /                                                       \    /
          /                                                         \  /
_________/______________                                _____________\/______axe des abscises
        /
       /
      /

Qu'est-ce que tu vois ? Saurais-tu l'expliquer ?

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#97 05-07-2018 13:29:15

leo0
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Re : Déterminer graphiquement les variations de f(x) = x² - 4x - 3

j'ai valeur absolue de -2
c'est -(-2)
puisque lorsque a est négatif entre les | | c'est - a donc c'est - entre parenthèses -
et le signe + on ne l'écrit pas
alors |-2| = 2 ($\mathbb{Z} = \mathbb{N}$)
2 est un entier positif donc c'est $\mathbb{N}$
et -2 est un entier négatif

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#98 05-07-2018 13:42:43

leo0
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Re : Déterminer graphiquement les variations de f(x) = x² - 4x - 3

Je trace la représentation graphique de la fonction $f$ définie pour tout x par $f(x) = 3x+2$
ou encore
Soit f est une fonction affine définie pour tout $x$ par $f(x)  = 3x + 2$
$f(x)$ est croissante puisque a est positif
$f(x)$ est du signe de a pour $x > -b/a$
et $f(x)$ est du signe de -a pour $x < -b/a$


$-\frac{b}{a} = - \frac{2}{3}=-0,66$


180705034538473166.png

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#99 05-07-2018 14:06:09

leo0
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Re : Déterminer graphiquement les variations de f(x) = x² - 4x - 3

$f$ est définie par $f :x -> f(x) = ax+ b$

si $a > 0 $
alors $ax + b >0 <=> ax + b +(-b)> 0 + (-b) <=> ax  > - b <=> x > - \frac{b}{a}$

$\frac{a}{a} * x > -\frac{b}{a}$ <=> $x  > -\frac{b}{a}$
La division par un nombre positif ne change pas l'ordre
je sais que a > 0 et j'en déduis que $x > \frac{-b}{2a}$ qui s'écrit encore $-\frac{b}{2a}$

$ 3x + 2 > 0 <=>  3x > - 2 <=> x > \frac{-2}{3}$

3x +2 > 0 si $x >- \frac{2}{3}$

Dernière modification par leo0 (05-07-2018 14:06:46)

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#100 05-07-2018 18:15:51

yoshi
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Re : Déterminer graphiquement les variations de f(x) = x² - 4x - 3

Salut,

Oui...
Bon, j'ai refait un "avant" et un "après" et c'est bien plus visible...
A gauche Cf de [tex]f(x)=x^2+3x-1[/tex], à droite Cg de [tex]g(x)=|x^2+3x-1|[/tex]
180705081743835456.jpg

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