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#51 27-06-2018 11:09:44
- leo0
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Re : Déterminer graphiquement les variations de f(x) = x² - 4x - 3
dans $a(x_1+x_2+\frac{b}{a}$ le a concerne l'expression $(x_1+x_2+\frac{b}{a})$
si je place a en première position, comme ceci : $a (x_1-x_2) (x_1+x_2+\frac{b}{a})$
dans ce cas le a ne concerne plus l'expression : $(x_1+x_2+\frac{b}{a})$
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#52 27-06-2018 12:10:21
- yoshi
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Re : Déterminer graphiquement les variations de f(x) = x² - 4x - 3
Re,
Celle-là, je l'attendais, grosse comme une maison : je ne suis pas déçu...
Lorsque j'étais Lycéen (ça remonte maintenant à un paquet d'années...), on m'a appris ceci (ça ne se dit plus maintenant) :
un produit de facteurs est indépendant de l'ordre de ses facteurs.
Aujourd'hui on dirait:
* la multiplication est associative : [tex]a \times b \times c =(a \times b) \times c = a \times (b \times c)[/tex]
* la multiplication est commutative : [tex]a \times b = b \times a[/tex]
En utilisant alternativement les deux propriétés, je peux écrire :
[tex]a \times b \times c =(a \times b) \times c[/tex] Associativité
[tex](a \times b) \times c = (b \times a) \times c[/tex] Commutativité
[tex](b \times a) \times c = b \times a \times c[/tex] Associativité
Et donc [tex]a \times b \times c = b \times a \times c[/tex]
Mais j'aurais pu continuer :
[tex](b \times a) \times c = b \times (a \times c)[/tex] Associativité
[tex]b \times (a \times c) = b \times (c\times a[/tex]) Commutativité
[tex]b \times (c\times a) = b \times c \times a[/tex] Associativité
Et donc :
[tex]a \times b \times c = b \times c \times a[/tex]...
Si je reprends mon exemple numérique
[tex](x-3)\times 2 \times(x+5) = (2x-6)(x+5)=(x-3)\times (2x+10) = 2(x-3)\times (x+5) = 2(x+5)\times (x-3) = \cdots =2x^2+4x-30[/tex]
@+
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#53 27-06-2018 14:29:54
- leo0
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Re : Déterminer graphiquement les variations de f(x) = x² - 4x - 3
$\left( (x_1-x_2) a\right) (x_1+x_2+\frac{b}{a})$ associativité c'est $(a\times b) \times c$
$ (x_1-x_2) \left(a(x_1+x_2+\frac{b}{a}\right)$ associativité ( également ) c'est $a\times (b\times c )$
$ \left((x_1-x_2) a\right) (x_1+x_2+\frac{b}{a}) = \left(a (x_1-x_2)\right) (x_1+x_2+\frac{b}{a})$
c'est $(a\times b)\times c = (b\times a) \times c$
$(x_1 - x_2) \left(a(x_1+x_2+\frac{b}{a})\right) = (x_1-x_2) \left( (x_1+x_2+\frac{b}{a}) a\right)$
c'est $a \times (b\times c) = a \times (c \times b )$
jusque là, ça va
Tu es drôlement à l'aise avec les propriétés, c'est pas trop mon cas, j'arrive à aller jusque là
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#54 27-06-2018 14:39:26
- leo0
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Re : Déterminer graphiquement les variations de f(x) = x² - 4x - 3
pour les deux premières lignes , j'ai utilisé l' associativité
et pour les deux dernières lignes, j'utilise la commutativité à l'intérieur de la parenthèse
c'est bien cela ?
Dernière modification par leo0 (27-06-2018 14:41:20)
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#55 27-06-2018 14:46:29
- leo0
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Re : Déterminer graphiquement les variations de f(x) = x² - 4x - 3
Toi tu est parti de $a\times b\times c$
pour arriver à $b \times a \times c$
j'ai l'équation produit $(x_1-x_2) a (x_1+x_2 +\frac{b}{a})$
et pour arriver à $a (x_1-x_2) (x_1+x_2+\frac{b}{a})$
Tu m'as montré qu'il fallait utiliser l'associativité, puis la commutativité pour faire passer le petit a en première position
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#56 27-06-2018 15:14:27
- leo0
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Re : Déterminer graphiquement les variations de f(x) = x² - 4x - 3
je poursuis l'exercice que tu m'as donné
j'ai cette équation produit $a (x_1-x_2) (x_1+x_2+\frac{b}{a})$
1) j'ai construis les images $f(x_1)$ et $f(x_2)$
comme ce sont des points qui sont sur la parabole et qui ont même ordonnée
et bien je peux dire que $f(x_1) = f(x_2)$, je peux dire que les images de $x_1$ et $x_2$ par f sont égales
par conséquent leur différence est égale à 0, en effet je soustrais à un nombre, le même nombre
le signe de leur différence c'est 0
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#57 27-06-2018 16:21:09
- yoshi
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Re : Déterminer graphiquement les variations de f(x) = x² - 4x - 3
Salut,
Oui, oui...
Mais je te rappelle que tu dois, via la résolution de l'équation-produit que ce soit de cette forme : [tex]a(x_1-x_2)(x_1+x_2+\frac b a)=0[/tex] ou celle-là : [tex](x_1-x_2)[a(x_1+x_2+ b)]=0[/tex] arriver à montrer que [tex]\dfrac{x_1+x_2}{2}=-\dfrac{b}{2a}[/tex]
@+
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#58 27-06-2018 16:23:06
- yoshi
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Re : Déterminer graphiquement les variations de f(x) = x² - 4x - 3
Re,
Tu es drôlement à l'aise avec les propriétés, c'est pas trop mon cas, j'arrive à aller jusque là
C'est l'expérience due aux années...
Tiens une application pratique (c'était un exercice d'interro en 4e)...
Sans calculatrice, calculer le plus simplement possible :
[tex]2^{13}\times 3^2\times 5^{12}\times 7[/tex]
Grâce aux propriétés d'associativité (du verbe associer) et de commutativité (du verbe commuter. Dans le temps, dans les vieilles maisons, il y avait des commutateurs - cherche sur google, pas des interrupteurs : ça se présentait un peu comme hélice d'avion - mais pas vrillée - que tu pinçais entre le pouce et l'index et que tu faisais pivoter de 180° autour de son axe central, dans un sens ou dans l'autre selon que tu voulais éteindre ou allumer la lumière. Fais le geste avec tes doigts et regarde : [tex]a \times b = b \times a[/tex]) voilà ce qu'on fait :
[tex]2^{13}\times 3^2\times 5^{12}\times 7=2^{13}\times (3^2\times 5^{12})\times 7[/tex] Associativité
[tex]2^{13}\times (3^2\times 5^{12})\times 7 = 2^{13}\times (5^{12}\times 3^2)\times 7[/tex] Commutativité
[tex]2^{13}\times (5^{12}\times 3^2)\times 7 = (2^{13}\times 5^{12})\times 3^2\times 7[/tex] Associativité
[tex](2^{13}\times 5^{12})\times 3^2\times 7 = (2^{12+1}\times 5^{12})\times 3^2\times 7[/tex]
[tex](2^{12+1}\times 5^{12})\times 3^2\times 7 = (2^{12}\times 2 \times 5^{12})\times 3^2\times 7[/tex] Règle des puissances
[tex] (2^{12}\times 2 \times 5^{12})\times 3^2\times 7 =2^{12}\times (2 \times 5^{12})\times 3^2\times 7 [/tex] Associativité
[tex]2^{12}\times (2 \times 5^{12})\times 3^2\times 7 =2^{12}\times ( 5^{12}\times 2)\times 3^2\times 7[/tex] Commutativité
[tex] 2^{12}\times ( 5^{12}\times 2)\times 3^2\times 7 = (2^{12}\times 5^{12})\times (2\times 3^2\times 7)[/tex] Associativité
[tex](2^{12}\times 5^{12})\times (2\times 3^2\times 7)= 10^{12} \times 126 =126 000 000 000 000[/tex]
Seuls calculs réels : 2 x 9 x 7
Je justifie tout, mais ce n'est pas nécessaire, c'est pour que tu voies que l'ordre n'importe pas, donc que je peus associer les nombres comme ça m'arrange et je je peux le faire sans trop détailler...
Qu'est-ce qu'on s'amuse...
@+
Tiens une image des vieux commutateurs dont je parlais :
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#59 27-06-2018 16:48:10
- leo0
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Re : Déterminer graphiquement les variations de f(x) = x² - 4x - 3
Je vais essayer de trouver une idée lumineuse
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#60 27-06-2018 16:51:05
- leo0
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Re : Déterminer graphiquement les variations de f(x) = x² - 4x - 3
Quelles sont les conditions pour avoir $a(x_1-x_2) (x_1+x_2+\frac{b}{a}) $ égale à 0 ?
Quelles vont être les valeurs prises par $x_1$ et par $x_2$ ?
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#61 27-06-2018 17:01:11
- leo0
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Re : Déterminer graphiquement les variations de f(x) = x² - 4x - 3
$a(x_1-x_2) (x_1+x_2+\frac{b}{a}) = 0 <=> (x_1-x_2) = 0$ ou $(x_1+x_2+\frac{b}{a}) = 0$
$(x_1-x_2) = 0 <=> x_1= x_2$
$x_1+x_2 +\frac{b}{a}=0$ <=> $x_1+x_2 = -\frac{b}{a} <=> ??$
Dernière modification par leo0 (27-06-2018 17:01:41)
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#62 27-06-2018 17:14:04
- yoshi
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Re : Déterminer graphiquement les variations de f(x) = x² - 4x - 3
Salut,
Les conditions ont été fixées dès le départ : deux points distincts [tex]A(x_1\,;\,y_1)[/tex] et [tex]B(x_2\,;\,y_2)[/tex] de la parabole, tels que $y_1=y_2$...
Par condition de symétrie l'abscisse du milieu M de [AB] [tex]\dfrac{x_1+x_2}{2}[/tex] est aussi celle du sommet S...
Puisque $y_1=y_2$ (tu as déjà fait tout ça !!!) alors [tex]ax_1^2+bx_1+c = ax_2^2+bx_2+c[/tex], qui en passant de tout dans le 1er membre, est équivalent à : [tex]ax_1^2+bx_1+c - ax_2^2-bx_2-c=0[/tex]
Soit : [tex]a(x_1^2-ax_2^2)+b(x_1-x_2)=0[/tex]
[tex]\Leftrightarrow[/tex]
[tex]a(x_1-x_2)(x_1+x_2)+b(x_1-x_2)=0[/tex]
[tex]\Leftrightarrow[/tex]
[tex](x_1-x_2)[a(x_1+x_2)+b]=0[/tex]
Montrer en résolvant cette équation-produit que [tex]\dfrac{x_1+x_2}{2}=-\dfrac{b}{2a}[/tex]
On en est là !
Tu dois montrer que c'est toujours vrai, ça ne peut donc pas se faire avec des $x_1$ et $x_2$ particuliers.
Tu es devant la porte, tu as réussi à l'ouvrir et tu restes scotché sur le seuil...
Qu'est-ce tu dois faire ? Résoudre l'équation-produit ! Donc, vas-y, résous-là...
Regarde bien la forme de la réponse attendue (et c'est pour ça que ma forme est plus "parlante") et compare avec l'équation-produit...
C'est déjà fait ?
Alors recommence : il y a quelque chose à voir et tu ne l'as pas vu...
Résous !
Lance-toi !
@+
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#63 27-06-2018 17:28:23
- yoshi
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Re : Déterminer graphiquement les variations de f(x) = x² - 4x - 3
Re,
Non, ce n'est pas comme ça qu'on résout une équation-produit : tu n'en as pas fait l'an dernier ?
La justification de la méthode se résume dans cette Condition nécessaire et Suffisante :
Pour qu'un produit de facteurs soit nul, il faut et il suffit que l'un des facteurs soit nul.
Toi, tu as un produit de 3 facteurs :
* $a$
* $(x_1-x_2)$
* $(x_1+x_2+\frac b a)$
@+
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#64 27-06-2018 17:32:48
- leo0
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Re : Déterminer graphiquement les variations de f(x) = x² - 4x - 3
$(x_1-x_2) [a(x_1+x_2)+b] = 0 <=> (x_1-x_2) =0 $ ou $ [a(x_1+x_2) +b] = 0$
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#65 27-06-2018 17:35:33
- leo0
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Re : Déterminer graphiquement les variations de f(x) = x² - 4x - 3
$a (x_1 - x_2) (x_1+x_2 + \frac{b}{a}) = 0 <=> a =0 $ ou $ (x_1-x_2) = 0 $ ou $x_1+x_2 +\frac{b}{a}= 0$
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#66 27-06-2018 17:54:19
- leo0
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Re : Déterminer graphiquement les variations de f(x) = x² - 4x - 3
$x_1 = x_2$
$a(x_1+x_2) + b = 0$
$a(x_2 + x_2) = -b$
$a(2 x_2) = - b$
$2x_2 = -\frac{b}{a}$
$x_2 = -\frac{b}{a} * \frac{1}{2}$ <=> $x=\frac{-b}{2a}$
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#67 27-06-2018 17:55:04
- yoshi
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Re : Déterminer graphiquement les variations de f(x) = x² - 4x - 3
Aaaah ! Quand même... (post #65)
Tu avances !
Maintenant, tu dois éliminer 2 des 3 possibilités et dire pourquoi (et pas : pour n'en garder qu'une ou parce que je n'en veux pas... Il y a une bonne raison à chaque fois)
[EDIT]
Post #66 : tu t'éloignes !
Dernière modification par yoshi (27-06-2018 17:55:53)
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#68 27-06-2018 18:15:05
- leo0
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Re : Déterminer graphiquement les variations de f(x) = x² - 4x - 3
(post 66) c'était pour m'amuser un peu
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#69 27-06-2018 18:19:48
- leo0
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Re : Déterminer graphiquement les variations de f(x) = x² - 4x - 3
$a = 0$ est exclu
dans ce cas $f = bx + c $ est une fonction affine
ainsi, il me reste deux facteurs
$(x_1 - x_2) $
$(x_1+x_2 +\frac{b}{a})$
Dernière modification par leo0 (27-06-2018 18:27:05)
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#70 27-06-2018 18:30:00
- yoshi
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Re : Déterminer graphiquement les variations de f(x) = x² - 4x - 3
Oui !
Maintenant il y a un mot dans mon résumé post #62 qui te permet d'éliminer une 2e possibilité.
Au passage :
a = 0 est exclu
c'est aussi pour cette raison que tu as le droit d'écrire [tex]\frac b a[/tex]..
@+
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#71 27-06-2018 18:31:16
- leo0
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Re : Déterminer graphiquement les variations de f(x) = x² - 4x - 3
$x_1 - x_2 = 0 <=> x_1 = x_2 $
ce qui n'est pas possible puisque l'énoncé nous dit : deux points distincts de la parabole, donc les abscisse de ces deux points ne sont pas égaux
ainsi : $ x_1+x_2 +\frac{b}{a} = 0 <=> x_1+x_2 = \frac{b}{a}$
Dernière modification par leo0 (27-06-2018 18:45:28)
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#72 27-06-2018 18:43:18
- yoshi
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Re : Déterminer graphiquement les variations de f(x) = x² - 4x - 3
Voilà !
Maintenant, il ne te reste plus que :
[tex]x_1+x_2+\frac b a = 0[/tex]
Maintenant, ouvre les yeux et regarde bien, tu veux arriver à ça :
[tex]\dfrac{x_1+x_2}{2}=-\dfrac{b}{2a}[/tex]
Que vas-tu faire ?
@+
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#73 27-06-2018 18:47:01
- leo0
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Re : Déterminer graphiquement les variations de f(x) = x² - 4x - 3
$x_1+ x_2 + \frac{b}{a}=0 <=> x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}$
puis multiplier chaque membre par 1/2
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#74 27-06-2018 18:52:21
- yoshi
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Re : Déterminer graphiquement les variations de f(x) = x² - 4x - 3
Et voilà, c'est fini !
Tu vois combien savoir lire un énoncé et observer les formes, les structures, c'est très très important...
Je disais à mes zouaves : il y a 4 verbes fondamentaux en maths, lire, observer, comparer et déduire...
@+
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#75 27-06-2018 18:58:26
- leo0
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Re : Déterminer graphiquement les variations de f(x) = x² - 4x - 3
oui, mais j'ai pas trop compris pourquoi on multiplie chaque facteur par 1/2
très franchement, c'est parce que tu m'as guidé, sans quoi... je voie pas pourquoi on multiplie par 1/2
aussi (post 61) j'avais trouvé un produit de 3 facteurs, (regarde)
en suite j'avais mis $x_1=x_2$ (mais j'ai pas justifié que ce sont deux points distincts )
Dernière modification par leo0 (27-06-2018 19:00:49)
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