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#26 26-06-2018 09:19:14

leo0
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Re : Déterminer graphiquement les variations de f(x) = x² - 4x - 3

Bonjour Yoshi


pour trouver une équation qui ressemble (à  ce que tu as écris )
pour trouver une équation qui ressemble à $(x +\frac{b}{2a})²=0$ en utilisant x et k

$(x+\frac{b}{2a})² = 0$ <=> $(x+k)² = 0$

Factorisation

$(x + k)² = 0 $ <=> $(x + k)(x + k) = 0$

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#27 26-06-2018 10:03:22

yoshi
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Re : Déterminer graphiquement les variations de f(x) = x² - 4x - 3

Re,

As-tu compris les erreurs que je je t'ai signalées ?

Tu écris :
[tex]\left(x+\dfrac{b}{2a}\right)^2=0 <=> (x+k)^2=0[/tex]
Il n'y a pas d'équivalence logique entre les deux.
Si tu m'écris :
[tex]\left(x+\dfrac{b}{2a}\right)^2=0[/tex]
est de la forme
[tex](x+k)^2=0[/tex]

Pour qu'il y ait équivalence logique (c'est à dire l'un implique l'autre et réciproquement) entre les deux, il aurait fallu compléter ainsi :
[tex]\left(x+\dfrac{b}{2a}\right)^2=0\quad \Leftrightarrow\quad \begin{cases}(x+k)^2=0\\\text{et }k=\dfrac{b}{2a}\end{cases}[/tex]
Moi j'écris que l'une et l'autre formes (écritures) présentent la même structure : c'est pourquoi j'écris seulement "est de la forme" et que je t'avais dit de trouver une écriture qui ressemblait...

Je reprends à nouveau ce que je t'ai demandé :

yoshi a écrit :

Tu n'as compris ce que je t'ai demandé...
L'équation que je t'ai demandé d'écrire et qui ressemble à [tex]\left(x+\dfrac{b}{2a}\right)^2=0[/tex] en utilisant $x$ et  $k$ c'est [tex](x+k)^2=0[/tex]
Donc tu vas compléter :
[tex]x=\cdots\;\Leftrightarrow\;(x+k)^2=0[/tex]
Tu vas en faire la preuve dans les deux sens :
1. [tex]x=\cdots\;\Rightarrow\; (\cdots+k)^2= (\cdots)^2=0[/tex]   ---> à compléter
2. Dans l'autre sens : [tex](x+k)^2=(\cdots+\cdots)(\cdots+\cdots)[/tex]  ---> à compléter
    Et tu résous l'équation-produit (comme on dit en 3e) : [tex](\cdots+\cdots)(\cdots+\cdots)=0[/tex] (à compléter)
et tu vois qu'il n'y a en fait qu'une solution.

[tex](x+2)^2=0\quad \Leftrightarrow\quad (x+k)(x+k)=0[/tex]
Maintenant tu dois donner la solution (double) : ......

Et la suite après.

Au passage quand on en aura fini avec ça, je te guiderai pour la démonstration de S, sommet de la parabole, [tex]x_S=\dfrac{x_1+x_2}{2}=-\dfrac{b}{2a}[/tex], je l'ai trouvée hier soir dans mon lit...

@+


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#28 26-06-2018 10:20:15

leo0
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Re : Déterminer graphiquement les variations de f(x) = x² - 4x - 3

avec $ k = \frac{b}{2a}$

$\left(x + \frac{b}{2a}\right)² = 0$ <=> $(x + k)² = 0$



Ai-je le droit d'écrire cela ?

Dernière modification par leo0 (26-06-2018 10:21:28)

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#29 26-06-2018 10:35:58

yoshi
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Re : Déterminer graphiquement les variations de f(x) = x² - 4x - 3

Re,

Oui.
Mais en quoi ma présentation te dérange-t-elle ?

@+


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#30 26-06-2018 10:36:39

leo0
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Re : Déterminer graphiquement les variations de f(x) = x² - 4x - 3

simplement pour savoir si je peux présenter de cette façon ?

Dernière modification par leo0 (26-06-2018 10:37:47)

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#31 26-06-2018 10:43:31

leo0
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Re : Déterminer graphiquement les variations de f(x) = x² - 4x - 3

$x + k² = 0 $
Factorisation

$x+ k² = 0 <=> (x+k)(x+k)=0 $
là, je reconnais une équation produit

$x+k²=0 <=> (x+k)(x+k)=0 <=> x+k = 0$
et là, je dis : l'équation produit a une seule solution $x = - k$

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#32 26-06-2018 10:46:25

leo0
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Re : Déterminer graphiquement les variations de f(x) = x² - 4x - 3

je ne dois pas écrire

$x + k² = 0 <=> (x+k)(x+k)=0 <=> x + k = 0 $ ou $x + k = 0 <=> x = - k$

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#33 26-06-2018 11:14:06

leo0
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Re : Déterminer graphiquement les variations de f(x) = x² - 4x - 3

$x = . . . => ( \cdots+k)² = (. . .)² = 0$ --> à compléter

c'est pas plutôt

$k = . . . => (x+\cdots)² =  0 <=> (. . .)² = 0$

c'est à dire

$k = \frac{b}{2a} => (x+\cdots)² = 0 <=> (x + \frac{b}{2a})² = 0 <=> (x + \frac{b}{2a})(x + \frac{b}{2a})=0 $

Dernière modification par leo0 (26-06-2018 11:19:13)

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#34 26-06-2018 12:13:49

yoshi
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Re : Déterminer graphiquement les variations de f(x) = x² - 4x - 3

Salut,

je ne dois pas écrire

$x + k² = 0 <=> (x+k)(x+k)=0 <=> x + k = 0 $ ou $x + k = 0 <=> x = - k$

Bon, non  parce que ce serait faux... c'est une erreur courante en 3e.
[tex](x+k)^2=x^2+2kx+k^2[/tex]
[tex]x^2+k^2\neq (x+k)^2[/tex] la preuve en image :
180626125829658896.jpg
[tex]x^2+k^2 = 0[/tex] n'a pas de solution (sauf si k=0 !) et n'est pas factorisable
Écrire que [tex]x^2+k^2 = 0[/tex] c'est affirmer qu'on peut trouver x tel que [tex]x^2=-k^2[/tex] ce qui est une horreur (sauf si k=0)

x=...=>(⋯+k)²=(...)²=0  --> à compléter

c'est pas plutôt

k=...=>(x+⋯)²=0<=>(...)²=0

Non.
Dans un premier temps, je n'utilise que $x$ et $k$...
Je voulais que tu montres que
* [tex]x=-k \Rightarrow (x+k)^2=0[/tex]
* [tex](x+k)^2 =0 \Rightarrow x=-k[/tex]
parce que [tex]\Leftrightarrow[/tex] c'est $\Rightarrow$  et  $\Leftarrow$, c'est pour ça que j'ai écrit "dans les deux sens"...

@+

[EDIT]
Si tu y tiens, je te rajoute une étape :
[tex]x=... \Rightarrow (x+k)^2 =0 \Rightarrow (⋯+k)^2=(...)^2=0[/tex]  --> à compléter

Dernière modification par yoshi (26-06-2018 12:35:53)


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#35 26-06-2018 13:13:35

leo0
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Re : Déterminer graphiquement les variations de f(x) = x² - 4x - 3

$x² - k² = 0 <=> (x+k)(x-k)=0 <=> x+k=0 $ ou $ x - k = 0 <=> x = -k$ ou $x = k$
et l'équation produit $(x+k)(x-k)=0 $a deux solutions $x = -k $ et $x = k$
(ça n'a rien à voir, je sais mais c'est pour voir les deux exemples )


$x² + k² = 0 <=> x² = -k²$
c'est faux
un carré est positif, et  je ne peux pas obtenir x² = - quelque chose
c'est bien cela ?

Dernière modification par leo0 (26-06-2018 15:54:29)

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#36 26-06-2018 15:30:22

yoshi
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Re : Déterminer graphiquement les variations de f(x) = x² - 4x - 3

Salut,

$x² + k² = 0 <=> x² = -k²$
c'est faux
un carré est positif, et  je ne peux pas obtenir x² = - quelque chose
c'est bien cela ?

Oui. Et j'ai ajouté : sauf si k=0...

$x² - k² = 0 <=> (x+k)(x-k)=0 <=> x+k=0 $ ou $ x - k = 0 <=> x = -k$ ou $x = k$
et l'équation produit $(x+k)(x-k)=0 $a deux solutions $x = -k $ et $x = k$

Oui, mais ça ne correspond en rien à ce que je t'ai demandé...
-----------------------------------------------------------------------------
Donc j'avais dit qu'on allait reprendre à partir de :

Si j'écris l'équation de la parabole :
y=[tex]ax^2+bx+c=a\left[\left(x+\dfrac{b}{2a}\right)^2-\left(\dfrac{b^2-4ac}{4a^2}\right)\right]=a\left(x+\dfrac{b}{2a}\right)^2-\dfrac{b^2-4ac}{4a}[/tex]
je vois que pour
[tex]x=-\dfrac{b}{2a}[/tex]
l'expression [tex]a\left(x+\dfrac{b}{2a}\right)^2[/tex] est nulle, c'est même  la plus petite valeur de cette expression...

Je prends pour $x$ la valeur [tex]-\dfrac{b}{2a}[/tex]
L'ordonnée $y_e$ du point de la parabole dont l'abscisse est donnée ci-dessus est  [tex]y_e=-\dfrac{b^2-4ac}{4a}[/tex]
Je vais rectifier la suite parce que ce n'est pas assez clair et même incorrect (où est-ce que j'avais la tête ?)...
y s'écrit donc :
y=[tex]ax^2+bx+c=a\left(x+\dfrac{b}{2a}\right)^2-\dfrac{b^2-4ac}{4a}[/tex]

Je considère maintenant la fonction carré $g$ telle que [tex]g(x)=a\left(x+\dfrac{b}{2a}\right)^2[/tex]
1er cas
* si a >0
   . $g$ est décroissante pour tout [tex]x \in \left]-\infty\;;\;-\dfrac{b}{2a}\right][/tex]
     donc $g(x)$ décroît de $+\infty$ à 0 (g(0)=0) et donc $f(x)=g(x)-\dfrac{b^2-4ac}{4a}$ décroît de  $+\infty$ à $-\dfrac{b^2-4ac}{4a}$

   . $g$ est croissante pour tout [tex]x \in \left]-\dfrac{b}{2a}\;;\;+\infty\right][/tex]
     donc $g(x)$ croît de 0  à  $+\infty$ (g(0)=0) et donc $f(x)=g(x)-\dfrac{b^2-4ac}{4a}$ croît de  $-\dfrac{b^2-4ac}{4a}$ à  $+\infty$
  J'ai prouvé qu'ici la fonction f donc y passe par un minimum d'abscisse [tex]-\dfrac{b}{2a}[/tex]

2e cas

* si a <0
   . $g$ est croissante pour tout [tex]x \in \left]-\infty\;;\;-\dfrac{b}{2a}\right][/tex]
     donc $g(x)$ croît de $-\infty$ à 0 (g(0)=0) et donc $f(x)=g(x)-\dfrac{b^2-4ac}{4a}$ croît de  $-\infty$ à $-\dfrac{b^2-4ac}{4a}$

   . $g$ est décroissante pour tout [tex]x \in \left]-\dfrac{b}{2a}\;;\;+\infty\right][/tex]
     donc $g(x)$ dcroît de 0  à  $-\infty$ (g(0)=0) et donc $f(x)=g(x)-\dfrac{b^2-4ac}{4a}$ dcroît de  $-\dfrac{b^2-4ac}{4a}$ à  $-\infty$
  J'ai prouvé qu'ici la fonction f donc y passe par un maximum d'abscisse [tex]-\dfrac{b}{2a}[/tex]


Si je rassemble les 2 cas en un seul, je dirais que pour [tex]x=-\dfrac{b}{2a}[/tex] on a un extremum de la parabole : [tex]x=-\dfrac{b}{2a}[/tex] est donc bien l'abscisse du sommet de la parabole...

C'est plus détaillé et correct maintenant...
Ça te convient mieux ?

@+


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#37 26-06-2018 15:38:35

leo0
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Re : Déterminer graphiquement les variations de f(x) = x² - 4x - 3

$(x+k)²=0$ (Factorisation)

$(x+k)² = 0 <=> (x+k)(x+k)=0$
je reconnais une équation produit

$(x+k)² = 0 <=>(x+k)(x+k)=0$
maintenant je donne la double solution

$(x+k)²=0 <=> (x+k)(x+k)=0 <=> x+k = 0 <=> x=-k$
ainsi, l'équation produit n'a qu'une seule solution

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#38 26-06-2018 15:40:47

leo0
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Re : Déterminer graphiquement les variations de f(x) = x² - 4x - 3

Nous sommes parti sur un truc, parce qu'en fait j'avais oublié de mettre la parenthèse à $x + k² = 0 $
je voulais dire : $(x + k)² = 0 $
- - -> je n'ai pas relu ce que j'ai posté
toutes mes excuses !!!!!!!

Dernière modification par leo0 (26-06-2018 15:45:54)

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#39 26-06-2018 15:43:19

leo0
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Re : Déterminer graphiquement les variations de f(x) = x² - 4x - 3

tout à l'heure, je voulais dire
je ne dois pas écrire ça :

$(x+k)² = 0 <=> (x+k)(x+k)=0 <=> x+k = 0 $ ou $x+ k = 0 <=> x = -k$

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#40 26-06-2018 18:35:51

yoshi
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Re : Déterminer graphiquement les variations de f(x) = x² - 4x - 3

B'soir,

tout à l'heure, je voulais dire
je ne dois pas écrire ça :

$(x+k)² = 0 <=> (x+k)(x+k)=0 <=> x+k = 0 $ ou $x+ k = 0 <=> x = -k$

Tiens... Et pourquoi donc, tu ne pourrais pas écrire ça ?
C'est parfaitement correct...

Sinon, l'explication revue et corrigée te convient-elle ?

Donc, si oui, voilà ce que je comptais te proposer...
[tex]y=ax^2+bx+c[/tex]  est l'équation d'une parabole.
Soient deux points A(x1 ; y1) et B(x2 ; y2) distincts de cette parabole tels que y1=y2.
L'abscisse xS du sommet S de cette parabole est tel que [tex]x_S=\dfrac{x_1+x_2}{2}[/tex]
Je te propose de montrer que [tex]x_S=-\dfrac{b}{2a}[/tex].
Plan :
1. Écrire [tex]y_1[/tex] en fonction de[tex] x_1[/tex] et [tex]y_2[/tex] en fonction de [tex]x_2[/tex]
2. Écrire que [tex]y_2 = y_1[/tex] en utilisant $x_2$  et  $x_1$
3. Écrire que [tex]y_2 - y_1=0[/tex]. Réduire l'expression obtenue.
4. Écrire alors l'équation-produit qui en découle.
4. En déduire que [tex]\dfrac{x_1+x_2}{2}=-\dfrac{b}{2a}[/tex]

C'est plus simple, que ce qu'on vient de faire : un petit peu de raisonnement (seulement au 4.) et du calcul littéral classique classique...

J'ai fait ça de tête ("à l'aveugle", comme on dit aux échecs, quand joue en tournant le dos à l'échiquier ou les yeux bandés), alors devant ton papier puis face à l'écran, tu ne vas faire d'erreur, s'pas ?

@+


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#41 26-06-2018 19:11:38

leo0
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Re : Déterminer graphiquement les variations de f(x) = x² - 4x - 3

Bonsoir



$(x + k)² = 0 <=> (x+k)(x+k) =0 <=> x+k=0 $ ou $ x+k=0 <=>  x = - k$

ainsi

$(x + k)² = 0 => x = - k$

et je lis :
$(x + k)² = 0 $ implique $ x = -k$

c'est la démonstration que tu voulais me faire trouver ?

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#42 26-06-2018 19:14:03

leo0
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Re : Déterminer graphiquement les variations de f(x) = x² - 4x - 3

pour l'autre sens

$x = -k => (-k+k)²=0 <=> (0)²=0$

je veux savoir si c'est bien cela avant d'attaquer ce que tu me proposes

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#43 26-06-2018 19:50:57

yoshi
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Re : Déterminer graphiquement les variations de f(x) = x² - 4x - 3

Re,

Oui. Tout à fait.
----------------------------
Pour ta "culture" :
[tex]\Leftarrow[/tex] est obtenu avec \Leftarrow
[tex]\Rightarrow[/tex] est obtenu avec \Rightarrow

@+


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#44 26-06-2018 19:52:25

leo0
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Re : Déterminer graphiquement les variations de f(x) = x² - 4x - 3

1. écrire $y_1$ en fonction de $x_1$ et $y_2$ en fonction de $x_2$
$y_1=ax_1² + bx_1 + c$

$y_2=ax_2² + bx_2 + c$


2. écrire que $y_2 = y_1$
$ax_1² + bx_1 + c = ax_2² +bx_2 +c$

3.écrire que $y_2 - y_1 = 0$ Réduire.
$ax_1² + bx_1 + c -( ax_2² +bx_2 +c)=0$ <=> $ax_1² + bx_1  - ax_2² -bx_2  = 0$

Factorisation
$a (x_1²  - x_2²) + b(x_1 -x_2)= 0$
$a (x_1 + x_2)(x_1 - x_2) + b (x_1-x_2)=0$

Mise en facteur de $(x_1-x_2)$
$ (x_1-x_2) \left[a(x_1+x_2) +b\right]= 0$
$(x_1-x_2) a (x_1+x_2 +\frac{b}{a}) =0$
là, j'ai un produit de 3 facteurs

Dernière modification par leo0 (26-06-2018 19:55:29)

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#45 26-06-2018 19:59:08

leo0
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Re : Déterminer graphiquement les variations de f(x) = x² - 4x - 3

surtout, tu ne me donnes pas la réponse....
( je cherche encore un peu )

Dernière modification par leo0 (26-06-2018 20:02:54)

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#46 27-06-2018 06:56:31

yoshi
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Re : Déterminer graphiquement les variations de f(x) = x² - 4x - 3

Re,

C'est maintenant que ça devient intéressant... ^_^

@+


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#47 27-06-2018 08:25:40

leo0
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Re : Déterminer graphiquement les variations de f(x) = x² - 4x - 3

Bonjour Yoshi

J'obtiens une équation produit 3 facteurs, c'est bon jusque là ?

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#48 27-06-2018 08:33:44

yoshi
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Re : Déterminer graphiquement les variations de f(x) = x² - 4x - 3

Salut,

Oui bien sûr, sinon je te l'aurais dit... C'est bien pour ça que j'ai écrit que ça devenait intéressant !
J'aurais plutôt factorisé comme ça :
[tex](x_1-x_2)[a(x_1+x_2)+b]=0[/tex]
cette écriture me paraît plus simple, non ?

Mais, on arrivera bien au bon résultat avec ce que tu as fait.

@+


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#49 27-06-2018 09:39:52

leo0
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Re : Déterminer graphiquement les variations de f(x) = x² - 4x - 3

Si j'ai enlevé les crochets c'est pour faire apparaitre une fraction, pour avoir $\frac{b}{a}$

$(x_1-x_2)\left[a(x_1+x_2)+b\right]=0$

$(x_1-x_2)a (x_1+x_2+\frac{b}{a}) =0$

maintenant, je cherche à avoir $-\frac{b}{2a}$

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#50 27-06-2018 10:41:01

yoshi
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Re : Déterminer graphiquement les variations de f(x) = x² - 4x - 3

Salut,

J'ai simplement dit que l'écriture que je propose est plus simple à l’œil...
Un conseil : ne laisse pas ce a tout seul entre deux parenthèses, mets-le devant, comme ça :
$a(x_1-x_2)(x_1+x_2+\frac{b}{a}) =0$
Ce conseil a dû t'être donné en 5e lorsque tu as commencé à voir quelques factorisations...
Pourquoi ?
Imagine que tu aies : (x-3)2(x+5)... Un jour que tu es pressé et que, sur ton brouillon, ton 2 est plus ou moins bien placé sur la ligne, plus ou moins gros, tu risques d'écrire à la ligne suivante : (x-3)2(x+5)...
Ne me dis pas non... C'est déjà arrivé de nombreuses fois dans les copies que j'ai pu corriger...
Et si c'est -2 à la place de 2, ça devient : (x-3)-2(x+5). Il faut penser à rajouter des parenthèses : (x-3)(-2)(x+5)...
Ça aussi, je l'ai vu...

Quant à la fraction [tex]\dfrac b a[/tex], tu verras avec la forme que j'ai employée qu'elle arrive tout aussi facilement !

Continue sur ton idée : essaie de raisonner face à ton équation-produit !

@+


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